飽和不確定磁流變阻尼器懸架系統反饋控制器的設計*

岳永恒，王 茂，趙 強

(1.哈爾濱工業大學航天學院，哈爾濱 150080;2.東北林業大學交通學院，哈爾濱 150040)

前言

為改善汽車懸架系統的減振效果，提高車輛行駛的平順性和舒適性，磁流變阻尼器(magneto-rheological damping，MRD)懸架系統成為國內外研究的熱點［1－7］。MRD 的數學模型為文獻［8］和文獻［9］中提出的修正Bouc-Wen模型，但其強非線性增加了控制器的設計難度。因此常采用智能控制算法如自適應控制、神經網絡控制等［4－6］對MRD進行研究。智能控制算法在理論上能夠滿足系統穩定性要求，然而由于算法收斂速度慢、系統響應時間長等缺點，限制了MRD產品在實際中的應用。

磁流變阻尼器的強非線性主要表現為飽和特性、磁回滯特性和雙線性3個方面。磁回路封閉曲線面積狹小且線性部分較為接近，因此飽和特性是MRD的主要特性。應用飽和特性可簡化傳統MRD的Bouc-Wen模型，便于控制器的設計。近10年來，飽和輸入問題的研究取得了可喜的成果［10－13］，為研究MRD控制系統穩定性提供了有力的技術支持。

本文中以飽和模型替代傳統的Bouc-Wen模型，研究了懸架系統磁流變阻尼器的減振效果。

1 MRD懸架系統模型

MRD模型的強非線性主要表現在飽和特性、磁回滯特性和雙線性上，見圖1。

根據MRD的物理特性曲線而建立的Bouc-Wen數學模型為

模型中數學符號的具體含義見文獻［1］和文獻［2］。對于如此復雜的數學模型，很難建立有效的實時控制系統。此外，文獻［6］中對MRD非線性物理特性實驗數據的分析表明，飽和特性為MRD的主要物理特性。依據文獻［4］～文獻［7］的研究策略，令MRD的Bouc-wen模型簡化為飽和模型，設計MRD懸架系統閉環反饋控制器。

應用LORD公司RD1005－3型MRD設計減振實驗臺來研究半主動懸架系統MRD的減振效果。RD1005－3型MRD最大輸出阻尼力為4 000N，而介于±4000N之間的輸出阻尼力近似為線性。因此，用分段函數表示RD1005－3飽和特性:

根據汽車懸架系統的工作原理而設計的MRD減振實驗臺如圖2所示。

用變頻器驅動電機帶動凸輪軸工作，產生正弦激勵信號模擬路面譜系，通過控制MRD，觀測“懸架系統”對正弦激勵信號的衰減程度。因此，要求實驗臺控制系統具有閉環穩定性。

MRD減振實驗臺大部分零部件質量和相關參數可精確測量。因其自身非線性物理特性的影響，使MRD的剛度在運動過程中為時變參數，可通過實驗測量MRD剛度的上下界值。當實驗臺工作時，MRD相關參數將包含于有界閉區間內。因此MRD減振實驗臺是一類典型的參數依賴不確定性系統，應用凸包技術可有效解決參數的不確性問題［14］。

MRD減振實驗臺的動力學模型如圖3所示。圖中:m1、K1和C1為1/4懸架系統的質量、剛度和阻尼;m2、K2和C2為1/4轎車車身的質量、剛度和阻尼;m3、K3和C3為駕駛員座椅的質量、剛度和阻尼;z1、z2和 z3分別是m1、m2和 m3的對應質量塊位移;F為可控磁流變阻尼力;Sat(w)為參數z0的飽和擾動輸入;z0為路面對懸架系統的位移激勵。建立MRD懸架系統的動力學狀態方程［1－2］:

式中:A為系統矩陣;B為輸入矩陣;Bw為擾動輸入矩陣;x(t)為系統狀態變量;w為地面譜系擾動輸入;F為控制對象輸入量，即可控磁流變阻尼力。

2 MRD懸架系統穩定性分析

通過實驗測量MRD懸架系統中相關的參數值，如表1所示。

表1 MRD懸架系統相關參數值

MRD懸架系統中參數K2為時變參數且有界，因此系統矩陣 A為時變參數矩陣:A(K2)∈［A1，A2］，A1=A(K2min)，A2=A(K2max)。系統的穩定性與外界輸入無關，令擾動輸入為零(w=0)，則式(2)改寫為

式中:Ai、B表示MRD懸架系統為時變參數K2的頂點矩陣，因此不確定系統(式(3))包含于由“2”個頂點所構成的有界凸多面體區域內。

反饋控制律為

式中:K∈R1×6為反饋控制矩陣。

2.1 預備知識和飽和輸入處理方法

對于給定矩陣K∈R1×6。因為矩陣K為單行矩陣，因此可根據文獻［10］～文獻［13］，定義凸多面體區域為

式中Fsup和Finf分別表示可控磁流變阻尼力上下界，如果F=Kx(t)不在飽和區內時，飽和函數Sat(·)將其輸入量強制等于 －min(|Fsup|，|Finf|)或min(|Fsup|，|Finf|)，且 x(t)∈L(K)。為便于分析，將式(5)轉化為標準飽和函數:

定義包含x(t)的子空間:

式中:P=PT＞0，P∈R6×6，ρ∈R。ε(P，ρ)為橢球體。

則表示橢球體ε(P，ρ)包含于對稱凸多面體L(K)內。

根據文獻［12］中的引理2，文中可控磁流變阻尼力飽和項可表示為

式中:H∈R1×6為反饋附加矩陣;Dj矩陣等于“0”或“1”;而稱為Dj的補矩陣，即=1－Dj;

引理1(Schur補引理)對于給定的對稱矩陣，其中 S11∈Rr×r，以下 3 個條件是等價的

根據式(9)，MRD懸架閉環控制系統可表示為

通過式(9)把式(3)具有飽和不確定性系統轉化為式(10)線性系統，進而可通過矩陣不等式技術處理MRD懸架系統的穩定性。

2.2 控制器設計和吸引分析

定義Lyapunov函數:v(t)=xT(t)Px(t)，PT=P＞0。根據Lyapunov函數穩定性理論要求:

將式(10)帶入式(11)得

式(12)成立的充分必要條件是:

若吸引域由ε(P，ρ)表示，則存在一個微小的橢球體與ε(P，ρ)在結構上保持一致，稱該微小橢球體為吸引域的形狀參考集［15－16］。

給定參考向量 xR∈R6×1，θ?R6×1為狀態空間。

顯然式(14)表示xR空間被壓縮α倍。因此，αxR?ε(P，ρ)。當 α 取得最大值時，形狀參考集將接近最大吸引域。

MRD懸架系統反饋控制器和最大吸引域，可通過求取下列矩陣不等式最優解獲得

形狀參考集屬于吸引域，即:αxR?ε(P，ρ)。可知α2xP/(ρxR)≤1，根據引理1可得

當α2逐漸增大，則形狀參考集將逐步接近最大吸引域。令 β =1/α2，式(16)轉化為

對式(15)第2個不等式約束條件兩邊同乘以P－1，并乘以 ρ 得:

根據式(6)可知L(H)可表示為

式(15)中第3 個約束條件 ε(P，ρ)?L(H)，可等價地表示為

根據引理1，式(20)可轉化為

為求最大吸引域和MRD控制系統閉環反饋控制器，可用LMI求解式(17)、式(18)和式(21)約束條件最優解β，進而可求解出反饋控制器和最大吸引域。

3 數值仿真

根據表1可知MRD的剛度為時變參數且有界，則飽和不確定MRD懸架系統的頂點矩陣為

式(18)中D1=0，D2=1。令式(17)、式(18)和式(21)中Q=(P/ρ)－1，式(18)中Z=HQ，Y=FQ，根據文獻［15］～文獻［17］，選取形狀參考集為

其中?i∈［0，2π］，為尋找最大吸引域，選取步長為0.05π，使其?i從0到2π遍歷，可得到最優解。通過Matlab解式(22)LMI優化問題得

閉環控制系統的吸引域，可由代數方程描述為

對于任意系統狀態變量滿足式(23)，則表示系統狀態變量位于吸引域中。MRD懸架閉環控制系統在吸引域內具有局部指數穩定。

MRD控制系統的數值仿真如下。

在參數矩陣凸空間中任取一點，系統時變參數矩陣可被描述為

MRD懸架系統開環數值仿真結果如圖4所示，相當于傳統的被動懸架減振系統。系統狀態變量x1、x2和x3在系統穩定時收斂到“0”點(對應質量塊的速度);系統狀態變量x4、x5和x6分別是模型對應質量塊的位移，在系統穩定時因重力影響收斂到0.2附近，符合實際系統為慣性系統的特點。

閉環系統數值仿真結果如圖5所示，6個狀態變量全部穩定收斂到0.2，閉環系統的超調量和協調時間都明顯優于開環系統。

數值仿真結果表明，MRD懸架系統減振效果明顯優于傳統懸架系統，證明了該算法的有效性。

4 結論

MRD的優良物理特性可提高汽車的行駛平順性和舒適性，但其強非線性限制了MRD在實際工程中的應用。本文中提出的飽和模型弱化了Bouc-Wen模型的強非線性，同時通過凸包技術將飽和非線性模型線性化，依據Lyapunov函數穩定性理論分析了MRD懸架系統的穩定性，設計出的反饋控制器同時獲得了最大吸引域。數值仿真結果表明，MRD懸架系統減振效果明顯優于傳統懸架系統。

［1］王洋.汽車懸架磁流變阻尼器設計與優化研究［D］.哈爾濱:東北林業大學，2011.

［2］趙強，楊亞珣.基于帶死區PID控制的車輛磁流變座椅懸架的仿真［J］.東北林業學報，2009，37(6):109 －111.

［3］Cecilia Cornejo，Luis Alvarez-Icaza.Vibration Control of a Building with Magneto-rheological-dampers Based on Interconnection and Damping Assignment［C］.Proceedings of the 45th IEEE Conference on Decision ＆ Control.San Diego:USA，2006:13－15.

［4］Li Rui，Chen W M，Yu Miao，et al.Fuzzy Intelligent Control of Automotive Vibration via Magneto-rheological Damper［C］.Proceedings of the 2004 IEEE Conference on Cybernetics and Intelligent Systems.Singapore，2004:1 －3.

［5］Wang Hao，Shi Xiaomei.Semi-Active Suspension Control Using the RNN Inverse System of MR Damper［J］.Intelligent Systems and Applications，2010(5):85 －91.

［6］Liu Wei，Shi Wen-ku，Liu Da-Wei，et al.Experimental Modeling of Magneto-rheological Damper and PID Neural Network Controller Design［C］.2010 Sixth International Conference on Natural Computation，Yantai.Yantai University Press，2010:10 －12.

［7］Zhao Y Z，Sun W C，Gao H J.Robust Control Synthesis for Seat Suspension Systems with Actuator Saturation and Time-varying Input Delay［J］.Journal of Sound and Vibration，2010，329(8):4335－4353.

［8］Spencer B F，Dyke S J，Sian M K，et al.Phenomenological Model of a Magneto Rheological Damper［J］.ASCE Journal of Engineering Mechanics，1996，3(1):978 －982.

［9］Robinson R，Hu W，Wereley N M.Linking Porosity and Tortuosity to the Performance of a Magneto-Rheological Damper Employing a Valve Filled with Porous Media［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2010，7(6):2156 －2159.

［10］Du Haiping.Actuator Saturation Control of Uncertain Structures with Input Time Delay［J］.Journal of Sound and Vibration，2011，330(12):4399 －4412.

［11］Zhou Bin.Stability and Stabilization of Discrete-time Periodic Linear Systems with Actuator Saturation［J］.Automatica，2011，47(8):1813－1820.

［12］Hu Tingshu，Lin Zongli，Chen Ben M.Analysis and Design for Discrete-time Linear Systems Subject to Actuator Saturation［J］.Systems ＆ Control Letters，2001，45(7):97 －112.

［13］Cao Yongyan，Lin Zongli.Stability Analysis of Discrete Time Systems with Actuator Saturation by a Saturation Dependent Lyapunov Function［C］.Proceeding of the 41stIEEE Conference on Decision and Control.Nerada USA，2002，12:4140 －4145.

［14］高會軍.基于參數依賴Lyapunov函數的不確定動態系統的分析與綜合［D］.哈爾濱:哈爾濱工業大學，2005.

［15］Yu J Y，Xie G M，Wang L.Robust Stabilization of Discrete Time Switched Uncertain Systems Subject to Actuator Saturation［C］.American Control Conference.New York:USA，2007:9 －13.

［16］Hu T，Lin Z，Chen B M.An Analysis and Design Method for Linear Systems Subject to Actuator Saturation and Disturbance［J］.Automatica，2002，38(2):351 －359.

［17］Cao Y Y，Lin Z.Stability Analysis of Discrete-time Systems with Actuator Saturation by a Saturation Dependent Lyapunov Function［J］.Automatica，2003，39(7):1235 －1241.