深空著陸器對偶控制策略

高 艾，崔平遠，，崔祜濤

（1.北京理工大學深空探測技術研究所，100081 北京;2.哈爾濱工業大學深空探測基礎研究中心，150001 哈爾濱）

深空著陸器對偶控制策略

高 艾1，崔平遠1，2，崔祜濤2

（1.北京理工大學深空探測技術研究所，100081 北京;2.哈爾濱工業大學深空探測基礎研究中心，150001 哈爾濱）

以深空著陸任務為背景，針對視覺導航過程中由于有限觀測能力引起的估計性能不佳問題，研究了一種深空著陸器對偶控制策略.該策略將導航估計不確定性引入系統狀態，給出包含與估計方差相關的二次型性能指標評價方法，利用著陸狀態可觀測性與著陸軌跡之間的耦合特性，合理優化觀測軌跡，克服著陸過程中可觀測性缺乏問題，大幅度提高系統的導航估計性能，使深空著陸器導航制導控制整體性能得到保障.

深空探測軟著陸;自主GNC技術;非線性耦合;對偶控制

深空著陸過程中，由于著陸器受到各種不確定性因素影響，其制導控制律的設計必須建立在對系統狀態最優估計的基礎上，這使得精確的導航定位顯得尤為關鍵;加之著陸時間較短，深空環境中通信延遲時間較長，基于地面站的導航制導控制模式不再適用，因此發展深空著陸自主實時精確的導航制導控制策略已成為目前國內外學者研究的熱點.

傳統的制導控制設計過程是基于確定性等價假設，其制導控制策略的選取與導航估計不確定性互不影響，從而可將系統的導航制導控制設計分為兩個獨立的過程，即利用導航濾波器從噪聲污染測量中估計出系統狀態;再假設這樣的估計狀態即為系統的真實狀態，利用傳統的制導控制技術給出到達目標著陸區域所需的控制量.由于這種方法簡便易行且運算量低，因此成為以往著陸段任務制導控制策略的選擇［1－2］.

然而，對于非線性的著陸器系統而言，其可觀測性與狀態軌跡間存在非線性耦合，因此其可觀測性會受到系統狀態軌跡的影響［3］.當觀測能力受到限制時，有限的觀測能力會導致缺乏狀態觀測的估計性能不佳，進而弱化制導控制性能，尤其對于具有不規則引力場特性的小行星著陸制導控制而言，一個很小的控制偏差會導致最終著陸器與目標著陸點的大范圍偏離，達到可靠的著陸性能就變得極具挑戰性.因此，利用盡可能少的導航敏感器，通過優化觀測軌跡，在滿足著陸任務要求的同時，盡可能地減小導航定位誤差，從而提高導航制導控制系統的整體性能是深空著陸過程中亟待解決的問題.

為了使這類非線性系統達到更好的控制性能，A.A.Feldbaum［4－6］首先提出了對偶效應的概念，指出控制輸入具有雙重性目的:一是達到系統穩定的控制目標;二是改善系統狀態估計信息.二者緊密耦合而不能分離，這種耦合導致了無法獲得最優控制的解析解.自此以后，國內外學者針對這一主題開展了大量的研究工作，并已獲得一些簡單問題的最優解.J.Sternby［7］解決了四狀態馬爾科夫鏈問題;B.Bernbardsson［8］處理了具有雙增益的一階系統.此外，還求得了一些簡單的自適應對偶控制問題的代數解［9］.然而，已得到解決的問題僅是特例，那些具有合理規模的問題幾乎都是既無解析解又無數值解的不可解問題.處理某些對偶特性的多種次優技術［10－11］，同時被發展應用于自適應控制和隨機控制.對于更特殊的物理背景應用——采用單角度測量的導彈攔截備受關注，多個不同的對偶控制制導律被提出［12－13］.這些技術分別通過加入擾動信號、約束估計量變化、修正代價函數和利用有限參數逼近價值函數等手段提供問題的近似解.其中存在兩種相對簡單和直觀的方法:1)增加一個試探性的控制輸入以改進系統狀態的可觀性.這種方法簡單易行，附加控制輸入可與確定性控制輸入的設計過程分離開，由一系列啟發式方法獨立完成，但在設計流程中缺乏系統性方法且整體性能嚴重依賴于啟發式方法的選取;2)構造代價函數，該代價函數是標準代價函數與系統誤差方差標量函數的加權.這種方法的優點在于可直接應用數值搜索技術進行求解，然而其搜索空間會隨時間呈指數增長，因此求解問題相當有限.同時，代價加權系數的選取同樣缺乏系統性方法，這會導致最終構造的代價函數與實際代價相距甚遠.

本文以基于單目視覺導航的深空著陸制導控制任務為背景，考慮有效控制與可靠估計間的對偶問題，通過擴展狀態空間將系統不確定性作為部分代價引入二次型性能指標中，從而采用簡便易行的線性二次型控制技術給出隨機優化反饋控制律.該對偶控制策略利用非線性系統可觀測性與狀態軌跡間存在的非線性耦合關系來克服著陸過程中可觀測性缺乏的問題，通過合理地優化著陸器下降軌跡，大幅度提高系統的導航估計性能，使深空著陸器導航制導控制整體性能得到保障.

1 系統建模

定義著陸點固連坐標系Σl:ol-xlylzl，該坐標系原點ol位于預定的著陸點，olzl軸與行星質心指向著陸點矢量oiol方向一致.olxl沿經線的切線方向指向南極方向，olyl與olxl、olzl之間滿足右手法則，如圖1所示.

圖1 坐標系定義

圖1中坐標系Σi:oi-xiyizi為行星中心慣性坐標系，其原點在行星的質量中心，zi軸沿行星最大慣量軸方向，xi軸沿歷元時刻行星最小慣量軸所指方向，yi軸與xi軸、zi軸之間滿足右手法則.

在著陸點固連坐標系下建立探測器動力學方程

式中:r，v分別為著陸器相對于預定著陸點的位置矢量與速度矢量;u為控制加速度;g為行星引力加速度;ae，ak分別為由行星自旋所引起的離心慣性加速度與科氏加速度;aΔ為未建模加速度.

將式(1)中的加速度項－ae－ak+aΔ作為系統過程噪聲處理，得到如下動力學模型

式中:x=［r v］T為著陸器狀態;Er=［I0］為系數矩陣;A= ［［0 0］T［I0］T］為系統矩陣;B=［0 I］T為輸入矩陣，ω =－ae－ak+aΔ為系統過程噪聲.

這里采用基于單目視覺矢量測量的光學相對導航方案，選擇著陸點固連坐標系下探測器的位置矢量作為觀測量，則觀測模型為

式中:rc=Cclr= [rcxrcyrcz]T為探測器相對于目標著陸點的位置矢量在相機坐標系下的投影;Ccl為著陸點坐標系與相機坐標系之間的轉換矩陣;υk為光學導航觀測噪聲.

2 隨機優化反饋對偶控制算法

對于線性系統，可觀測性僅依賴于系統動力學和觀測模型.然而，對于非線性系統而言，由于可觀測性與狀態軌跡間存在非線性耦合，因此其可觀測性會受到系統狀態軌跡的影響.實際上，如果系統是動態可觀的，可以利用這種耦合來克服可觀測性的缺乏，從而達到更好的估計性能.

尤其對式(2)和式(3)描述的基于單目視覺導航控制的軟著陸過程而言，通過合理地規劃著陸器下降軌跡可以大幅度提高系統的可觀性.然而，如何在眾多可行軌跡中計算出最優軌跡是一個富有挑戰性的隨機優化任務.由于有效控制與可靠估計間權衡問題的復雜性，普遍應用的確定性等價控制技術和其他多種近似技術在該問題的處理中受到限制［14］.這里考慮了該權衡問題的新的對偶控制算法，該算法將系統不確定性作為部分代價引入性能指標中，并應用線性二次型控制技術給出反饋控制率，進而通過對深空著陸下降軌跡的隨機優化，在滿足著陸任務要求的同時，盡可能地減小導航定位誤差，從而提高導航制導控制系統的整體性能.

將著陸器狀態x描述為分布在狀態空間中的粒子云 xi(i=1，2，…，N)，期望狀態 xd與每個粒子xi之間距離的平方和作為代價函數用于優化.這一代價反映了粒子與期望狀態間的距離以及其分散程度.在某一特定時刻的控制性能可用二次型表達式描述為

式中:Wx為狀態偏差權重矩陣;Wu為控制燃耗權重矩陣.

則式(4)可整理為

式(5)中前2項為典型的二次型，如果能將第3項描述為二次型形式，則可以利用現有的數學工具對問題進行求解.注意到誤差方差陣P為非負定矩陣，由矩陣理論可知，對稱的非負定矩陣P ∈R6×6可分解成P=SST，其中S∈R6×6為下三角陣，由P唯一確定，即矩陣P的下三角分解平方根陣為

為便于后記，設Wx為一對角陣，且Wx(i，i)=wii(i=1，2，…，6)，則式(5)中最后一項可整理為

進而，式(5)可改寫為

將式(6)對時間積分作為隨機優化的性能指標為

式(7)中前2項對應于確定性等價控制代價，第3項對應于系統不確定性代價.

綜上所述對于深空著陸器下降軌跡優化問題可描述如下:

1)對于系統的擴展狀態空間描述為

2)在時間區間［0，tf)上尋找最優控制輸入u*，滿足

由于涉及協方差傳播和擴展空間描述的復雜性，尋求非線性控制系統的最優解十分困難.這里采用無限時長穩態增益狀態反饋控制技術獲得優化問題的次優解.

假設對于優化問題(8)存在矩陣Γ滿足代數Riccati方程為

則反饋控制率有如下形式

式中:χss=［xdsss］T為擴展系統穩態解;Kx主要側重于穩定控制目標;Ks提供附加反饋控制用于削弱系統的不確定性，從而提高控制性能.

3 數學仿真分析

以小行星Eros433作為目標天體，其自旋角速度為1 639.4(°)/d，名義半徑為16 km，引力常數為4.462 1×105m3·s－2，在仿真中采用其四階引力場模型.在著陸點固連坐標系下，探測器初始位置為［500 20 －50］Tm，相對小行星表面速度為［1.5 2.0 0］Tm·s－1，預期著陸時間300 s.

考慮著陸器初始狀態估計誤差，其位置初始估計誤差與速度估計誤差分別服從方差為100 m2和0.1 m2·s－2的隨機分布時，利用傳統制導控制算法對著陸器進行前饋控制，在預期著陸時間內著陸器最終著陸速度高達3 m·s－1，在期望著陸時間內存在撞入目標天體的危險，如圖2所示.這主要是由于探測器狀態的可觀測性受系統狀態軌跡的影響，當觀測能力受到限制時，導航估計誤差將持續增大，且其制導控制性能會隨著導航誤差的增大被大幅度弱化，如圖3所示.

圖2 傳統制導控制下著陸器下降軌跡

圖3 導航估計性能與制導控制性能對比

考慮導航估計誤差的存在，在行星著陸控制過程中加入本文設計的反饋對偶控制對著陸軌跡進行隨機優化，由圖4可見，探測器的估計誤差隨著下降軌跡的變化在不斷減小，末端著陸器真實狀態與前饋制導所產生的路徑點基本相符，其最終著陸位置偏差在5 m范圍內，速度偏差在0.05 m·s－1左右.由圖5給出的導航偏差與制導控制偏差的變化趨勢，可看出通過反饋對偶控制對前饋制導給出的下降軌跡的隨機優化作用使導航與制導控制性能得到了整體提高.

圖4 隨機優化反饋對偶控制下著陸器下降軌跡

觀察導航誤差與著陸器水平運動情況的關系，如圖6和圖7所示，可發現前饋制導給出的水平運動規劃十分平滑，特別是著陸末端著陸器在水平運動方向幾乎無變化，導航性能隨著規劃軌跡逐漸變差;而通過加入反饋對偶控制隨機優化后的觀測軌跡在水平運動方向變化劇烈，導航性能逐步提高.可見，反饋對偶控制通過增加著陸器的水平運動，對運動軌跡進行隨機優化，提高了系統狀態的可觀測性.進一步對比其控制燃耗與整體優化性能指標，如圖8中數據顯示，盡管加入反饋對偶控制后系統控制燃耗增加，但其總體性能得到了102量級的提升.

圖5 導航估計性能與制導控制性能對比

圖6 傳統制導控制下著陸器水平運動趨勢對導航誤差的影響

圖7 反饋對偶控制下著陸器水平運動趨勢對導航誤差的影響

圖8 控制燃耗與總體性能對比

4 結論

1)針對視覺導航過程中由于有限觀測能力引起的估計性能不佳問題，研究了一種深空著陸器對偶控制策略，利用非線性系統可觀測性與狀態軌跡間存在的非線性耦合關系來克服著陸過程中可觀測性缺乏的問題.

2)利用著陸過程中著陸狀態可觀測性與著陸下降軌跡之間的耦合特性，將導航估計不確定性引入并擴展系統狀態，給出包含與估計方差相關的二次型性能指標評價方法，使復雜優化問題的求解變為線性二次型最優控制的求解，避免了動態規劃與基于搜索方法的運算負擔.

3)通過進一步的仿真分析可知，該隨機優化方法以控制燃耗為代價，通過對標稱軌跡的合理優化，在滿足著陸任務的同時，使導航估計性能大幅提高，從而使系統整體性能得到提升，達到可靠著陸行星的最終目標.

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Dual control strategy of planetary lander

GAO Ai1，CUI Ping-yuan1，2，CUI Hu-tao1，2

(1.Institute of Deep Space Exploration Technology，Beijing Institute of Technology，100081 Beijing，China;2.Deep Space Exploration Research Center，Harbin Institute of Technology，150080 Harbin，China)

For landing on planet，a dual control strategy is developed to solve the problem of poor estimation performance which results from the lack of observability.The system uncertainty is incorporated into the quadratic performance index as a cost by extending state space，which takes advantage of the nonlinear coupling between observability and trajectory to overcome the lack of observability and to achieve better estimation performance.By stochastic optimizing the landing trajectory，the overall performance of GNC system for landing on planets is improved.

soft landing for deep space exploration;autonomous GNC technology;nonlinear coupling;dual control

V448.233

A

0367－6234(2012)11－0075－06

2012－02－13.

國家自然科學基金資助項目(60874094);國家高技術研究發展計劃資助項目(2010AA122206).

高 艾(1984—)，女，博士，講師;

崔平遠(1961—)，男，教授，博士生導師;

崔祜濤(1970－)，男，教授，博士生導師.

高 艾，gaoai@bit.edu.cn.

(編輯 張 紅)