Weibull壽命試驗數(shù)據(jù)的信息熵

王桂金

(原鋼鐵研究總院, 北京 100081)

服從Weibull分布的疲勞壽命在可靠性理論中占有重要地位[1-2]。與此相關的實測疲勞壽命數(shù)據(jù)應該是一組滿足Weibull分布的隨機變量，它們應給出符合Weibull分布要求的統(tǒng)計量。文獻[3]討論了在采用極大似然法求出Weibull分布的形狀參數(shù)和尺寸參數(shù)的同時，如何把疲勞壽命數(shù)據(jù)的斜度和峭度應用于Weibul參數(shù)κ和λ的擬合，并得出結論：這3種方法得出的Weibull參數(shù)κ應該相一致。然而，由于可能存在多個解，仍需尋求最佳解的途徑。文中沿用文獻[3]中的100個隨機產(chǎn)生的壽命和3組實測壽命數(shù)據(jù)，計算并比較相應的信息熵，進一步提出實測壽命數(shù)據(jù)滿足隨機特性，從而能夠提供可靠Weibull分布參數(shù)應具備的條件。

1 信息熵的計算

1.1 計算方法

設含有N個疲勞壽命的數(shù)據(jù)組已經(jīng)按文獻[3]方法求得參數(shù)κ和λ，則其中壽命為x的數(shù)據(jù)具有的兩參數(shù)Weibull概率密度函數(shù)為[1]

(1)

并且，這N個壽命的數(shù)據(jù)組具有Weibull總信息熵U(N) ，即

(2)

(3)

式中：pi為第i個壽命xi的歸一化概率；u(i)為壽命xi對總信息熵U(N)的貢獻。當N趨向無限大，求和就被積分代替。

1.2 100個無序排列Weibull隨機壽命的信息熵 (κ=λ=1)

無序排列的100個隨機壽命[3]的信息熵u(i)如圖1所示。圖中無序排列壽命的信息熵呈現(xiàn)隨機分布，有3個壽命的信息熵接近于零, 它們對總信息熵U(100)貢獻很小。

圖1 100個無序排列隨機壽命的信息熵

1.3 100個有序排列的Weibull隨機壽命的信息熵 (κ=λ=1)

上節(jié)的100個隨機壽命由小到大排列計算的信息熵如圖2所示。

圖2 100個隨機壽命由小到大排列的信息熵

從文獻[3]可知，有序排列的100個Weibull隨機壽命的3種形狀參數(shù)，即極大似然法κ(N)，斜度的κ(γ1,N)和過盈峭度的κ(γ2,N) 在兩處相當接近：(1)在N=12處,κ(12)=1.743 25,κ(γ1,12)=1.781 71，κ(γ2,12)=1.985 32和λ(12)=0.072 671;(2)在N=100處,κ(100)=0.996 536，κ(γ1,100)=1.007 615，κ(γ2,100) =1.063 9和λ(100)=1.016 7。

有序隨機壽命的信息熵變化很規(guī)則，從第1個壽命的信息熵u(1)=0.077 86單調(diào)降低到u(100)=0.000 754 2,u(1)∶u(100)=103∶1。顯然, 隨機壽命樣本尺寸100已經(jīng)足夠大, 總信息熵4.411 245也趨近最大值。文獻[3]指出這個有序隨機壽命的3種形狀參數(shù)分別在N=12 和N=100處接近重合。由于u(12)=0.069 97只略小于u(1)，前12個壽命數(shù)據(jù)得出的總信息熵U(12)只有0.896 7 , 遠未達到最大值。因此,很容易理解為什么由這12個壽命得出的擬合參數(shù)κ(12)=1.743 25和λ(12)=0.071 267離開模擬隨機壽命時選用的設定值κ= 1和λ=1甚遠。與之相反,根據(jù)全壽命樣本擬合的Weibull參數(shù)κ(100)=0.996 536和λ(100)= 1.016 7都非常接近于設定值1，并且其總信息熵U(100)=4.411 2已接近飽和。 這說明, 滿足Weibull隨機壽命要求的數(shù)據(jù)組應該同時滿足以下2個條件：(1)由極大似然法求出的Weibull分布的形狀參數(shù)和尺寸參數(shù)應同由疲勞壽命數(shù)據(jù)的斜度和峭度求出的Weibull參數(shù)相近或重合；(2)這組壽命數(shù)據(jù)的總信息熵趨近最大(飽和)。這樣擬合得到的Weibull形狀參數(shù)κ和尺寸參數(shù)λ是可靠的。

2 實測疲勞數(shù)據(jù)的信息熵

由1.3節(jié)根據(jù)隨機產(chǎn)生的疲勞壽命擬合得到的Weibull形狀參數(shù)κ和尺寸參數(shù)λ是否可靠, 還需要用實測疲勞壽命數(shù)據(jù)加以驗證。為此本例沿用文獻[3]中的3組試驗數(shù)據(jù)進行計算。有關原始壽命數(shù)據(jù)請參見文獻[5-7]。

2.1 1208K+H208軸承[5] 的Weibull參數(shù)和信息熵(37個樣品)

從文獻[3]可知，1208K+H208(以下簡稱1208)軸承的3種形狀參數(shù)：極大似然法κ(N), 斜度的κ(γ1,N)和過盈峭度的κ(γ2,N)的走向同有序排列的100個模擬隨機壽命相似,并且也在兩處相當接近：(1)在N=15處,κ(15)=1.509 78,κ(γ1,15)=1.664 4，κ(γ2,15)=1.952 67；(2)在N=37處,κ(37)=0.955 55，κ(γ1,37)=1.101 04，κ(γ2,37)=1.149 38。 圖3所示為1208軸承壽命的信息熵,其也呈單調(diào)下降, 從u(1)= 0.165 42減小到u(37)=0.003 871；u(1)∶u(37)=43∶1,u(37) 接近于零。但在N=15處,u(15)=0.108178 5,u(1)∶u(15)=1.5∶1, 因此，前15個壽命的總信息熵U(15)=2.09755顯然還未達到飽和, 對應的Weibull參數(shù)κ(15)=1.50978和λ(15)=330.46 h是不可靠的。而全樣本試驗數(shù)據(jù)給出極大似然法κ(37), 斜度的κ(γ1,37)和過盈峭度的κ(γ2,37)則相當一致, 并且總信息熵U(37)=3.382738也接近飽和, 與1.3節(jié)有序隨機壽命相似, 故可認為所得參數(shù)κ(37)=0.955 55和λ(37)=1 389 h是可靠的。

圖3 1208軸承的信息熵

2.2 7208軸承的Weibull參數(shù)和信息熵[6](60個樣品)

圖4為7208軸承壽命的信息熵。由文獻[3]可知，7208軸承壽命的3種形狀參數(shù)：極大似然法κ(N),斜度的κ(γ1,N)和過盈峭度的κ(γ2,N)也有兩處匯合點：(1)在N=11處有κ(11)=1.736 39,κ(γ1,11)=1.973 144，κ(γ2,11) =1.700 98及λ(11)=32.71 h；(2)在N=60處，有κ(60)= 1.024 43,κ(γ1,60)= 0.926 16，κ(γ2,60)= 0.931 825 及λ(60) =267.12 h。

圖4 7208軸承的信息熵

7208軸承的Weibull信息熵從u(1)=0.106 152下降到了u(60)=0.0008155;u(1)∶u(60)=130∶1。然而在N=11處u(11)=0.094 735;u(1)∶u(11)=1.12∶1。這樣,由前11個壽命計算的總信息熵U(11) =1.128 557顯然未達到飽和。相應的Weibull參數(shù)κ(11)=1.736 39和λ(11)=32.71 h皆不可靠。而在N=60處, 全樣本壽命總信息熵U(60) = 3.911 94已接近飽和, 相應的參數(shù)κ(60)=1.024 43和λ(60)=267.12 h是可靠的。

2.3 6307軸承的Weibull參數(shù)和信息熵[7](20個樣品)

圖5所示為6307軸承壽命的信息熵。從文獻[3]可知，6307軸承壽命的3種形狀參數(shù)：極大似然法κ(N)，斜度的κ(γ1,N)和過盈峭度的κ(γ2,N)在N=1～20都不夠接近，在N=20處,κ(20)=1.577 66 ,κ(γ1,20)=2.175,κ(γ2,20)>5及λ(20)=175×106轉。而且信息熵先從u(1)=0.130 288上升到u(6)=0.188 643， 然后下降到u(20)=0.038 556,u(6)∶u(20)=4.89∶1。這20個壽命的總信息熵U(20)=2.902 24也未達到飽和。所以擬合的Weibull參數(shù)κ=1.577 70和λ=175×106轉是不可靠的。

圖5 6307軸承的信息熵

實際上, 可從1.2節(jié)無序排列隨機壽命數(shù)據(jù)中取前20個，再由小到大排列后進行計算可得:極大似然法κ(20)=0.955 07 , 斜度κ(γ1,20)=1.623 35 , 過盈峭度κ(γ2,20)=2.245 96 , 三者并不重合。并有λ(20) = 0.838 39。所以κ(20)=0.955 07雖然接近設定值,但是λ=0.838 39偏離設定值1較多。這20個隨機壽命的信息熵:u(1)=0.218 78,u(20)=0.033 562,u(1)∶u(20)=6.518∶1。而總信息熵U(20)=2.825 11和6307軸承的數(shù)據(jù)接近。 這表明, 即使是隨機產(chǎn)生的壽命數(shù)據(jù),如果樣本尺寸等于20,仍然無法同時滿足1.3節(jié)中所提出的2個條件, 也就無法保證能擬合得到可靠的Weibull參數(shù)。

3 結論

以上結果表明, 有序排列的Weibull實測壽命數(shù)據(jù)具有隨機特性的必要和充分條件是必須同時滿足以下2個條件：

(1) 實測壽命數(shù)據(jù)在全樣本的條件下,極大似然法κ(N), 斜度的κ(γ1,N) 和過盈峭度的κ(γ2,N) 3種形狀參數(shù)十分接近或者重合；

(2) 實測壽命數(shù)據(jù)全樣本的總信息熵趨近最大值，也即最高壽命試樣對總信息熵的貢獻接近于零。

為了滿足上述2個條件，除了要盡量避免樣品的系統(tǒng)誤差和操作者的人為誤差外, 還需要足夠大的樣本以保證取得可靠的壽命數(shù)據(jù)。當上述2個條件都得到滿足, 擬合的Weibull分布形狀參數(shù)κ和尺寸參數(shù)λ才足夠可靠。