基于CVaR風險控制下的多階段投資組合優化模型

賀月月，高岳林，李 維

（1.北方民族大學信息與系統科學研究所，銀川 750021；2.陜西凌云電器集團公司，陜西寶雞 721006）

0 引言

投資組合優化是現代金融理論研究的起源和動力之一，其思想簡言之，就是把財富分配到不同的資產中，以達到分散風險、確保收益的目的。1952年，Markowitz提出的均值-方差模型［1］，是現代投資理論的基礎。該理論以靜態的觀點研究和論述投資組合的理論和方法。但實際的投資組合問題具有動態特征，由于在不同時期，資產的收益率不同，以及投資者對風險和收益的偏好會發生改變，投資者將考慮以最大化終端財富建立多階段投資組合策略，周期性地平衡資產投資比例。MC Chan等［2］結合各種特定情況的隨機性分析，用某一種特定情況描述整個多階段投資周期的某一單一路徑，建立了多階段投資組合模型。

1993年，國際清算銀行提出的一種針對市場風險的資本金要求的風險度量方法—VaR，盡管它是目前一種應用比較廣泛的風險度量，但是VaR作為投資組合x的函數，存在一些缺點，尤其體現在資產分布存在尖峰厚尾性，同時VaR還不滿足次可加性，而次可加性是一致性風險的重要性質。基于VaR的這些缺陷，一種新的風險度量——條件風險價值(conditional value at risk，CVaR)被提出來，CVaR也被成為尾部VaR、額外損失的均值或平均損失[3][4]。因為CVaR具有次可加性和凸性，在數學上容易處理，從而CVaR的研究成為國內外的熱點。

本文擬將條件風險價值CVaR約束引入到文獻[2]的模型中，運用帶有罰函數處理機制的差分進化算法[5]求解新的多階段投資組合模型，并對新模型進行實證分析，驗證其有效性。

1 多階段投資組合優化模型

假設資產市場上存在n種風險資產，1種無風險資產(用1號表示現金)，投資者在初始0時刻進入市場，開始為期T個階段(t=1,2,…,T)的投資活動。模型結合各種特定情況的隨機性分析，用某一種特定情況描述整個多階段投資周期的某一單一路徑[6]，某一特定情況由市場指數的變化定義，為了簡潔設置兩種特定情況為市場指數下降和市場指數上升，如圖1所示。投資組合模型的描述如下[7]：

（1）參數

表示路徑s下第t階段資產i的收益率；

②πs表示從整個周期開始到周期結束路徑s發生的概

③W0表示投資開始時的財富總量；

④表示路徑s下第t階段結束時的所有財富總量；

⑤表示路徑s下第t階段開始時重新平衡資產分配之前資產i的財富總量；

⑥T是階段總數；

（2）決策變量

①表示路徑s下第t階段開始時重新平衡資產分配之后資產i的財富總量；

圖1 擁有兩種特定情況和三個階段的情景樹

②表示路徑s下第t階段開始時為了重新平衡資產而需買入資產i的總量；

③表示路徑s下第t階段開始時為了重新平衡資產而需賣出資產i的總量；

（3）多階段投資組合優化模型

其中，i=1,2,…,n+1；s=1,2,…,S;t=1,2,…,T。MeasureTs是路徑s下第T階段所用效用函數。γ是投資者根據自己對投資風險的容忍程度設定的參數：γ值越小，表示投資者對投資風險敏感，γ=1是效用函數值是階段結束時不考慮投資風險的財富量。

在模型(1)中，第一、二個約束條件表示初始化時的總財富量；第三個約束條件表示路徑s下每個階段t開始時的總財富量；第四個約束條件表示路徑s下資產i平衡前財富量與前一階段積聚的財富量的關系；第五、六個約束條件表示現金和其它種類資產在特定情況s下平衡后的財富量；第七個約束條件表示任何階段平衡前每一種資產在所有路徑下的價值相等。

2 基于CVaR風險控制下的多階段投資組合優化模型

2.1 條件風險價值(CVaR)[8]

是投資組合x的益損函數，向量y表示影

響益損的不確定性，如市場價格或收益率，對任意x，由y

是服從某一分布的隨機變量。為方便

起見，假設y的密度函數為

不超過某一閾

值的概率為

固定x時，作為ξ的函數φ(x,ξ)是同x相關的益損的累積分布函數，在給定置信水平α下的VaR與CVaR值分別為

VaRα(x)是包含值ξ的非空區間的左端點，因此，則的概率為1-α。因此CVaRα(x)是益損f(x,y)大于等于VaRα(x)的條件期望。

假設資產的收益率服從正態分布的情況，由CVaR的定義，得益損f(x,y)在置信水平下的CVaR為

其中，R(x)為投資組合的期望收益，σ(x)為R(x)的標準差，?為標準正態分布的分布函數，?-1(α)為標準正態分布的α-下側分位數，ψ()?為標準正態分布的概率密度函數。

表1 選取的美國標準普爾指數100的9只成分股

2.2 模型的建立

考慮到投資者在追求高收益的同時，希望風險盡可能小，或者將風險控制在一定水平下，期望收益盡可能大。從而，在不允許賣空的情況下，引入條件風險價值CVaR約束，則新模型如下

表2 三個階段各條路徑發生的概率

表3 特定路徑下各階段的最優投資策略

表4 特定路徑下各階段的最優投資策略

表5 特定路徑下各階段的最優投資策略

表6 風險閾值ω=0.5時，不同置信水平下的條件風險價值

其中，i=1,2,…,n+1；s=1,2,…,S；t=1,2,…,T。Rst為路徑s下第t階段資產組合的期望收益，σst為Rst的標準差，?為標準正態分布的分布函數，?-1(α)為標準正態分布的α-下側分位數，ψ(?)為標準正態分布的概率密度函數.第一個約束條件表示在給定的置信水平α下，將路徑s中每個階段的條件風險價值CVaR都控制在閾值ω范圍內。

利用罰函數方法[9]將模型(2)轉化成如下形式

其中，i=1,2,…,n+1；s=1,2,…,S；t=1,2,…,T;δ為懲罰因子，一般選取105～108。

3 實證分析

表7 不同置信水平與風險閾值下的期望收益

本文借鑒文獻[7]的數據，如表1和表2所示。路徑用0-1二進制代碼表示，1表示市場指數上升，0表示市場指數下降(如010表示第1、3階段市場指數下降，第2階段市場指數上升)。

現將9只股票和銀行存款作為一項投資，投資階段數T=3，假設模型(3)中的懲罰因子δ=106。在MATLAB中運用差分進化算法來實現，參數分別設置為：種群規模NP=100,最大迭代次數Tmax=500，縮放因子F=0.3，變異概率由CRmax=0.9到CRmin=0.5逐步遞減。置信水平α分別取90%、95%、99%，程序均獨立運行30次。

(1)當α=90%時，期望收益為1.0042，得到最優投資策略如表3所示。

(2)當α=95%時，期望收益為1.0044，得到最優投資策略如表4所示。

(3)當α=99%時，期望收益為1.0045，得到最優投資策略如表5所示。

表3～5分別給出了置信水平α=90%、α=95%、α=99%下，資產組合路徑(1,1,1)和路徑(1,1,0)各階段的最優投資策略。同樣的，可以得到其他六條路徑各階段對應的最優投資策略。

由表6可知，在給定投資組合的風險閾值ω時，隨著置信水平α的不斷增大，CVaR值也不斷增大，說明投資者厭惡風險的程度逐步增強，從而可根據自己的風險厭惡程度選擇和制定投資方案。

在相同置信水平α下，將風險閾值ω由0.3逐步增加到0.9，如表7所示，期望收益不斷增大；同一風險閾值ω下，隨著置信水平α由90%逐步增加到99%，期望收益也不斷提高。結合表6的結論可知，當置信水平越大時，條件風險價值越大，期望收益也越高，即高風險高收益。這也符合理論研究結果。

4 結束語

本文在不允許賣空的情況下，通過對資產組合的每一個階段施加CVaR約束，即利用條件信息不斷地對風險進行重新評估,從而對投資決策連續地施加影響，使投資者在投資過程中盡可能避免遭受非正常損失，并運用差分進化算法，分階段地逐步調整投資比例，實現對資產組合收益的優化。該思想更符合實際投資情況，使投資者能選擇適合自己風險偏好的投資組合策略。

[1]Markowitz H.Portfolio Selection[J].The Journal of Finance，1952，（7）.

[2]MC Chan，CC Wong，BK-S Cheung，Etal.Genetic Algorithms in Multi-Stage Portfolio Optimization System[A].Computing in Economics and Finance[C].Society for Computational Economics，2002．

[3]Chernozhukov Victor，Umantsev Len.Conditional Value-at-Risk，As?pects of Modeling and Estimation[C].Working Paper,Department of Eco?nomics，2000.

[4]Rockafellar R T，Stanislav Uryasev.Optimization of Conditional Val?ue-at-risk[J].Journal of Risk，2000，(2).

[5]劉波，王凌，金以慧.差分進化算法研究進展[J].控制與決策，2007，22(7).

[6]Berend Roorda．An Algorithm for Sequential Tail Value at Risk for?Path-independent Payoffs in a Binomial Tree[J].Ann Oper Res，2010，181（1）.

[7]須文波，江家寶，孫俊.基于QPSO算法的多階段投資組合優化[J].計算機應用，2006，(7).

[8]高岳林，苗世清.基于VaR和CVaR風險控制下的M-V投資組合優化模型[J].統計與決策,2010，(5).

[9]高岳林，陳東志，鮑衛軍.基于CVaR約束的單位風險收益最大投資組合模型及實證[J].統計與決策，2009，(13).