數字射線檢測技術專題（三）——成像過程基本理論

鄭世才

（新立機器廠，北京 100039）

1 成像過程概念

從一般的概念理解，成像過程可以概括為，成像系統（包括成像設備、器材和技術）對輸入作出響應給出輸出的過程。圖1給出了成像基本過程的示意圖。也就是，被觀察的物空間對象作為成像系統的輸入，在像空間成像系統輸出獲得的圖像。或者說，物空間被觀察對象作為成像系統的激勵信號，成像系統對激勵信號響應，在像空間輸出圖像。

圖1 成像基本過程的示意圖

不同成像系統，由于設備、器材和技術等的差異，使成像系統具有不同特性，使成像過程具有不同特點，對輸入信號產生不同的響應，導致輸出圖像質量不同。

在研究的不同成像系統中，一類系統在理論上稱為線性平移不變系統，也稱為線性空間不變系統，或簡單地稱為線性系統。簡單說，線性平移不變系統具有的基本特性是：

（1）輸入是多個信號線性和時，輸出信號等于這些信號對應輸出的和。

（2）當輸入信號作坐標平移時，輸出信號形式不變，僅是平移一定坐標。

很多實際的成像系統都是線性平移不變系統，或至少在局部成像區域內可認為是這樣的系統。對這樣的系統，輸出信號與輸入信號間將存在簡單的關系。以下討論的理論內容都是針對這樣的成像系統。

2 成像過程的空間域分析

對于線性平移不變系統的空間域成像過程，可如下分析。

2.1 點擴散函數

實際的成像系統由于存在的各種性能不完善，得到的像總會產生某種程度的模糊。對于一個成像系統，其成像特性集中反映在其對點物體的成像。如圖2，成像系統對一個脈沖狀的點物體，得到的像一般呈現為具有一定分布的鐘形像。這個具有一定擴展分布像的函數，稱為成像系統的點擴散函數（或者稱為成像系統的脈沖響應函數），圖3是成像系統點擴散函數的典型樣式。

圖2 點物體成像的擴散

圖3 成像系統的點擴散函數

在一維空間（包括對實際三維空間），點擴散函數一般記為h（x），縮寫時記為PSF。成像系統性能不同，其點擴散函數不同。可以認為，點擴散函數集中反映了成像系統的成像特性。從下面的討論可以看到，點擴散函數擴展寬度越小、分布形狀越尖銳系統成像質量越好。

2.2 卷積成像過程

對于線性平移不變系統，按照點擴散函數概念，對于物空間的一個點I0（x1），經成像系統成像后，若成像系統的點擴散函數為h（x），則得到的像I（x）與物I0（x1）的關系為：

即，物空間一點經成像系統成像后，將按成像系統的點擴散函數擴展為一個區。在像分布的區中，不同點的幅度將是I0（x1）與點擴散函數h（x）在該位置點值的積。

任何物體，可看成由一系列點組成（不同點具有不同分布強度）。因此，線性平移不變成像系統對某物體成像時，應是各個點像的迭加和。如圖4所示，這時像的任意點，實際將是一定范圍內不同點的迭加結果。當把一個小區域Δx看成一點時，在某點xi處的像則可寫成：

一般地，對于連續分布物體，可寫成積分形式：

式中ξ為積分變量。此式在數學上表示的是，函數I（x）等于函數h（x）與函數I0（x）的卷積，卷積可用下式和符號“＊”表示：

由于卷積滿足交換律，所以此式也可寫為：

圖5給出的是某成像系統對正弦信號的卷積成像過程。成像系統的點擴散函數為一矩形函數，圖中畫出了系統的點擴散函數和正弦信號的卷積過程，也可看出像點間相互影響的情況。它顯示了成像系統的點擴散函數，表征成像系統成像特性的情況。

圖5 卷積成像過程

2.3 成像過程的一般表示

對上述討論一般化，這時線性平移不變系統的成像過程可按圖6所示概括。記輸入物函數為f（x），成像系統的點擴散函數為h（x），輸出圖像為g（x），則它們之間的關系為：

用卷積運算符號則可寫成：

即，在空間域分析成像規律時，成像是物函數與成像系統的點擴散函數的卷積過程，成像質量決定于成像系統的點擴散函數。

因此，只要清楚了成像系統的點擴散函數，就可通過卷積運算給出成像系統對任何物體的輸出圖像，可確定成像系統對任意物體的成像情況。按卷積運算過程，成像后圖像中的某點實際是一個區域中像的迭加。某點的像將受周圍一定范圍內像點的影響。

3 成像過程的空間頻域分析

在空間頻（率）域，可進一步分析成像系統的成像過程，可以看到成像系統成像過程更多的特點，可以對成像系統、成像過程、成像質量特征作出更清晰描述。

3.1 空間頻率與調制度概念

類似于時間頻率概念，對在空間按周期重復分布的對象引入空間頻率概念。一般地，對在空間周期分布的信號，可采用圖7描述。這時，空間分布信號的重復間距（圖中p）稱為空間周期，單位一般用mm，單位距離內所含的周期數則稱為空間頻率。空間頻率常是單位距離內所含的線條與空隙對數，即“線對數”表示，單位一般用“Lp／mm”。空間頻率若記為v，則其與空間周期p的關系為：這與時間頻率中的關系相同。應用時，空間頻率的意義常是一個細節在空間域的重復頻率。

圖7 空間頻率概念

對一信號可引入調制度概念。調制度一般記為M，按圖7所示符號，調制度概念定義為：

式中Imax為信號的最大值；Imin為信號的最小值。

從空間頻率概念考慮，任何物體都可理解為包含著不同空間頻率的組成部分。物體的輪廓、物體中的不同結構、物體中的細節（如存在的缺陷）等，按照它們的尺寸，可對應成不同空間頻率。一般說，物體的輪廓部分形成空間頻率的低頻部分，物體的不同結構部分形成空間頻率的中頻部分，物體的細節（如存在的缺陷）部分形成空間頻率的高頻部分。

3.2 成像的傅里葉變換分析

按照傅里葉變換，對任意一個空間（或時間）域x中的函數f（x），在空間（或時間）頻率域（頻率v）存在一個對應的函數F（v），它們的關系是：

從f（x）給出F（v）稱為傅里葉變換，從F（v）給出f（x）稱為傅里葉逆變換。它們表示，一個物理量，可以在空間（或時間）域x用函數f（x）表示，也可以通過傅里葉變換在空間（或時間）頻域v用函數F（v）表示。函數F（v）稱為函數f（x）的頻譜，它給出了構成函數f（x）的各個頻率成分情況。

通過傅里葉變換，可以簡單地從空間域轉換到空間頻域。因此，對成像過程從空間域轉換到空間頻域，只需要對空間域的成像進行傅里葉變換。即：

按照傅里葉變換卷積定理，則應有：

寫出它們各自的具體表示式，并用各自的符號，則有：

這時則可寫出：

這個關系式說明，對于線性平移不變系統，在空間頻域，（輸出）像的頻譜可以用（輸入）物的頻譜與成像系統點擴散函數的頻譜的乘積表示。像頻譜與物頻譜的關系則可寫為：

式中H（v）稱為成像系統的傳遞函數。

按照傅里葉變換公式，傳遞函數一般為一復數，可以寫成模與幅角積的形式，即：

式中v為空間頻率；T（v）為調制傳遞因子；θ（v）為相位傳遞因子。T（v）反映成像過程中調制度的變化，θ（v）反映成像過程中相位的變化，圖8示意性地顯示了調制度和相位在成像過程的變化。

3.3 調制傳遞函數MTF

調制傳遞因子T（v）表示的是像的調制度Mi和物的調制度M0的關系，即：

圖8 成像過程調制度和相位的變化

即，T（v）給出了通過成像系統后，像的調制度與物的調制度的關系。T（v）與空間頻率v的函數關系稱為調制傳遞函數，簡記為MTF。調制傳遞函數曲線的典型樣式如圖9。由于T（v）決定于成像系統點擴散函數的傅里葉變換，因此，調制傳遞函數也決定于成像系統的點擴散函數。

圖9 調制傳遞函數曲線樣式

調制傳遞函數具體給出了成像系統對不同空間頻率細節成像后調制度改變的情況。細節尺寸越小，對應的空間頻率越高，經成像系統成像后調制度降低越多。細小缺陷顯然具有更高的空間頻率，因此，成像后調制度降低將大于較大尺寸缺陷。也就是將更難成像。由于任何接收器存在可識別的調制度閾值，因此成像系統存在可識別的最高空間頻率，也即可識別的細節最小尺寸。

從此不難理解，對任何檢測技術，都存在可檢驗的缺陷最小尺寸。

4 線擴散函數、邊擴散函數與不清晰度

4.1 線擴散函數與邊擴散函數概念

在前面的敘述中，一直采用一維空間，并僅使用點擴散函數概念。在實際三維空間中，點擴散函數應是二維函數，這時點擴散函數可記成h（x，y）。其圖像如圖10所示。對于線性平移不變系統，由于系統的平移不變性，點擴散函數可以寫成一維形式。

在成像理論研究中，除了點擴散函數還引入了線擴散函數（LSF）。線擴散函數是成像系統對線物體所成的像，也就是對線物體的響應。容易理解，線擴散函數是點擴散函數在某方向的迭加，圖11表示了這種情況。即：

顯然，它也應是一個二維函數。同樣，對于線性平移不變系統，考慮到系統的平移不變性，對于系統的主要成像區，線擴散函數可以寫成一維形式，一般將其記成L（x）。

在成像理論研究中，除了點擴散函數、線擴散函數（LSF），還引入了邊擴散函數（ESF）。邊擴散函數是成像系統對直邊所成的像，也就是對直邊物體的響應。對于線性平移不變系統，也可寫為一維函數，記成E（x）。線擴散函數與邊擴散函數兩者的關系為：

這樣，邊擴散函數與點擴散函數關系應為：

即，邊擴散函數是線擴散函數曲線下的面積，而線擴散函數可從邊擴散函數曲線的導數得到。圖12畫出了對應的線擴散函數和邊擴散函數曲線。

圖12 成像系統的線擴散函數和邊擴散函數

在三維空間中成像系統的傳遞函數，理論上一般采用線擴散函數的傅里葉變換。

4.2 線擴散函數與不清晰度關系

對于射線檢測技術，經常使用的是簡單的不清晰度概念U。按照不清晰度概念，它定義為射線檢測技術中的不清晰度曲線的擴展寬度。不清晰度曲線實際就是邊擴散函數曲線，因此，不清晰度實際也就是邊擴散函數的擴展寬度。由于線擴散函數為邊擴散函數的導數，不清晰度也是線擴散函數的擴展寬度。

在射線檢測技術，對于實際測量不清晰度，不同研究人員采用了不同的方法。通常的建議是用直線給出的擴展寬度作為不清晰度，該直線下的面積與復雜形狀不清晰度曲線下的面積應相等，圖13（a）顯示了具體情況，圖中的直線BC就是所采用的直線。在近似處理問題時，用該直線擴展寬度作為不清晰度，也就是用一矩形函數近似線擴散函數，矩形函數寬度現在常用BW表示。圖13（b）顯示了它們之間的關系。

圖13 射線檢測技術的不清晰度測定

可見，無論不清晰度的理論概念和實際測量，都顯示它是邊擴散函數擴展寬度的轉換概念。也就是，不清晰度是相關于射線檢測技術作為成像系統的擴散函數的概念。因此，它成為影響射線檢測技術成像系統調制傳遞函數的重要因素。當然，調制傳遞函數還將與不清晰度曲線的形狀密切相關。也就是，不清晰度將直接影響射線檢測技術系統對不同空間頻率細節成像的質量。

5 瑞利判據

點擴散函數的擴散范圍表征了成像系統的分辨能力。當點擴散函數擴散存在一定范圍時，在得到的像上，某一點實際是物中一定范圍內點貢獻的迭加結果。點擴散函數擴散的范圍越小，涉及的物中點的范圍越小，成像系統的分辨能力越高。當兩個物點逐漸靠近時，它們的像也將互相靠近，直至重疊不能分辨。

在光學理論上，瑞利把圖中一個點物衍射圖樣的中央極大與近旁另一個點物衍射圖樣的第一極小重合，作為光學成像系統的分辨力極限，認為此時系統恰好可以分辨開兩個點物。這稱為瑞利判據，至今，一直采用該條件作為分辨力標準。

實際應用中的瑞利判據如圖14所示。即，當二等強度孤立線像合成分布的中央最小值（圖中F點）不高于兩邊最大值（圖中G點）的0.81時認為可分辨。對當二等強度孤立點像合成分布的中央最小值（圖中F點）不高于二邊最大值（圖中G點）的0.735時認為可分辨。

將瑞利判據轉換到成像系統的調制傳遞函數曲線上，運用調制度概念可確定成像系統可分辨的最高空間頻率。簡單計算即可以得到，對于線狀圖像，決定最高空間頻率的調制度近似為0.11。圖15是其示意圖，圖中N0就是成像系統可分辨的最高空間頻率。采用雙絲像質計測定的不清晰度對應的空間頻率，就是對應調制度近似為0.11處的空間頻率。應注意的是，某些標準采用調制度為0.2處的空間頻率作為成像系統可分辨的最高空間頻率。

（未完待續）

［1］王之江，伍樹東.成像光學［M］.北京：科學出版社，1991.

［2］母國光，戰元齡.光學（第2版）［M］.北京：高等教育出版社，2009.

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［4］麥偉麟.光學傳遞函數及其數理基礎［M］.北京：國防工業出版社，1979.

［5］謝敬輝，廖寧放，曹良才.傅里葉光學與現代光學基礎［M］.北京：北京理工大學出版社，2007.

［6］廖延彪.成像光學導論［M］.北京：清華大學出版社，2008.

［7］Halmshaw R.Industrial Radiology： Theory and Practice［M］.New Jersey：Applied Science Publishers LTD ，1982.