用向量數學工具分析經濟效應的方法探討

周鳳珍

0 引言

在經濟效應分析中，某種商品價格的變化可能會產生兩方面的影響：一方面使該商品相對于其替代商品而言變得更貴或更便宜了，這會導致消費者減少或增加對該商品的消費量，而增加或減少對該商品替代品的消費量；另一方面，使得消費者的實際收入（或購買力）下降或上升，這也會導致該消費者減少或增加對商品的消費量。前一種影響即為價格變化的替代效應，而后一種影響即為價格變化的收入效應，總效應=替代效應+收入效應。

西方經濟學一般用圖解的方法分析收入效應、替代效應及總效應，當前經濟學教材中普遍采用的分析表達方法，本文稱為“一般分析方法”。

1 一般分析方法簡介

以圖1為例，介紹分析物品的替代效應、收入效應和總效應的一般分析方法[1]。

圖1中的橫軸OX1和縱軸OX2分別表示商品1和商品2的數量，其中商品1是正常物品。在商品1價格變化之前，消費者的預算線為AB，該預算線與無差異曲線U1相切于X點，X點是消費者效用最大化的一個均衡點。在X均衡點上，相應的商品1的需求量為OX10，現假定商品1的價格P1下降使預算線的位置由AB移至AB′。新的預算線AB′與另一條代表更高效用水平的無差異曲線U2相切于Z點，Z點是商品1的價格下降以后的消費者的效用最大化的均衡點。在Z均衡點上，相應的商品1的需求量為OX12，比較X、Z兩個均衡點，商品1的需求量的增加量為X10X12(=TE)，這便是商品1的價格P1下降所引起的總效應。這個總效應可以被分解為替代效應和收入效應兩個部分。

為了從總效應中離析出替代效應和收入效應，作一條平行于新預算線AB′且與無差異曲線U1相切的預算補償線FG，FG與U1相切于Y點（本文稱之為“輔助均衡點”），在Y點商品1的需求量為OX11，依據經濟分析可知，X10X11（=SE）為替代效應，X11X12(=IE)為收入效應，X10X12=X10X11+X11X12，即TE=SE+IE。

由于低檔商品與正常商品的消費量隨價格變動的情況不同，分析低檔商品及低檔商品中的吉芬商品，在一般分析方法中一般是分別論述的，這里不再贅述，讀者可參考經濟學教材，因為本文旨在介紹新的分析方法。

一般分析方法中，確定收入效應、替代效應及總效應的方向，是以價格變動方向為參照系的，比如經濟學教材中總是這樣表達效應的方向：與價格成“同方向”或“反方向”變動，而價格可能上升也可能下降，所以“參照系”是變化的。由于“參照系”的變來變去，常使初學者倍感糊涂。筆者嘗試商品的效應分析中引入向量，不必區分正常品、低檔品等，按照統一的數理方法進行分析即可。

圖1 正常物品替代效應和收入效應的一般圖解

2 向量分析法

前面已簡要介紹了關于替代效應、收入效應及總效應一般分析方法。下面解釋向量分析法的原理。

假設一切條件同前面所述，在圖1中添加向量：從初始均衡點X指向新均衡點Z，作向量，為總效應向量；從初始均衡點X指向輔助均衡點Y作向量，為替代效應向量；從輔助均衡點Y指向新均衡點Z作向量，為收入效應向量，得到圖2。

如圖2所示，替代效應向量、收入效應向量和總效應向量三者的關系為：

圖2 替代效應和收入效應及總效應的向量圖解

圖3 相關商品的替代效應、收入效應和總效應向量圖解

由此可以看出，當價格變化均衡點移動時，每個向量中都包含了商品1和商品2的效應信息，根據向量的數學性質，可分解出其中包含的商品1和商品2的各種效應量。假如分析更多商品，理論上說也同此理，因為向量中包含了所有相關商品的效應信息。

以上是向量法用于從圖形上看是正常商品的例子，如果用于分析低檔（非吉芬或吉芬）商品價格變動產生的效應也一樣，適用于任何類型商品及任意價格變動的效應分析，可以一以貫之。下面不妨再以吉芬商品為例說明如下。

假設商品1是吉芬商品，當商品1價格P1下降時，作向量圖如圖4所示，商品1的總效應向量、替代效應向量及收入效應向量分別是和，且這三個向量在X1軸方向的分向量分別是和代表P1下降商品1產生的總效應向量、替代效應向量和收入效應向量，且，這些分向量的數量值分別是TE、SE和IE，TE=SE+IE。

可見，吉芬商品與正常品的效應分析方法一樣，確定效應量的數學過程一樣。可以推而廣之，用于任何類別的商品效應分析。

3 向量分析法的意義

通過前文的論述，在分析收入效應、替代效應及總效應時，向量分析法與一般分析法相比，其意義可總結如下：

（1）延伸數理分析線路

圖4 吉芬品的效應向量圖解

作出向量后，下一步還可以用解析幾何的方法處理效應問題。如圖5所示。

通過前面的分析可知，向量分析法的實質是依據三個均衡點X、Y、Z（始與終兩個均衡點及一個輔助均衡點）確定效應向量關系的。前文假設條件不變，一個消費者消費商品1和商品2，以此建立坐標系如圖5所示，設初始均衡點X（X10,X20）點,商品1價格發生變化后,新的均衡點Z（X12，X22），為了分解出總效應中的替代效應量和收入效應量，作補償預算線，得到輔助均衡點Y（X11，X21），依據向量指示的方向可以進行解析計算，價格變化引起的商品1的總效應量就是替代效應IE=,收入效應計算商品2的效應亦同理。

（2）拓展分析范圍

現實中商品價格總是起伏不定地波動著，當要考察商品價格的多次變化引起的效應時，用向量跟蹤表示更為方便。

圖5 替代效應和收入效應及總效應的向量解析法圖解

如圖6所示，假設最初消費均衡點在Z點，由于商品1價格P1上升，消費均衡點由Z點變為X點，然后P1又下降了，消費均衡點由X點又變為W點，那么從最初均衡點向最終均衡點作向量就是所有變化的總效應向量，為P1上升階段的總效應向量，為P1下降階段的總效應向量，且，求解商品1各階段價格波動效應量的方法一樣，只需依據向量的性質，作出各向量在X1軸方向的分向量即可。

圖6 商品價格任意變化時效應向量圖解

所以，向量法可用于動態或多個均衡點分析。

無論如何變化，總能作出一個閉合的向量圖，依向量箭頭方向看，兩條向量路線都是從初始均衡點出發，止于最終均衡點，其中一個路線是從初始均衡點直指最終均衡點，只有一個向量，這就是總向量，例如圖6中向量另一條路線從初始均衡點出發，順次經過其他各均衡點，最后“到達”最終均衡點，例如圖6中向量要分析各種效應量，只需分解各向量在目標商品軸（如圖6中X1或X2軸）上的分向量即可得之，非常簡便。

把向量這個數學工具引進經濟學的基礎分析中，比較圖1和圖2，可以看出：在圖1中，效應量TE、SE、IE只能靠經濟分析確定其方向及數值，從數理意義上看似乎是“無源之水”，而在圖2中引入向量以后，就既有經濟意義又有數理意義了，達到了經濟意義與數理意義的完美統一。從數理意義上看，圖形底部標出的向量及其數量值TE、SE、IE就有了“源頭”，從圖1的“無源之水”變成了圖2有來龍去脈的“有源之水”，在不失“經濟成分”的同時，疏通了數理“脈絡”，從數理上解釋了總效應向量、替代效應向量、收入效應向量以及總效應TE、替代效應SE、收入效應IE的來自哪里，邏輯思路清晰。

把向量用于經濟效應分析，可以看出經濟理論與數學向量工具的結合路線圖是這樣的：找出均衡點（依據經濟理論分析）→作向量（經濟意義與數學工具相結合）→向量運算（依據數學理論分析）→得出效應量（還原出數學變量的經濟意義）。概括地說，這個分析過程的路線圖就是：經濟分析→數理分析→經濟意義還原。

利用向量分析法，無論哪類商品也無論哪種經濟效應，都可統一到數學意義的正負值上，清晰明了，邏輯嚴密，是具有普適性的經濟學數理分析方法。

（3）直觀性強

效應向量化之后，向量中“攜帶”了效應的所有信息，通過向量的分解可以一一釋放出來。比如，前文中根據各向量方向與X1軸或X2的方向是同向或反向，就可以直觀地看出各效應向量數值的正負及其間的疊加關系了。因此，只需在圖形上作出向量，不必再象一般分析方法中的圖1所示那樣，在圖形底部刻意標示出來，通過向量的數學性質就能直觀地判定效應量的方向及其關系了。

用向量表示，各效應量間的關系一目了然，向量圖上非常清晰地反映出其間的疊加關系（同向或反向），從而也就很容易判斷出每種效應量值的正負。也就不必刻意記住西方經濟學教材里的“同方向”或“反方向”判定表格，而且無論價格上升或下降，直接從起點（初始均衡點）向終點（新均衡點）作一個向量，就是總效應向量，再把總向量分解為替代效應向量和收入效應兩個向量，三個向量中就包含了所有的效應信息。然后運用向量的數學性質運算，分解出所有想要的具體商品的效應量。

以勞動經濟學中工資率變化的效應分析為例，如圖7所示。

假如隨著經濟的增長，工資率提高了，工資率的提高不僅使個人的收入增加，同時也使余暇和勞動時間的效用發生相應的變化。工資率的變化同時帶來兩種效應：收入效應與替代效應。主體的勞動供給決策所受的影響也最終取決于這兩種效應的相互關系。

在圖7中，U1，U2分別是不同效用水平的余暇—收入等效用線，且U2＞U1，橫軸OH軸為余暇時間，OH0為每天最大的余暇時間（24小時），縱軸為收入Y，Y0H0為工資率W1時的收入線，Y1H0為工資率W2時的收入線，收入線與橫軸夾角的正切值即為工資率，這里顯然W2＞W1。

圖7 工資率變化的收入效應與替代效應向量圖

在工資率W1時，主體效用最大化的點，即均衡點，為余暇—收入等效用線U1與收入線Y0H0的切點A點。在A點，收入為Ya，余暇時間為 Ha。由W1增長為 W2，主體將作出適時調整，調整后新的均衡點為余暇—收入等效用線U2與收入線Y1H0的切點B點，在B點，收入為Yb，余暇時間為Hb。

可見，通過向量圖可以非常清晰地看出各種效應之間的關系。

[1] 高鴻業.西方經濟學（微觀部分）[M].北京：中國人民大學出版社，2004.

[2] 楊河清.勞動經濟學[M].北京：中國人民大學出版社，2010.