控制系統(tǒng)中基于映射云的不確定性表示

楊志曉 范艷峰

(河南工業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

0 引言

控制系統(tǒng)存在著大量的不確定性，模糊性和隨機(jī)性是其中最重要的兩種［1］。不確定性主要來(lái)源于各種傳感器、儀器儀表和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸出，也來(lái)自于輸入量的細(xì)微波動(dòng)以及溫度、震動(dòng)等各種環(huán)境因素。當(dāng)輸入量發(fā)生改變時(shí)，輸出結(jié)果的不確定性特征可能發(fā)生改變。當(dāng)前，控制系統(tǒng)一般將儀器儀表、執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸出作為精確值處理［2－8］。不能闡述實(shí)際輸出結(jié)果的不確定性及其可代表期望輸出的確定程度，將給控制效果帶來(lái)不可預(yù)知的風(fēng)險(xiǎn)。

云模型能夠?qū)⒍ㄐ愿拍畹哪：院碗S機(jī)性進(jìn)行統(tǒng)一量化描述［9］。不過(guò)，云模型面向單個(gè)定性概念，它不能闡述儀器儀表和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸出不確定性在整個(gè)測(cè)度空間的變化情況。針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出云映射和映射隸屬云的不確定性表示方法。其基本思想是分析關(guān)鍵輸入量值輸出的不確定特征，分別設(shè)計(jì)隨機(jī)變量，實(shí)現(xiàn)輸入到輸出的非精確變換。同時(shí)，將不確定變換拓展至整個(gè)測(cè)度空間，定量表示輸出不確定性及其在整個(gè)測(cè)度空間的變化情況。

1 云模型介紹

在自然界和人類認(rèn)知過(guò)程的各種不確定性中，模糊性和隨機(jī)性是最重要的兩種不確定性。云模型能夠?qū)⑦@兩種不確定性進(jìn)行統(tǒng)一量化描述。云模型由大量云滴構(gòu)成。云滴可定義描述為［9］:假設(shè)U是用數(shù)值表示的定量論域，C是U上的定性概念，?x∈U是定性概念C的一次隨機(jī)實(shí)現(xiàn);x對(duì)C的確定度用μ(x)表示(μ(x)是有穩(wěn)定傾向的隨機(jī)數(shù)，且滿足 μ(x)∈［0，1］);x在論域U上的分布稱為云，記為C(x)，每一個(gè)x稱為一個(gè)云滴。

在云模型的定義中，隨機(jī)變量x不再是簡(jiǎn)單概率意義下的隨機(jī)變量，而是對(duì)它的任何一個(gè)實(shí)現(xiàn)(即云滴x)都存在一個(gè)確定度μ(x)。μ(x)是云滴x能夠代表定性概念C的程度，且確定度μ(x)也是一個(gè)有穩(wěn)定傾向的隨機(jī)數(shù)。確定度μ(x)的作用相當(dāng)于模糊集理論中的隸屬度，但它與隸屬度最大的不同是它在給定隨機(jī)變量取值下是一個(gè)隨機(jī)數(shù)，而不是唯一確定值，從而將定性概念的模糊性和隨機(jī)性統(tǒng)一起來(lái)。定性概念C的特征通過(guò)云的整體來(lái)體現(xiàn)，云滴的數(shù)量越多，云的整體特征越明顯。

云模型用期望值Ex、熵值En和超熵值He這三個(gè)數(shù)字特征來(lái)表示，記為C(Ex，En，He)。期望值Ex是在論域U中最能代表定性概念C的點(diǎn)。熵值En既是定性概念隨機(jī)性的度量，用來(lái)闡述云滴在論域空間的離散程度;又是定性概念模糊性的度量，能反映云滴在論域空間的集中程度。熵值越大，云滴越分散，集中度越低，概念更宏觀;熵值越小，云滴越集中，概念的粒度更小、更清晰。超熵值He是熵的熵，He是熵值En的穩(wěn)定性度量。超熵值越大，熵的穩(wěn)定性越差。

自然界中的許多隨機(jī)現(xiàn)象都符合正態(tài)分布，因此，云模型采用正態(tài)分布描述隨機(jī)性，稱為正態(tài)云［10］。即x～N(Ex，En'2)，En'～N(En，He2)。x的確定度計(jì)算公式如下:

式中:μ為無(wú)量綱物理量確定度;x為實(shí)現(xiàn)的云滴;Ex為云的期望;En'為以熵值En為期望、以超熵值He為標(biāo)準(zhǔn)差實(shí)現(xiàn)的一個(gè)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)。

根據(jù)已知樣本(云滴)的統(tǒng)計(jì)特征，歸納云的數(shù)字特征值C(Ex，En，He)，稱為逆向生成云;若已知云的數(shù)字特征值，生成云滴，稱為正向生成云。

2 云映射和映射隸屬云

將儀器儀表、執(zhí)行機(jī)構(gòu)的工作過(guò)程看成是從輸入到輸出的一個(gè)映射變換，不失一般性，給出以下定義。

對(duì)非空集合A和B，若按照對(duì)應(yīng)關(guān)系F，?x∈A，存在隨機(jī)變量Yx，在集合B上的值域?yàn)閁x?B，稱F為A到B的一個(gè)云映射，記為，或 Yx=F(x)。

根據(jù)上述定義，集合A中的每一個(gè)元素?x∈A，都通過(guò)一個(gè)隨機(jī)變量Yx變換到一個(gè)可能的取值空間Ux?B。Yx的每一個(gè)取值在實(shí)現(xiàn)前都不能確定。對(duì)集合A中的全體元素，F(xiàn)定義了一個(gè)隨機(jī)變量簇Y={Yx|x∈A}。各個(gè)隨機(jī)變量的分布可能相同，也可能不同，其分布特征通過(guò)樣本的統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行估計(jì)。隨機(jī)變量簇將集合A中的元素變換到一個(gè)云狀不確定空間。F的特征通過(guò)全體隨機(jī)變量簇Y來(lái)體現(xiàn)，因此，稱F為云映射。

若A和B為定量值集合，對(duì)A中的若干關(guān)鍵元素，采用隸屬云思想構(gòu)造輸出結(jié)果在這些給定輸入值下的隸屬云片。在集合A上對(duì)這些隸屬云片的數(shù)字特征期望值、熵值和超熵值進(jìn)行擬合，估計(jì)集合A到B映射F的期望函數(shù)、熵函數(shù)和超熵函數(shù)，從而構(gòu)造F的隸屬云。隸屬云能夠?qū)φ麄€(gè)有效輸入范圍內(nèi)的輸出及其不確定性進(jìn)行定量表示，相關(guān)定義如下。

設(shè)Yx=F(x)為非空定量值集合A到B的一個(gè)云映射，?x∈A，隨機(jī)變量Yx在集合B上取得定量值域Ux?B。若Cx是定量論域Ux上的定性概念，?y∈Ux是定性概念Cx在Ux上的一次隨機(jī)實(shí)現(xiàn)，y對(duì)Cx的確定度μ(y)∈［0，1］是有穩(wěn)定傾向的隨機(jī)數(shù)，則 y在論域 Ux上的分布稱為F在x處的一個(gè)隸屬云片，記為C(Yx)。每一個(gè)y稱為一個(gè)云滴。全體云片組成F的隸屬云簇，稱為云映射F的隸屬云，簡(jiǎn)稱映射云，記為C［F(x)］。

與單個(gè)定性概念的隸屬云模型相比，上述定義將其拓展至云映射F的整個(gè)自變量空間A。集合A中的每一個(gè)元素x都對(duì)應(yīng)一個(gè)定性概念Cx。其全體元素對(duì)應(yīng)一個(gè)定性概念簇CA={Cx|x∈A}。它們可能是具有實(shí)際意義的概念，也可能是沒(méi)有現(xiàn)實(shí)意義的抽象概念。?Cx∈CA，定量論域Ux?B內(nèi)最能代表Cx的點(diǎn)是隨機(jī)變量Yx的期望值的點(diǎn)，記為f(x)。f(x)在集合A上即構(gòu)成了云映射F的期望，即精確函數(shù)y=f(x)。Cx的每個(gè)隨機(jī)實(shí)現(xiàn)即為云滴。Cx在定量論域Ux?B內(nèi)的模糊性和隨機(jī)性用熵度量，記為e(x)。云滴y能夠代表定性概念Cx的確定度μ(y)是一個(gè)具有穩(wěn)定傾向的隨機(jī)數(shù)。其隨機(jī)特征用超熵度量，記為h(x)。定性概念Cx的特征通過(guò)在x處的大量云滴構(gòu)成的隸屬云片的整體來(lái)體現(xiàn)。全體隸屬云片能夠反映概念簇CA隨集合A中元素的變化情況。

在整個(gè)集合A上，f(x)、e(x)和h(x)分別稱為云映射F的期望函數(shù)、映射隸屬云C［F(x)］的熵函數(shù)和超熵函數(shù)。當(dāng)?x∈A時(shí)，定性概念C(x)的云數(shù)字特征為C［f(x)，e(x)，h(x)］。F的隸屬云也可稱為精確函數(shù)y=f(x)的云。它在本質(zhì)上反映了以函數(shù)y=f(x)為期望的不確定性映射關(guān)系在值域空間和確定度空間的分布。對(duì)儀器儀表、執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸入輸出關(guān)系而言，其映射云反映了在給定輸入下，輸出的可能取值及實(shí)現(xiàn)的取值可代表期望輸出的確定程度。

本文沿用文獻(xiàn)［10］的正態(tài)云，即?x∈X，y～N［f(x)，En'2］，En'～N［e(x)，h2(x)］，y的確定度可按照下式計(jì)算:

3 映射云算法

3.1 逆向映射云算法

在儀器儀表、執(zhí)行結(jié)構(gòu)的有效輸入范圍內(nèi)選取關(guān)鍵點(diǎn)，分別重復(fù)設(shè)定輸入量、測(cè)量輸出值，以獲取各輸入量值下的多個(gè)輸出樣本，從而估計(jì)出在各關(guān)鍵點(diǎn)輸出的期望值、熵值和超熵值。分別對(duì)它們?cè)诟鱾€(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的取值進(jìn)行擬合，估計(jì)出期望函數(shù)f(x)、熵函數(shù)e(x)和超熵函數(shù)h(x)的過(guò)程，稱為逆向生成映射云。該算法具體描述如下。

①在有效輸入范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生M個(gè)均勻分布的值 X={xi|i=1，2，…，M};

②?xi∈X，對(duì)輸入、輸出進(jìn)行N次設(shè)定和測(cè)量，獲得輸出樣本 Yi={yij|j=1，2，…，N};

③估計(jì)輸出在xi處的期望值:

估計(jì)輸出在xi處的熵值為:

估計(jì)輸出在xi處的超熵值為:

其中，

④ 分別對(duì) M 對(duì)數(shù)據(jù){(xi，Exi)|i=1，2，…，M}、{(xi，Eni)|i=1，2，…，M}和{(xi，Hei)|i=1，2，…，M}進(jìn)行擬合，獲得對(duì)期望函數(shù)f(x)、熵函數(shù)e(x)和超熵函數(shù)h(x)的估計(jì)。

3.2 正向映射云算法

根據(jù)輸入-輸出逆向映射云生成算法獲得的映射隸屬云C［f(x)，e(x)，h(x)］，產(chǎn)生在給定輸入值下的一個(gè)輸出實(shí)現(xiàn)的過(guò)程，稱為正向生成映射云。該算法具體描述如下。

① 輸入x0∈A，分別由f(x)、e(x)、h(x)計(jì)算 F(x0)的期望值f(x0)、熵值En0=e(x0)、超熵值He0=h(x0);

② 由 En0'～N［e(x0)，h2(x0)］產(chǎn)生 En0';

③ 由y～N［f(x0)，En0'2］產(chǎn)生y;

④由下式計(jì)算確定度:

4 D/A卡的映射云

某D/A卡為12位，輸出量程為電壓0～5 V，則其輸入量的數(shù)字量范圍為000H～FFFH，對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)范圍為0～4 095。輸入與輸出在理想狀態(tài)下的關(guān)系可以表示為:

式中:x為介于0～4 095的無(wú)量綱數(shù);y為輸出的電壓值，V。

在000H～FFFH之間等間隔地選取11個(gè)數(shù)字量作為輸入量，分100次重復(fù)寫(xiě)入D/A卡，測(cè)量輸出電壓值。按照輸入輸出逆向映射云生成算法獲得的期望函數(shù)同式(8)。

熵函數(shù)的估計(jì)為:

超熵函數(shù)的估計(jì)為:

式(9)和式(10)表示各輸出在整個(gè)測(cè)度空間的熵和超熵值基本相同，也就是說(shuō)在各輸入量下，D/A轉(zhuǎn)換得到的電壓值的分布規(guī)律基本相同［11］。

根據(jù)逆向映射云算法獲得的特征函數(shù)，運(yùn)用正向映射云生成算法獲得的映射隸屬云如圖1所示。

圖1 輸入-輸出映射云Fig.1 Input-output mapping cloud

由圖1可以看出，映射云模型不僅能夠闡述D/A卡在給定輸入值下其輸出的模糊性和隨機(jī)性特征，并通過(guò)確定度描述變換結(jié)果可代表期望輸出的確定程度;而且還能夠描述這種不確定性在整個(gè)測(cè)度空間的變化情況。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了云映射和映射隸屬云的概念，對(duì)控制系統(tǒng)各種儀器儀表、執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸出不確定性進(jìn)行定量表示。云映射通過(guò)隨機(jī)變量簇將精確值集合變換到各自可能的取值空間。在給定輸入量值之后，采用隸屬云模型建立輸出的隸屬云片。在有效工作范圍內(nèi)選取關(guān)鍵輸入值，分別建立輸出的隸屬云片。根據(jù)各隸屬云片的期望值、熵值和超熵值，估計(jì)輸入輸出映射關(guān)系在整個(gè)有效工作范圍內(nèi)的期望函數(shù)、熵函數(shù)和超熵函數(shù)，從而構(gòu)造輸入輸出在整個(gè)有效工作范圍內(nèi)的映射隸屬云，用來(lái)定量表示儀器儀表、執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出結(jié)果的模糊性和隨機(jī)性。以某D/A卡為例，說(shuō)明了逆向隸屬云的生成過(guò)程和采用正向隸屬云表示輸出不確定性及確定程度的有效性。

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