特定角域低增益的穩健方向圖綜合算法

王 勇 劉宏偉 糾 博 楊曉超

（西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室，陜西 西安710071）

引 言

近年來，自適應陣列被廣泛地應用于無線通信、聲納、雷達和醫療成像中［1］。由于非理想的陣列校正、互耦、相干或非相干的局部散射等因素的影響，自適應陣列往往存在各種誤差，如角度誤差［2］、校正誤差［3］、通道幅相誤差［4］等，這會對方向圖綜合的性能產生顯著的影響［5］。因此，穩健的方向圖綜合技術是自適應陣列的一項重要研究內容。

根據加權方式的不同，穩健的方向圖綜合方法可以分 為 向 量 加 權 方 法［2，6－9］和 矩 陣 加 權 方 法［10－12］兩類。對于向量加權方法來說，對角加載的采樣矩陣求逆算法（LSMI）［13］是最常見的穩健算法之一。該算法通過對采樣協方差矩陣加載一數量矩陣，能提高自適應算法的收斂速度和穩健性。但該算法最大的問題是加載量不容易簡單地確定。基于最差性能優化的思想，文獻［2］給出了一種基于二階錐規劃（SOCP）的穩健波束形成算法。該算法雖然能夠對任意的導向矢量誤差進行穩健處理并獲得較高的信干噪比（SINR），但是該算法忽略了功率估計中的尺度模糊問題，功率估計性能較差［14］。與基于SOCP的穩健波束形成算法不同，穩健的Capon波束形成算法（RCB）通過約束導向矢量的l2范數解決了功率估計中的尺度模糊問題，因此，能夠準確地估計出感興趣信號的功率［14］。

雖然向量加權方法能夠獲得較高的SINR和較準確的功率估計，但其方向圖參數，比如主瓣寬度和旁瓣電平，不能精確地控制或根據不同的需要進行靈活地調整［11］。為了能更靈活地控制方向圖的參數，Li J.等提出了自適應矩陣 算法 （AMA）［10］。AMA算法通過約束方向圖在主瓣角域和旁瓣角域的增益可以防止主瓣分裂并壓低旁瓣，但當主瓣寬度給定后，其旁瓣電平不能被任意地壓低［5］。另外，對于主瓣增益控制來說，AMA算法只是約束了方向圖的主瓣寬度和增益，對信號源和陣列存在的未知誤差不具有自適應的穩健性。為了使方向圖的主瓣在存在誤差時不分裂，文獻［15］給出了一種基于半正定規劃的穩健自適應波束形成算法（RAB－SDP）。該算法通過約束穩健角域的響應起伏，對角度誤差具有很好的穩健性。但當陣列誤差存在時，RAB－SDP算法的性能將下降。另外，當樣本數較少時，RAB－SDP算法的方向圖旁瓣較高。為了降低小樣本對協方差陣估計的影響并提高RAB－SDP算法對陣列誤差的穩健性，文獻［5］結合最差性能優化思想和RAB－SDP算法提出了基于最差性能優化的RAB－SDP算法（RAB－SDP－WC）。該算法考慮了最差情況下的協方差陣估計誤差對輸出功率的影響，在約束主瓣響應起伏的同時最小化最差情況下的輸出功率。RAB－SDP－WC算法雖然約束了穩健角域的響應起伏，但該約束并不能保證其在穩健角域的響應不衰減。另外，在實際應用中，根據一定的先驗信息和特定需要，比如特定角域的密集干擾抑制，方向圖需要在這些角域的增益較低［16］。為了在存在未知誤差的情況下抑制密集干擾，文章提出了一種特定角域低增益的穩健方向圖綜合算法。

1 信號模型

考慮一個由M個陣元組成的等距線陣（ULA），相鄰陣元間距為半波長。假設信號源從θ0方向入射到接收陣列上，則接收信號可以表示為［2，10－12］

式中：N 表示快拍數；a（θ0）＝［1，exp（－jπsin（θ0）），…，exp（－jπ（M－1）sin（θ0））］T表示感興趣信號的導向矢量，其中上標T表示轉置操作；s（n）表示感興趣信號在第n時刻的未知波形；z（n）表示第n時刻的干擾加噪聲項。回波的協方差矩陣可以表示成R＝E｛xxH｝，其中上標H表示共軛轉置操作，E｛·｝表示取期望運算。在實際中，R一般無法獲得，通常用采樣協方差矩陣來代替［13］

利用權矢量w＝［w1，…，wM］T對回波信號（1）進行加權可得

當信號的來波方向θ0已知時，Capon波束形成器基于如下的代價函數［14］

式（4）可以利用拉格朗日乘子法求解。當求出權矢量w0以后，可以利用＾σ20＝wH0＾Rw0估計出感興趣信號的功率［14］。在方向圖綜合中，主瓣保形、低旁瓣是其重要的設計目標［12］。但這些約束對于w來說有些是非凸的，比如半功率點的增益的等式約束以及主瓣內增益的不等式約束［10］。顯然，式（4）可以轉化為

式中符號tr（·）表示求矩陣的跡。令T＝wwH，則式（5）等價于如下的優化問題［15］

式中rank（·）表示取矩陣的秩。式（6）的優化問題是非凸的，因為有優化變量T的秩約束［11］。當去掉秩約束后，可以得到式（6）的半正定松弛（SDR）形式［15］

式（7）是一個半正定規劃（SDP），可以利用凸優化工具包CVX［17］找到其全局最優解。另外，式（7）可以看作Capon波束形成器的矩陣加權形式。對于方向圖綜合算法來說，當自適應陣列存在未知誤差時，必須考慮方向圖對誤差的穩健性［5］。根據一定的先驗信息和特定需要，比如特定角域的密集干擾抑制，方向圖需要在這些角域的增益較低［16］。

2 特定角域低增益的穩健方向圖綜合算法

在自適應陣列存在未知誤差和樣本數有限的情況下，考慮協方差陣估計誤差對輸出功率的影響。通過最小化最差情況下的輸出功率可以得到待優化的目標函數（具體模型及推導見文獻［5］）

式中：‖·‖F表示矩陣的F－范數；ε表示誤差矩陣的F－范數的上界。與文獻［5］、［15］給出的約束穩健角域的響應起伏不同，文中算法直接約束穩健角域的幅度響應不衰減，即

式中θl和θu分別表示穩健角域的下界和上界。顯然，式（9）可以用來抑制角度誤差，而且式（9）也保證了方向圖的主瓣不會分裂。在實際應用中，根據一定的先驗信息和特定需要，比如特定角域的密集干擾抑制，方向圖需要在這些角域的增益較低［16］。為了保證方向圖在給定角域的增益較低，還必須約束

式中：Ψ表示給定的需要壓低旁瓣的角域；ζ表示該角域響應的上界。結合式（8）、式（9）和式（10），可以得到文中算法的優化模型

式（11）可以看作式（7）的自然擴展，在約束穩健角域的幅度響應和特定角域的旁瓣響應的同時，最小化最差情況下的輸出功率。由于ε隨入射信號的功率變化，在后面的分析中用歸一化的參數εr＝εM／tr來代替ε［5］。式（11）是一個SDP問題，可以通過凸優化工具包CVX［17］求解其全局最優解。一旦求解出T，可以對T做奇異值分解得到權矩陣W［11］.

3 仿真實驗

假設陣列是由M＝10個陣元組成的ULA，相鄰陣元間距為半波長。快拍數N＝100.回波中包含5個干擾，干噪比（INR）均為20dB，來波方向分別為＝｛－55°，－53°，－51°，－20°，50°｝。接收機噪聲為高斯白噪聲。文章比較了5種算法的方向圖 綜 合 性 能：AMA 算 法［10］，RAB－SDP 算 法［15］，RAB－SDP－WC算 法［5］，RCB 算 法［14］和 文 中 算 法（11）。RCB算法的導向矢量誤差的l2范數的平方上界為εc＝0.35M.假定感興趣信號的方位角為θ0＝0°，功率為σ20＝10dB.回波中一直包含感興趣信號。在下面的仿真中，陣列方向圖是通過1次實驗得到的，而信干噪比和功率估計則是通過100次蒙特卡洛實驗平均得到的。AMA算法關于方向圖控制的參數如下：半功率波束寬度為10°，相應的旁瓣區是（－90°，－18°）和（18°，90°），峰值旁瓣電平為－15dB.RAB－SDP算法、RAB－SDP－WC算法和文中算法的穩健角域均為（－5°，5°）。對于一個給定的起伏 量 r＝0.3dB，RAB－SDP 算 法 和 RABSDP－WC算法在穩健角域的響應起伏的上下界可分別由U＝10r／20和L＝10－r／20確定［15］。假設根據一定的先驗信息，文中算法需要壓低旁瓣響應的特定角域為（－60°，－40°），而且該角域的旁瓣電平不能大于ζ＝－40dB.

仿真1：方向圖性能（見圖1和圖2，其中橫虛線表示0dB，6條豎虛線分別表示信號和5個干擾的來波方向）

在本仿真中，假設存在3°的角度誤差，即信號的真實來波方向為3°.圖1給出了文中算法在不同的歸一化參數εr下的方向圖對比結果。另外，為了說明在不同的參數εr文中算法對處于（－60°，－40°）之間的3個相鄰較近的干擾的抑制能力，圖1還給出了方向圖在角域（－55°，－51°）之間的增益放大圖。從圖1可以看出，由于約束穩健角域的響應不衰減，所提算法對角度誤差具有很好的穩健性。當εr＝0時，文中算法的旁瓣較高，因為在這種情況下，其對有限樣本引起的高旁瓣問題不能抑制。但當εr＞0時，文中算法不但能夠精確地控制方向圖的主瓣響應和特定角域的低增益，而且能很好地抑制有限樣本引起的方向圖高旁瓣問題。

圖1 文中算法在不同歸一化因子下的方向圖

圖2比較了εr＝0.1時上述5種算法的方向圖。為了比較5種算法對處于（－60°，－40°）之間的3個相鄰較近的干擾的抑制能力，在圖2中還給出了方向圖在角域（－55°，－51°）之間的增益放大圖。從圖2可以看出，文中算法在保證信號來波方向的響應不衰減的同時，很好地抑制了干擾，特別對于處于（－60°，－40°）之間的3個相鄰較近的干擾，通過壓低該角域的旁瓣響應很好地將其抑制了。其他4種算法只是通過最小化輸出功率在干擾方向自適應地形成零陷來抑制干擾，由于處于（－60°，－40°）之間的3個干擾在方位上相距較近，方向圖并不能在這3個干擾的來波方向都形成零陷，此時其他4種算法對這3個干擾，特別是－55°和－51°的這兩個干擾的抑制能力較差。另外，AMA算法只約束半功率點內的方向圖增益大于－3dB，在信號的真實來波方向的增益并不是無畸變的［10］。RAB－SDP算法的旁瓣較高，因為RAB－SDP算法只約束了穩健角域的響應起伏，并沒有考慮有限樣本引起的協方差矩陣估計失配的影響［5］。

仿真2：輸出SINR對歸一化參數εr的敏感性

圖2 文中算法和其他四種算法的方向圖比較

在本仿真中，仿真條件與仿真1的相同。從文獻［5］可知，由于協方差矩陣的估計誤差的F－范數未知，因此穩健算法的性能最好對參數εr不敏感。圖3給出了文中算法在不同的快拍數下隨歸一化參數εr的變化曲線。從圖3可以發現，對于樣本數為無窮的情況，即使εr＝0，文中算法也有很好的性能。因為其不但對角度誤差穩健性很好（見圖1的方向圖），而且樣本數為無窮時方向圖不存在高旁瓣問題。對于樣本數有限的情況，εr＝0時文中算法的性能較差，因為此時方向圖存在高旁瓣。但當εr≠0以后，由于考慮了有限樣本引起的協方差矩陣估計誤差的影響，其輸出SINR對εr的變化不敏感。

圖3 不同快拍數下文中算法的輸出SINR隨歸一化參數εr的變化曲線

仿真3：輸出SINR隨校正誤差方差的變化關系

假設信號的來波方向準確已知，而陣列存在校正誤差［3］，即其中誤差矢量e的每個元素服從均值為0方差為的復高斯分布。圖4給出了文中算法在不同的歸一化參數εr下的輸出SINR隨的變化曲線。從圖4可以看出：只要εr＞0，所提算法對校正誤差方差的變化比較穩健。

圖4 不同的歸一化參數εr下文中算法的輸出SINR隨校正誤差方差的變化曲線

仿真4：文中算法和其他4種算法的輸出SINR對比

在本仿真中，仿真條件與仿真3的相同。圖5比較了文中算法和其他4種算法的輸出SINR隨校正誤差方差σ2e的變化曲線。從圖5可以看出：文中算法的輸出SINR在σ2e的變化范圍內都高于其他4種算法，因為其通過約束（－60°，－40°）的旁瓣響應將處于其間的3個相鄰較近的干擾很好地抑制了，而且還保證了陣列在信號的來波方向的響應不衰減。RCB算法只有當校正誤差的l2范數的平方小于參數εc時性能較好，但當校正誤差較大，特別是超出εc所確定的不確定集時，性能有較大的下降。AMA算法由于只約束方向圖的參數［10］，對誤差不具有自適應的穩健性，因此性能較差。RAB－SDP算法只約束了穩健角域的響應起伏，對校正誤差和有限樣本引起的協方差矩陣估計誤差不具有穩健性，性能最差。RAB－SDP－WC算法考慮了校正誤差和有限樣本對協方差矩陣估計的影響，因此性能要好于RAB－SDP算法和AMA算法。

仿真5：文中算法和其他4種算法的功率估計對比

圖5 不同算法的輸出SINR隨校正誤差方差的變化曲線

在本仿真中，假設存在5°的角度誤差，即信號的真實來波方向為5°.此時RCB算法的參數εc＝0.5M.表1給出了不同樣本情況下5種算法的輸出SINR和功率估計。當樣本數為無窮（理想的協方差矩陣）時，參數εr＝0.001；當樣本數為10時，εr＝0.2.從表1可以看出：當理想的協方差矩陣已知時，5種算法的功率估計都較準確，但文中算法的功率估計更準確。另外，由于協方差矩陣為理想的協方差矩陣，RAB－SDP算法不受有限樣本引起的高旁瓣影響，此時RAB－SDP算法和RAB－SDP－WC算法的輸出SINR只相差0.02dB.AMA算法由于只約束半功率點的響應大于－3dB，在信號的來波方向增益不是無衰減的，而且對（－60°，－40°）內的3個干擾的抑制能力較差（見圖2），因此，輸出SINR最低。雖然RCB算法的功率估計對參數εc不敏感［14］，但是由于導向矢量誤差的l2范數的平方ε0＝15.230 2大于參數εc，輸出SINR較差。與前4種算法相比，文中算法的輸出SINR更高。當樣本數較少時，RAB－SDP算法由于高旁瓣問題功率估計和輸出SINR都有較大的下降。其他4種算法很好地抑制了小樣本引起的方向圖高旁瓣問題，因此，在小樣本情況下功率估計與樣本數無窮時相比基本沒怎么下降。在這種情況下，文中算法的功率估計仍然是最準確的。另外，在小樣本情況下，文中算法的輸出SINR雖然相比樣本數無窮的時候有所下降，但在5種算法中仍然是最高的。AMA算法和RCB算法的輸出SINR雖然對樣本數的變化不敏感，但對于較大的角度誤差，它們的輸出SINR始終比文中算法低。

表1 不同樣本情況下五種算法的信號功率和SINR估計

4 結 論

文章提出了一種特定角域低增益的穩健方向圖綜合算法。該算法不但保證了穩健角域的響應不衰減和特定角域的低旁瓣，而且考慮了有限樣本和未知誤差對協方差矩陣估計的影響。仿真結果表明所提算法具有很好的穩健性、較高的輸出信干噪比和較準確的信號功率估計。

［1］HUDSON J E.Adaptive Array Principles［M］.Stevenage：Peregrinus，1981.

［2］VOROBYOV S A，GERSHMAN A B，LUO Z Q.Robust adaptive beamforming using worst－case performance optimization：a solution to the signal mismatch problem［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2003，51（2）：313－324.

［3］XU L，LI J，STOICA P.Target detection and parameter estimation for MIMO radar systems［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2008，44（3）：927－939.

［4］王永良，陳輝，彭應寧，等.空間譜估計理論與算法［M］.北京：清華大學出版社，2004：416－418.

［5］ZHU L Y，GU Z H，ZHOU J J，et al.A robust adaptive beamformer based on worst－case semi－definite programming［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2010，58（11）：5914－5919.

［6］WANG F，BALAKRISHNAN V，ZHOU P，et al.Optimal array pattern synthesis using semidefinite programming［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2003，51（5）：1172－1183.

［7］焦永昌，楊 科，陳勝兵等.粒子群優化算法用于陣列天線方向圖綜合設計［J］.電波科學學報，2006，21（1）：16－20.JIAO Yongchang，YANG Ke，CHEN Shengbing，et al.Application of praticle swarm optimization in antenna array pattern synthesis［J］.Chinese Journal of Radio Science，2006，21（1）：16－20.（in Chinese）

［8］金榮洪，袁智皓，耿軍平，等.基于改進粒子群算法的天線方向圖綜合技術［J］.電波科學學報，2006，21（6）：873－878.JIN Ronghong，YAN Zhihao，GENG Junping，et al.The pattern synthesis of antennas based on a modified PSO algorithm［J］.Chinese Journal of Radio Science，2006，21（6）：873－878.（in Chinese）

［9］劉聰鋒，廖桂生.改進的快速穩健任意陣列天線方向圖綜合方法［J］.電波科學學報，2009，24（1）：104－110.LIU Congfeng，LIAO Guisheng.Improved fast robust pattern synthesis method for arbitrary arrays［J］.Chinese Journal of Radio Science，2009，24（1）：104－110.（in Chinese）

［10］LI J，XIE Y，STOICA P，et al.Beampattern synthesis via a matrix approach for signal power estimation［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2007，55（12）：5643－5657.

［11］XIE Y，LI J，ZHENG X，et al.Optimal array pattern synthesis via matrix weighting［C］／／IEEE International Conference on Acoustics，Speech and Signal Processing.Honolulu，HI，United States，2007：885－888.

［12］DU L，LI J，STOICA P.Signal power estimation via vector and matrix approaches［C］／／ 41st Asilomar Conference on signals，systems and computers.Pacific Grove，CA，United States，2008：1357－1361.

［13］CARLSON B D.Covariance matrix estimation errors and diagonal loading in adaptive arrays［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1988，24（4）：397－401.

［14］LI J，STOICA P，WANG Z.On robust Capon beamforming and diagonal loading［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2003，51（7）：1702－1715.

［15］YU Z L，ER M H，SER W.A novel adaptive beamformer based on semidefinite programming（SDP）with magnitude response constraints［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2008，56（5）：1297－1307.

［16］YANG Yixin，WAN Chunru.Adaptive beampattern synthesis based on null broadening［C］／／IEEE Antennas and Propagation Society Symposium.Monterey，CA，United States，2004：3996－3999.

［17］GRANT M，BOYD S.Matlab software for disciplined convex programming［CP／OL］.［2008－04－08］.http：／／stanford.edu／～boyd／cvx.