線圈繞Y軸傾斜時多孔介質方腔內空氣熱磁對流的數值模擬

姜昌偉，李賀松，陳冬林，石爾，朱先鋒，李茂

(1. 長沙理工大學 能源與動力工程學院，湖南 長沙，410004；2. 中南大學 能源科學與工程學院，湖南 長沙，410083)

隨著能產生高達 10 T磁感應強度的超導磁體快速發展，強磁場對以氧氣和空氣為主的順磁性流體自然對流的驅動作用機理正成為最近研究的熱點。Tagawa等[1]開展了許多磁致順磁性流體自然對流方面的研究；Carruthers等[2-3]研究了溫度梯度和梯度磁場下矩形容器內氧氣的熱磁對流；Tagawa等[4-8]應用Boussinesq近似的類似方法推導出熱磁對流的模型方程，并對磁場作用下腔體內順磁性流體的傳熱現象進行了數值模擬和實驗研究。楊立軍等[9-12]對梯度磁場作用下二維封閉腔體內空氣或氧氣熱磁對流進行了研究，指出梯度磁場可以實現空氣或氧氣自然對流的強化與控制。Bednarz等[13-16]對由圓形載流線圈產生的磁場作用下方腔內順磁性流體的自然對流進行了研究，并分析了載流線圈的傾斜角、載流對順磁性流體傳熱性能的影響。上述研究都是關于磁場力對自然對流的影響，而目前對磁場力作用下多孔介質自然對流的研究很少。Wang等[17-19]數值模擬了強磁場作用下充滿順磁性或逆性流體的多孔介質方腔內自然對流。強磁場對多孔介質對流換熱的影響可應用于強化傳熱，因此，研究強磁場對多孔介質自然對流的影響具有重要的工程實際應用價值。在此，本文作者對圓形載流線圈繞Y軸傾斜時多孔介質方腔內空氣熱磁對流進行數值模擬。

1 物理模型

物理模型和坐標系統如圖1所示，物理模型包括水平放置的多孔介質方腔和1個產生磁場的圓形載流線圈。充滿空氣的多孔介質方腔左側垂直壁面等溫加熱，右側垂直壁面等溫冷卻，其他壁面絕熱。載流線圈繞多孔介質方腔放置，其圓心與多孔介質方腔中心位于同一位置且可繞Y軸傾斜。本研究中，多孔介質方腔邊長L為0.03 m，線圈半徑r為0.05 m。

圖1 物理模型與坐標系統Fig.1 Physical model and coordinate system

2 數學模型

2.1 控制方程

對模型進行如下假設：流體為不可壓縮牛頓流體；穩態且無相變；多孔介質各向同性；忽略焦耳熱、磁場誘導熱及熱耗散；引入Boussinesq假設處理磁浮升力項。基于上述假設，笛卡爾坐標系下的無因次形式控制方程如下。

連續性方程：

動量方程：

能量方程：

磁感應強度由畢歐-薩伐定律求解：

2.2 邊界條件

數學模型的邊界條件如下：方腔壁面U=V=W=0；左側垂直壁面(X=-0.5)，θ=0.5；右側垂直壁面(X=0.5)，θ=-0.5；側部垂直壁面(Y=-0.5，0.5)，?θ/?Y=0；頂部和底部壁面(Z=-0.5，0.5)，?θ/?Z=0。

2.3 結果描述

總傳熱性能采用高溫壁面平均 Nusselt數進行描述：

2.4 數值求解

對于上述控制方程與對流傳輸方程的求解，首先采用基于交錯網格系統的控制容積法(Finite volume method，FVM)進行離散，在離散過程中，對流項與擴散項分別采用延遲修正的3階QUICK差分格式與2階中心差分格式。每個離散方程都應用逐線迭代的方式求解，在每條迭代線上應用三對角矩陣算法(TDMA)與逐次松弛迭代(SOR)結合的方法進行計算。耦合控制方程的離散方程組采用SIMPLE算法求解。迭代計算收斂準則是對于所求的速度和溫度變量，要求前后2步迭代計算結果之差小于5×10-5。

在計算之前，必須對數學模型、代碼的可靠性及準確性進行考核。計算Ra=105和Da=10-3時多孔介質方腔自然對流，考核3種網格形式，即長×寬×高分別為 30×30×30，40×40×40 和 50×50×50，對這 3種網格計算所得的Num相對偏差小于3%，因此，綜合考慮計算精度和收斂速度，采用40×40×40網格。

3 結果分析與討論

3.1 磁場力數γ的影響

圖2所示為垂直橫截面Y=0.5，yeuler=0°，Ra=105和Da=10-3時，磁場力數γ對方腔內磁力與重力合力矢量、溫度分布、速度矢量的影響，其中左、右側壁面分別為高、低溫壁面。當無磁場作用即γ=0時，方腔內空氣對流為純重力自然對流，空氣沿左側高溫壁面上升而沿右側低溫壁面下降，整個方腔內空氣流動形成一個順時針漩渦。當施加磁場時，由于順磁性流體空氣的磁化率與溫度成反比，因此，磁場力抑制左側高溫空氣的流動(相對于高溫和低磁化率時的平均溫度，空氣受到抑制)；另一方面，靠近右側壁面的空氣處于低溫狀態，具有較高的磁化率，比平均溫度下的空氣更容易受到磁力吸引。靠近左側的高溫空氣受磁力抑制往下運動，而靠近右側的低溫空氣受磁力吸引而往上運動，并且磁浮升力與腔體水平中間平面呈現基本對稱分布。當γ=10時，由于重力浮升力遠遠大于磁力，因此，高溫空氣沿左側壁面上升，低溫空氣沿右側壁面下降，整個方腔空氣流動形成1個呈順時針的漩渦；當γ=50時，磁浮升力變大，在方腔下半部分，磁浮升力方向與重力方向相反，高溫流體受到磁浮升力抑制，沿左側高溫壁面向下運動流向低溫壁面，低溫流體受磁浮升力吸引沿著低溫壁面向上運動，因此，在方腔下半區域流體流動形成1個呈逆時針的小漩渦；而在方腔上半部分，磁浮升力方向與重力浮升力方向相同，它們兩者共同作用使空氣沿著高溫壁面上升，而沿低溫壁面下降；當γ大于100時，磁力變得很大，此時，磁浮升力遠大于重力浮升力，流體的流動規律與純磁對流類似，熱空氣在靠近左側高溫壁面的磁浮升力驅動下沿著高溫壁面從方腔水平中間平面分別向頂部和底部絕熱壁面流動，然后流向右側冷壁。當空氣靠近右側冷壁后，由于磁力強吸引力的作用，冷空氣分別向下和向上流動到中間線圈平面，最后形成2個基本相互對稱的漩渦。

3.2 線圈傾斜角yeuler的影響

圖3所示為Ra=105，γ=25，Da=10-3，傾斜角yeuler分別為 0°，±30°，±60°和±90°時的計算結果。圖中從左側到右側分別為磁力與重力合力矢量、溫度等溫面和速度流線。每個圖中，方腔左側壁面等溫加熱，右側壁面等溫冷卻，其他壁面絕熱。

由圖3可見：當線圈位于水平位置即yeuler=0°時，在方腔上半部重力和磁力方向幾乎完全相同，所以，可以產生更大的合力和加速度；而在方腔下半部，重力與磁力方向幾乎完全相反，因此，產生的合力和加速度減少。熱空氣在靠近左側高溫壁面的磁浮升力驅動下，沿著高溫壁面從線圈平面下部分別向頂部和底部絕熱壁面流動，然后流向右側冷壁；當空氣靠近右側冷壁后，由于磁力強吸引力的作用，冷空氣分別向下和向上流動到中間線圈平面下部，因此，在腔體上半區域生成了2個大漩渦，而靠近腔體底部地板則生成2個方向相反的小漩渦。

當yeuler=±90°時，靠近方腔熱壁面尤其在腔體下半部區域，磁浮升力和重力浮升力方向都向上，驅動熱空氣沿著熱壁面向上運動，這在腔體下半部形成 1個大漩渦；在腔體上半部，大約在Z=0.25處大多數熱空氣被擠出方腔中心，從側壁來的冷空氣進來補充，從而形成1個水平的小漩渦。

當yeuler=60°時，靠近冷壁面的冷空氣沿著冷壁面向下運動，并且冷空氣受磁場力吸引被吸引至線圈處而不能抵達熱壁面，結果在方腔下部區域靠近冷壁面處形成1個大漩渦；另一方面，由于重力浮升力的作用，熱空氣趨向于沿著熱壁向上運動，然而，熱空氣受到磁力的抑制不能沿著熱壁向上運動，削弱了方腔內自然對流，造成Num較小。

圖2 磁場力變化時的合力矢量、溫度分布、速度矢量Fig.2 Resultant force vector, Isothermal surface and velocity vector at different magnetic forces

當yeuler=-60°時，靠近熱壁底部的磁浮升力絕大多數與重力浮升力方向一致，熱空氣流向頂部平面，然

后到達冷壁面，最后回流到熱壁面，此時，方腔內傳熱性能出現局部最大值。

圖3 線圈繞Y軸傾斜時的計算結果Fig.3 Computed results with a coil inclined around Y axis

研究中還發現，當γ越小，重力浮升力越大于磁浮升力時，流動結構和等溫面分布越與純重力自然對流相似；當γ非常大，磁浮升力遠大于重力浮升力時，重力浮升力可以忽略，此時，矢量力合力、流動結構和等溫面分布幾乎與純磁對流時完全一樣。

圖4所示為Ra=105和Da=10-3時，Num數隨yeuler與γ的變化關系。圖中曲線1表示γ=0工況下的Num，此時方腔內對流為純重力對流，其他5條曲線表示不同磁場強度下重力和磁力耦合對流工況。從圖4可以發現：當線圈傾斜角變化時，Num表現出復雜的變化行為，這些工況下計算所得的Num呈現出非對稱性；線圈傾斜角yeuler接近于0°時出現Num最大值；另外，當γ=25與50時，Num隨著yeuler的變化呈現交替性增大和減小，當磁浮升力和重力浮升力協同較好時，Num比純重力對流時的大；而當磁浮升力和重力浮升力協同較差時，Num比純重力對流時的小；當γ＞100時，任意線圈傾斜角下Num均隨著γ的增加而增大。

圖4 Num隨yeuler與γ的變化關系Fig.4 Relationship among Num, yeuler and γ

4 結論

(1) 當線圈水平布置時，隨著磁場力的增大，多孔介質方腔垂直橫截面Y=0.5上空氣流動由1個順時針漩渦逐漸過渡到2個流動方向相反的漩渦，最后形成2個基本相互對稱的漩渦。

(2) 線圈傾斜角yeuler和γ對多孔介質方腔內傳熱性能有重要影響，當γ＜100時，Num隨著yeuler的變化呈現交替性增大和減小；而當γ＞100時，任意線圈傾斜角下Num均隨著γ的增大而增大。

(3) 當yeuler=0°時，方腔內形成4個向前后絕熱壁面傾斜的漩渦；當yeuler=±90°時，方腔下半部形成 1個大漩渦而上部形成1個水平小漩渦；當yeuler為其他值時，方腔內流動結構變得非常復雜。

[1]Tagawa T, Ozoe H. Convective and diffusive phenomena of air in a vertical cylinder under strong magnetic field[J]. Numerical Heat Transfer Part B, 2002, 41(3): 1-14.

[2]Carruthers J, Wolfe R. Magnetothermal convection in insulation paramagnetic fluids[J]. Journal of Applied Physics, 1968, 39(12):5718-5722.

[3]Braithwaite D, Beaugnon E, Tournier R. Magnetically controlled convection in a paramagnetic fluid[J]. Nature, 1991, 354:134-136.

[4]Tagawa T, Ujihara A, Ozoe H. Numerical computation for Rayleigh-Benard convection of water in a magnetic field[J].International Journal of Heat and Mass Transfer, 2003, 46(21):4097-4104.

[5]Shigemitsu R, Tagawa T, Ozoe H. Numerical computation for natural convection of air in a cubic enclosure under combination of magnetizing and gravitational forces[J]. Numerical Heat Transfer Part A, 2003, 43(5): 449-463.

[6]Kaneda M, Tagawa T, Ozoe H. Effect of the rayleigh number on the magnetizing force convection in a cube with cusp-shaped magnetic field[J]. Progress in Computational Fluid Dynamics,2002, 2(2): 72-79.

[7]Akamatsu M, Higano M, Takahashi Y. Numerical prediction on heat transfer phenomenon in paramagnetic field gradient[J].IEEE Transactions on Applied Superconductivity, 2004, 14(2):1674-1681.

[8]Filar P, Fornalid E, Kaneda Y. Three-dimensional numerical computation for magnetic convection of air inside a cylinder heated and cooled isothermally from a side wall[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2005, 48(9): 1858-1867.

[9]楊立軍, 任建勛, 宋耀祖. 不同磁場布置對空氣自然對流的影響[J]. 太陽能學報, 2003, 24(3): 413-420.YANG Li-jun, REN Jian-xun, SONG Yao-zu. Effects of different magnetic field configurations on air natural convection[J]. Acta Energiae Solaris Sinica, 2003, 24(3):413-420.

[10]楊立軍, 杜小澤，楊勇平.永磁梯度磁場布置方式對空氣自然對流換熱的影響[J]. 化工學報, 2007, 58(12): 2980-2985.YANG Li-jun, DU Xiao-ze,YANG Yong-ping. Influences ofpermanent gradient magnetic field configurations on air natural convection heat transfer[J]. Journal of Chemical Industry and Engineering, 2007, 58(12):2980-2985.

[11]楊立軍, 杜小澤, 劉登瀛. 超導磁體系統產生的磁場作用下的微重力環境[J]. 中國電機工程學報, 2006, 26(22): 157-161.YANG Li-jun, DU Xiao-ze, LIU Deng-ying. Micro-gravity environment generated by superconducting magnet system[J].Proceedings of the CSEE, 2006, 26(22): 157-161.

[12]楊立軍, 任建勛, 杜小澤. 不同磁致縱向渦形式對空氣自然對流的影響[J]. 工程熱物理學報, 2006, 27(2): 283-285.YANG Li-jun, REN Jian-xun, DU Xiao-ze. Influence of different magnetically induced longitudinal vortices on air convection heat transfer[J]. Journal of Engineering Thermophysics, 2006, 27(2): 283-285.

[13]Bednarz T, Tagawa T, Kaneda M. Numerical study of joint magnetisation and gravitational convection of air in a cubic enclosure with an inclined electric coil[J]. Progress in Computational Fluid Dynamics, 2005, 5(4): 261-270.

[14]Bednarz T, Lei C W, John C, et al. Effects of a transverse,horizontal magnetic field on natural convection of a paramagnetic fluid in a cube[J]. International Journal of Thermal Sciences, 2009, 48(2): 26-33.

[15]Bednarz T, Fornalik E, Ozoe H, et al. Influence of a horizontal magnetic field on the natural convection of paramagnetic fluid in a cube heated and cooled from two vertical side walls[J].International Journal of Thermal Sciences, 2008, 47(8):668-679.

[16]Kakarantzas S C, Sarris I E, Greco A P. Magnetohydrodynamic natural convection in a vertical cylindrical cavity with sinusoidal upper wall temperature[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2009, 52(1): 250-259.

[17]WANG Qiu-wang, ZENG Ming, HUANG Zi-peng. Numerical investigation of natural convection in an inclined enclosure filled with porous medium under magnetic field[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2007, 50(17): 3684-3689.

[18]ZENG Min, WANG Qiu-wang , Ozoe H. Natural convection of diamagnetic fluid in an enclosure filled with porous medium under magnetic field[J]. Progress in Computational Fluid Dynamics, 2009, 9(2): 77-85.

[19]ZENG Min, WANG Qiu-wang, HUANG Zi-peng. Numerical investigation of natural convection in an enclosure filled with porous medium under magnetic field[J]. Numerical Heat Transfer Part A, 2007, 52(10): 959-971.