基于高階矩的Nakagami-m參數估計方法

張 程

(中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北石家莊050081)

0 引言

準確有效地估計信道衰落參數，可以評估通信鏈路的質量，從而優(yōu)化分集傳輸模式、自動控制功率和自適應選擇調制方式等，以提高通信系統(tǒng)性能。無線信道里的信號經過多徑傳播，在到達接收機前會經歷各種衰落。在無線通信中，由多徑時延引起的頻率選擇性衰落對通信系統(tǒng)的性能影響很大。為描述不同的衰落而建立了多種衰落模型，包括瑞利分布、萊斯分布和Nakagami分布都是最常用的。

1 Nakagami-m分布參數的意義

Nakagami-m分布對無線信道中易于在各種衰落條件下捕捉包絡分布［1］。通過m參數的改變，這種分布可以模擬劇烈、緩慢、輕微或沒有衰落的信號條件。經證實通過對隨機向量的更加近似解，使得Nakagami-m分布模型成為一種更通用的解決方案。Nakagami-m分布的概率密度函數:

式中，Γ(·)是標準γ函數，Ω被定義為如下式:

式中，E(·)是數學期望，參數m被定義為矩的階數，稱為衰落指數，有:

則R的第k階矩是:

在式(1)中，參數m控制振幅衰落的速度和幅度。m分布包括上面描述的2種分布模式。參數m=1變?yōu)閺V義瑞利分布模式;m＜1變?yōu)樗ヂ渌俣却笥谌鹄ヂ?而當m＞1時衰落速度小于瑞利衰落;當m=0.5時，則是高斯分布。

m值標志著信道質量并且影響誤碼率(BER)，準確充分地估計m在無線通信中是極為重要的［2］。估計主要集中在2個方面，最大似然估計(ML)和矩估計［3－6］.

2 非噪聲環(huán)境下高階矩m參數估計

Nakagami變量的矩式(4)中，γ函數同時出現在分子和分母里。沒有附加的和非負的部分，為了可以推論通過不同階矩的運算來消除不能輕易解出的非線性γ公式。式(3)參數m定義導出m^的定義式為:m^= Ω^2/Ε［(－ Ω^)2］在下面討論 m^=m^INV。

k階樣本矩如式(4)所示。可以通過求R的任何2個矩的比并求解m來得到m的估計族。

一種通用估計方法［5］，m～k對m可寫成:

通過求1階矩和3階矩的比值，得到一個新的估計量式(7)，式中變量 m～123遠小于 m～INV，因而m～123的性能較好，將在后面的仿真結果中證明。

非整數(也叫分數的)階矩［6］，讓 pth的觀察采樣值的根數為:

取得X的第k階矩如下式:

注意當p=1，取得式(4)中的k階矩表達式。對于一個給定的p，能夠求得任何2個X的階矩的比值，m的解和m的估計值序列。為了避免解無解的方程，求X的(2p+1)th階矩(奇數階)和一階矩的比值，得到式(10):

3 噪聲環(huán)境高階矩的Nakagami-m參數估計

噪聲環(huán)境的m參數估計方法，主要討論AWGN對估計方法的影響。

用一種有附加背景噪聲的m參數估計方法［4］。設 Yi=Ri+Ni，i=1，2，…，M。其中，Ri為獨立同分布隨機變量(RV's)，Ni為均值為零方差為σ2的獨立同分布高斯隨機變量，μk是接收信號Y的k階矩。此外，假設{Ri，Nj}對所有的 i，j和{Ri，Rj}獨立性大大降低，當 i≠j時，{Ri，Rj}和{Ni，Nj}是非獨立的。給定{y1，y2，…，yM}為M的非獨立觀察值。

Y的二階矩如式(12)所示:

在式中假設R和N是非獨立和無關聯的。Y的三階矩如式(13)所示:

式中，假設奇數階矩的零均值高斯隨機變量為0。Y的四階矩如式(14)所示:

式(13)除 μ1，得到式(15)。將式(12)中的σ2=μ2－Ω 代入式(15)，產生式(16)。

現在主要問題是去掉未知變量σ，用式(12)和式(16)，重新給出μ4的表達式如下:

接著得到Y的沒有σ2的前四階矩和m的方程:

式中，α ≡3μ2－ μ3/μ1，β ≡ 3μ22－ μ4。定義 γ=8β －4α2解 m 的方程2γm2－γm+β=0，得:

為了得到實用的估計方法，應用 μ^k=(1/M)而不是它的k階矩的真實值 μk。μ1，μ2，μ3，μ4是給定的［4］，Y 的5 階矩如式(21)。

注意上面所有的方程都由m決定而不是由Ω或σ2決定。因此在AWGN條件下的3個估計值導出式(22)、式(23)和式(24)，不像式(20)，不能直接計算等式去解m值，但是可以通過按照每個m值查找存儲 f(m)存儲表來實現求解(典型值m ＜10)［4］。仿 真 結 果 顯 示 式 (22)、式 (23)和式(24)的性能要優(yōu)于式(20)。

噪聲環(huán)境下的最大似然估計方法參考［8］，要求解復雜的似然方程來求關于m的派生值，所以基于矩的估計方法在噪聲環(huán)境是最適合的。

4 仿真試驗和結果分析

4.1 仿真試驗與性能分析

用蒙特卡羅法去模擬前面中提到的估計方法的采樣均值和均方根值(這里只考慮無噪聲條件)。所有的數值結果都取自10 000實驗的平均值。獨立同分布Nakagami變量為Ω=2和m參數的有用的取值范圍 m=0.5，1，1.5…9.5，10}而產生。

由Cramér-Rao下限(CRLB)給出的任何m參數的任何無偏估的變化最小值［5］如式(25)所示:

式中，Ψ'(·)定義為 Ψ(m)= Γ'(m)/Γ(m)，是digamma方程的一階導數，也被稱為trigamma方程。可以將m估計值的變化和CRLB值比較以取得更接近真實值的估計方法。

圖1(a)和圖1(b)分別是采樣點數為100和1 000的估計值的均方根值和CRLB值的對比。可以證明在N=100時m^更有效，但當N增大時會引起更大的偏差，特別是當m值很小時。同時，當N=1 000時m^2和 m^3更接近 CRLB，而且當 N值較小時，其性能也不差。

圖1也證明，矩估計的仿真性能比最大似然估計差。從此可以推斷，來自高階矩誤差要遠大于最大似然估計中Z的digamma函數的近似值。

圖1 估計值的均方根值和CRLB值的對比

圖2 均值與m的真值、采樣估計的均方根值

4.2 計算復雜度分析

雖然沒有太多文獻就估計的計算復雜度進行論述，但實際上是它還是非常重要的［2］。一種估計方法的計算不應太復雜，否則下一個采樣值來時就來不及計算了。當RN+1已知時，寧可更新m^(N+1)而不是更新m^(N)。

矩估計方法的計算復雜度如表1和表2所示。表的內容數據不是非常精確，但足以證明計算的復雜度。N表示計算次數在N上下，但遠大于0或遠小于2N，除了N的其他項都不考慮。

表1 無噪聲矩估計計算量表

由于乘除法的復雜性要高于加減法，矩估計的計算復雜性或多或少小于最大似然估計(除了非整數階矩)。但是，隨著現代先進的DSP技術使數值計算變得越來越簡單，就不必過多考慮不同m參數估計方法的計算復雜度的區(qū)別了。

表2 噪聲環(huán)境矩估計計算量表

4 結束語

該文討論了在噪聲環(huán)境下基于矩估計的m參數估計方法。從性能和復雜性的觀點來考慮，當p的值很大時，通常大于4的性能非常接近于和2種估計參數。此外，當采樣數據越大，所有估計方法的性能越好。由此可見，選取合適的p值，可降低計算復雜度，從而降低硬件成本，改善通信系統(tǒng)的性能。

［1］肖先賜.現代譜估計——原理與應用［M］.黑龍江：哈爾濱工業(yè)大學出版社，1991.

［2］TEPEDELENLIOGLU C，GAO P.Estimatorsofthe Nakagami－ m Parameter and Performance Analysis［J］.IEEE Trans.Commun，2005，4(2)：519 －527.

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［6］ZHANG Q T.A Note on the Estimation of Nakagami-m Fading Parameter［J］.IEEE Commun.Lett.，2002，6(6)：237 －238.

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