等價鞅測度模型在歐式認股權證定價中的應用

張凱凡

（湖北工業大學 理學院，武漢 430068）

認股權證是國際證券市場上流行的一種初級的股票衍生產品.認股權證是授予持有人一項權利，在到期日前（也可能有其它附加條款）以行使價購買公司發行的新股（或者是庫藏的股票）.認股權證往往被視為現貨市場產品，因為其買賣方式類似股票，而非期權和期貨等衍生產品.不過認股權證同時具備衍生產品的許多特點，可以作為一種非常好的杠桿投資工具等.但是有關認股權證的研究較少，并且多集中在認股權證的市場價格的統計分析描述.本文從Black－Scholes［1]模型出發利用等價鞅測度定理得到了歐式認股權證定價的一般公式.

1 模型與定義

1.1 理想模型

1）金融市場為有效的穩定市場，分為無風險資產和風險資產兩種，前者一般稱為債券，后者稱為股票，它們分別滿足下式

其中，St表示股票在t時刻的價格，Bt表示債券，μ表示股票的期望收益率，r為無風險利率，σ表示波動率，μ、σ、r均為常數，dWPt表示布朗運動在概率測度P下的t時刻的瞬間增量.

2）股票在期權持有期內無紅利支付.

3）股票交易連續進行，不存在交易費用及交易稅.

1.2 定義

設（Ω，F，P）是一概率空間，Fn是F 的完備子σ－代數的一個增加族，滿足F＝∨nFn，其中F0＝｛φ，Ω｝，P是風險概率測度，（WPt，0≤t≤T）是概率空間上的一維標準布朗運動，Ft是由WPt生成的σ－代數.

定義如果測度Q滿足

定理1 在測度Q下，股票價格的動態過程為

證明 股票的價格過程滿足（1）式，應用lt?定理，有

進而求得在測度P下，股票價格的動態過程為

其中E（·）為在測度P下的數學期望，PQ（·）為在測度Q下的概率，IA為A的示性函數，將式（5）代入式（3），得到

所以在測度Q下，有

2 主要結果

考慮一般性的定價問題：設某上市公司擁有x股已發行的流通股票，有y份流通的認股權證，且認股權證的持有者在時刻T可以以每股X的執行價格從該公司購買z股的股票，用W 表示每份認股權證現在時刻（T＝0）的價值，用V表示該公司現在時刻的權益價值.

定理3 在上述條件下，認股權證現在（T＝0時刻）的價格為

證明 設T時刻認股權證被執行，此時執行價格為yzX，因此公司權益價值為VT＋yzX.股票總股數變為x＋yz，那么T時刻的瞬間股票價格為

這時，認股權證持有者就會獲得收入為

其中，σ表示公司權益價值的波動率.

且有

用P表示風險中性概率測度，則有

于是

顯然

在測度P下，標的資產G的隨機動態過程為

通過類似的方法，可以得到

其中

因此，定價公式（8）化為

從而認股權證的定價公式為

3 結 語

對股權證價格W 的定價公式（7）中的波動率的計算，可以通過計算變化的波動率，這里X是認股權證的市場價格.基于股票價格和認股權證價格的歷史數據，可以采用時間序列模型中的歷史波動率的計算方法.在以上基本公式中，對其基本假設進行修正，可以得到一些應用于特殊情況的權證定價公式，如附保底條款的鞅定價模型、公司發放紅利的定價模型以及隨機利率下認股權證的定價模型等.和股票期權（Zhu Yonggang.Applications of Martingale Methods in Stock Index Option.Recent Advance in Statistic Application and Related Areas，2010－07.）一樣，認股權證是一種以小博大的金融工具，對投資者很有吸引力，按照資本市場的理論，收益越大，風險也越大.如何控制認股權證的價格風險，還有待于繼續研究.

［1]Black F，Scholes M.The Pricing of Options Corporate Liabilities［J].Journal of Political Economy，1973，81（3）：637－659.

［2]孔繁亮.B值漸近鞅的強弱大數定律［J].數學學報，1998，41（3）：667－672.

［3]Martin B.Finacial Calculus［M].England：Cambridge University Press，1997.