數字軌道地圖線路分段表示方法研究

夏 青，楊劍鋒

（蘭州交通大學 自動化與電氣工程學院，蘭州730070）

在基于全球導航衛星系統 （Global Navigation Satellites System, GNSS）的列車運行控制系統中，數字軌道地圖不但可以校正GNSS定位誤差，還可作為線路信息數據庫，將列車控制集中到車載環境中，降低成本[1]。軌道地圖精度越高，列車定位精度也就越高，對列車的控制也就越精確。因此，生成一份高精度的數字軌道地圖是非常必要的。

大量彎曲軌道在數字軌道地圖中的表示是一個難點，既要保證精度，又要考慮存儲效率，不能造成數據存儲量過大而影響系統的實時性。目前常用的曲線表示方法如NURBS表示會造成數據存儲量過大以及地圖匹配算法的復雜。折線表示法是用折線表示曲線的方法，根據精度要求確定分段數，這種方法沒有將線路按照其特點進行劃分，勢必會增加不必要的分段，影響了數據存儲效率。

鐵路線路都是由直線、圓曲線、緩和曲線組成。軌道曲線的繪制，就是采集線路上若干離散點的坐標，擬合出描述軌道線形的參數，在數字軌道地圖中表示出來。為了準確描述線形，需要將軌道劃分為以上3種線元，再根據各個線元的特點分別擬合。該方法的關鍵在于準確的判斷測量點位于哪一種線元上。為此，本文提出根據角度差法對線路進行劃分，并給出最小二乘直線、圓曲線擬合以及緩和曲線擬合算法。

1 測量點的篩選

1.1 線路坐標系的建立與角度計算

首先建立線路直角坐標系，將測得數據轉換為該坐標系下的測點坐標，測量時存在大量多余觀測，因此需要從獲得的測點坐標中按照一定的間隔（10或20m)提取坐標值，使得相鄰2點構成的弧長相等（直線可看作半徑無窮大的曲線），將提取的測量點在坐標系中標出。如圖1，輸入12個測量點坐標值。

設點i的坐標為（xi, yi)，則計算出點i與點i+1所形成的線段與Y軸的夾角θi為

圖1中我們由上述方法分別計算出θ1到θ11的值。

圖1 計算θi值示意圖

1.2 線元上測量點的總體篩選

根據解析幾何原理，若測點位于直線上，則點i與點i+1所形成的線段與Y軸的夾角θi值不變；若測點位于圓曲線上，則θi值的變化值△θi為一定值。根據這一性質可實現對測量點的篩選，基本思想是：

（1）計算相鄰2個夾角θi與θi+1的差的絕對值△θi=|θi+1－θi|，該值為θi的變化值，如在圖1中我們可以得到△θ1到△θ10；

（2） 比較相鄰2個θi的變化值，看它們的差的絕對值是否小于一個給定的正常數ε（這個正常數由測量和計算誤差以及軌道地圖精度要求所決定），即判斷△θi與ε的大小，若△θi＜ε，則認為點i、點i+1、點i+2在一條直線上，以此類推，當△θi＜ε(j>i)時，該直線段上的測點篩選結束。由此，篩選出所有直線段上的測點；

（3）當△θj＜ε時，令ai=|△θi+1－△θi，比較ai與ε值的大小，當ai＜ε時，則認為點i、點i+1、點i+2在一條圓曲線上，以此類推，當aj>ε()ji>時，該條圓曲線上的測點篩選結束。由此，篩選出所有圓曲線段上的測點；

（4）若不滿足上述條件，可認為測點位于緩和曲線段上。

在實際運用時，通過設置給定正常數ε值的大小，可以減小誤差并達到更加理想的軌道分段。一般計算出的圓曲線段θi的變化值△θi越大，設定的正常數ε的值相對較大可以取得更好的分段效果。

2 線元的擬合

由θi角度的變化規律，篩選出直線、緩和曲線、圓曲線的測量點，分別選取3種線元上的測點進行參數擬合計算。

2.1 最小二乘法直線擬合

設直線方程的形式為y=ax+b，獲得直線線元上的坐標(x1, y1),(x2, y2),…(xk, yk)，則由最小二乘原理，則可以求得a、b的值分別為：

根據上式對各點坐標值進行一次計算就可求出a，b，即可得到目標直線方程。

2.2 最小二乘法圓擬合

采樣圓曲線上的測點坐標(x1, y1),(x2, y2),…(xk, yk)，設R0為圓曲線半徑，(X0, Y0)為圓心坐標。運用最小二乘法進行圓曲線擬合，各測點殘差平方和函數為：

根據最小二乘法原理有：

由式（3）和（4）化簡整理可得擬合出的圓曲線的半徑和圓心坐標為：

由式（5）可以看出，由最小二乘法圓擬合的形式雖然復雜，但只需要對各點坐標計算一次即可得出圓曲線半徑和圓心坐標，因此該算法的擬合速度是很快的。

2.3 緩和曲線的長度計算

常用的緩和曲線方程屬于三次拋物線型，其表達式為：

其中：(x, y)為緩和曲線上任意一點坐標，R為圓曲線半徑，l0為緩和曲線的長度。該方程的坐標原點是直緩點。

對緩和曲線采用三次多項式擬合，足以保證軌道地圖的精度要求。采樣緩和曲線上的測點坐標(x1, y1),(x2, y2),…(xk, yk)，擬合方程為：

只需要4個數據點的值就可確定式（7）中的a、b、c、d參數的值。

按照上述方法分別估計出鐵路線路中的直線、圓曲線、緩和曲線3種線形的參數，就可以將參數存儲為數字地圖的形式。

3 實例計算

圖2 線路數據篩選計算程序

按照上述算法，利用Visual C# 2005編制線路測點數據篩選計算程序，如圖2。選取某一包含直線、緩和曲線、圓曲線的典型路段作算例，測量點數據按20 m等間隔提取，選取測量點數42個，程序在讀取測量點的坐標數據后，能夠判斷出測量點所在的線元，從而大致判斷出所選線路段中各線元上的測點，這里我們將ε設定為0.000 5。根據判斷的結果在MATLAB下編制相應的擬合程序對3種線元進行擬合。所得的線路參數為：圓曲線半徑為802.033 m；緩和曲線長度分別為110.23 m，105.06 m。對同一組數據進行多次分段擬合，并對擬合的結果進行誤差校驗，結果表明，擬合出的線路參數不存在較大的偶然誤差和系統誤差，擬合精度符合要求。圖3為對不同線元擬合得到的線形。

圖3 不同線元分別擬合的結果

4 結束語

本文針對鐵路線路的特點，提出鐵路線路分段擬合算法，根據2點確定的直線角度變化對線路進行分段，再用最小二乘原理對3種線元分別進行擬合。線路分段算法計算速度快，效率高，人工參與量少，能夠準確的判斷觀測點數據所在的線元類型，進而準確地擬合出各個線元。相比于未作線路分段的擬合方法，可得到更加精確的線路參數，使軌道地圖數據存儲效率和精度得到一定的提高。應用最小二乘原理處理測量點坐標，計算過程的實質是最小二乘約束的整體優化過程，可準確恢復線路的各項參數。

[1] 張雅靜，王劍，蔡伯根. 基于GNSS的虛擬應答器研究[J] . 鐵道學報，2008，30（1）：104-108.