板-桁模型計算鋼筋混凝土構件抗扭強度綜述

張永康，許 莉

（無錫市政設計研究院有限公司，江蘇 無錫 214072）

0 引言

鋼筋混凝土構件在扭矩作用下處于三維應力狀態，且平截面假定不能適用，準確的理論計算難度大。對于非線性混凝土材料和開裂后的鋼筋混凝土結構，有限元分析也尚不完備。至今工程中受扭構件的設計主要采用基于試驗結果的經驗公式，或者根據簡化力學模型推導的近似計算式。本文就主要介紹鋼筋混凝土構件抗扭強度計算的簡化力學模型中的一種——板-桁模型。

1 鋼筋混凝土構件抗扭強度計算的簡化力學模型介紹

鋼筋混凝土構件抗扭強度計算的簡化力學模型主要有兩種：斜彎破壞模型和桁架模型。

斜彎破壞模型是1959年蘇聯學者根據頂面受壓的彎扭型和側面受壓的扭剪型二種破壞模式提出來的。它假定構件破壞時，形成了由三面斜裂縫和與構件軸線成一定角度的受壓區構成的一個空間拗曲破壞面；其斜裂縫傾角不變（多假定為45°）；受壓區混凝土的壓應力為均勻分布。計算時不考慮混凝土的抗拉作用，與破壞面相交的縱筋和箍筋都屈服，受壓混凝土達到抗壓極限強度，按極限平衡條件，推導出構件抗扭強度計算公式。對彎剪扭作用下的斜彎破壞模型，計算時分別令彎矩和剪力為零，即得純扭構件的強度公式。后來，Gesund等對此理論先后進行了部分修正和完善。

1929年，德國Rausch首先提出采用“空間桁架理論”，計算構件的抗扭強度。以后1968年P.Lampert等提出了變角桁架模型，即認為混凝土斜壓桿傾角不一定為45°，它主要與縱筋和箍筋的相對用量有關。1973年，M.P.Collins應用虛功原理及最小勢能條件，推出了其自稱為“斜壓場理論”的計算模型。實質上，“斜壓場理論”仍屬于桁架模型的范疇。上世紀八十年代以來，桁架模型理論的重大進展，是它與混凝土軟化本構關系的結合。在變角桁架模型的基礎上綜合了平衡方程，變形協調方程和混凝土的軟化本構關系，就形成了混凝土軟化變角空間桁架模型——簡稱軟化桁架模型。近期國內外的研究多以此為基礎。康谷貽、云衛亭等，應用軟化桁架模型理論，對扭矩較大的彎扭，剪扭，偏壓扭及彎剪扭構件進行了許多研究。

許多研究工作者通過近年來的研究認為，采用桁架模型可能是解決剪切和扭轉問題的更有希望的途徑。這是因為：第一，它對構件開裂后的抗剪、抗扭機理給出了清晰的概念；第二，它不僅可以作為強度而且可以作為變形的統一計算模型，并有可能使抗剪、抗扭強度計算方法得到統一；第三，它有可能更合理地解決軸向力、彎矩、剪力和扭矩共同作用下復合受力構件的設計計算方法；第四，能夠較合理地考慮預應力的作用和影響，使得非預應力和預應力構件的設計計算方法也能獲得統一并協調；第五，它可以適用于任意形狀的截面，甚至于開口薄壁截面的鋼筋混凝土構件。

2 板-桁模型提出背景

軟化桁架模型理論不僅可以較準確地預測構件的極限承載力，而且可以預測構件開裂后加載全過程的變形。研究表明，軟化桁架模型有可能成為復合受力下鋼筋混凝土結構計算理論的基礎。近幾年來國內外的許多研究者，應用軟化桁架模型理論，對以扭為主的壓拉扭，彎扭，剪扭以及彎剪扭復合受力構件，進行了強度和變形的分析研究，取得了較大成績。特別是對純扭和扭彎比及扭剪比較大的矩形截面鋼筋混凝土構件，軟化桁架理論已能圓滿解決。但對于彎矩或剪力為主要成份，扭彎比及扭剪比較小的構件，由于構件的某一個側面上，桁架未能形成，因而，無法采用四面開裂的軟化桁架模型進行全過程分析。從而需要建立一種新的計算模型，適用于這種受力狀態。

天津大學近年的研究也說明，軟化變角桁架模型主要適用于扭矩為主要成分，扭彎比及扭剪比較大屬于扭型破壞的彎-扭構件及剪-扭構件。對于彎矩或剪力為主要成分，扭彎比及扭剪比較小屬于彎型和剪型破壞的彎-扭構件和剪-扭構件，由于構件的一個側面桁架未能形成，因此，采用四面開裂的軟化變角桁架模型進行全過程分析時，存在問題較多。雖然，有的作者也曾提出四面開裂的軟化變角桁架模型，亦可能適用于彎矩或剪力為主要成分的彎、剪、扭復合受力構件。但根據天津大學對彎-扭和剪-扭構件的研究，其前景估計不一定是很樂觀的。從而，以軟化變角桁架模型為基礎，進一步改進或完善計算模型，使之適用于這種受力狀態，是一項十分重要的研究課題。而板-桁模型就是針對扭彎比及扭剪比較小的構件，在軟化變角模型的基礎上的進一步改進和完善。

3 板-桁模型介紹

蘭州鐵道學院的劉鳳奎在軟化桁架模型理論的基礎上，根據小扭彎比構件的受力特點，提出了彎、剪、扭共同作用下的板-桁模型理論。在彎、剪、扭共同作用下，可以將構件的壓彎區比擬為不開裂的板，將腹板、底板比擬為因開裂而形成的桁架。這樣，整個構件就可以比擬為：由兩個側面桁架和一個底部桁架，加一個頂部受壓板組成的空間復合受力結構，簡稱為板-桁結構。板-桁理論即以此為計算模型，見圖1（不失一般性的選取T形截面進行分析）。

圖1 板-桁理論計算模型

3.1 板-桁模型理論的基本假設

板-桁理論是以扭彎比(φ=T/M)相對較小的情況下，T形截面的底部及腹板兩側均已開裂，而翼緣板尚未開裂為前提的，并以下列基本假定為基礎。

（1）開裂后，混凝上只能承受壓力，不承受拉力，并且忽略裂縫兩側混凝土骨料的相互咬合作用；

（2）鋼筋只承受軸向力，忽略其暗銷作用；

（3）混凝上的主壓應力方向與主壓應變方向重合，且與斜裂縫平行；

（4）所有的變形均為小變形，不考慮二次力的影響，按變形前的初始尺寸建立各類方程；

（5）僅考慮構件的自由扭轉；

（6）對開裂部分的混凝土考慮其軟化;對不開裂的頂板混凝土，按復雜狀態下的強度關系確定其破壞條件，鋼筋則視作為理想的彈塑性材料；

（7）忽略頂板內箍筋的作用。

3.2 板-桁模型理論的解法

采用板-桁理論分析彎、剪、扭共同作用下的鋼筋混凝土構件，反映其受力與變形的基本未知參數共有41個，而板-桁模型理論共有38個獨立方程。其中:平衡方程10個，變形方程1個，協調方程9個，靜力等效關系10個，力素關系1個，鋼筋的本構關系7個。理論上在給定扭彎比ψ和剪跨比 η 的情況下，分別以 εc、εcl、εcb、εcr為自變量，聯立求解上述38個方程，即可得到相應的M,Q和T的解析解。對其求極值即可得到分別對應于:εc、εcl、εcb、εc的四組解。顯然只有 M,Q和 T最小的那組解，才是構件的極限強度Mu、Qu和Tu，其對應的破壞條件，也才反映了構件真實的破壞形態。用于計算的板-桁模型斷面圖見圖2。

3.2.1 平衡方程

圖2 板-桁模型斷面圖

由圖1可建立6個整體平衡方程。

由ΣX=0，得：2τc·tl=σcb·tb·sin（2ab）

由ΣY=0，得：

由ΣZ=0，得：

另外，對頂板混凝土的合力作用點（距梁頂/2）取矩，則由ΣMX=0，ΣMY=0和ΣMZ=0可以得到三個平衡方程。

圖3 節點受力平衡圖

由圖3可以建立4個節點平衡方程：其中在Z方向上，左、右兩節點可以分別建立一個平衡方程；而在X、Y兩個方向上，則由于左、右下角角部節點的受力相關性，每個方向上都只能建立一個方程。

3.2.2 變形方程

我們應用變形體的虛功原理，即可得到板-桁結構單位長扭轉角θ。由于頂部混凝土不開裂，為便于計算，在此忽略其剪切變形所吸收的微小虛功。由虛功原理即可得到θ表達式。

3.2.3 變形協調條件

（1）板-桁結構側面和底部斜壓桿的曲率關系

彎、剪、扭共同作用下的構件變形時，比擬的板-桁結構，不僅發生由于彎矩和剪力引起的彎曲變形，同時由于扭矩的存在，還伴隨有扭轉翹曲變形，使板-桁表面成為雙曲拋物面。基于小變形的假定，可以分別計算構件由扭矩和彎剪引起的變形，然后取其代數和作為彎、剪、扭共同作用下構件的變形。此處共可建立三個變形協調方程。

（2）頂板內的平均曲率

（3）板-桁結構兩側及底部箱壁內混凝土斜壓桿的傾角a（ii=b,1,r）

為了得到斜壓桿的傾角ai，利用扭轉變形能最小的勢能駐值條件，即扭轉變形θ最小值條件=0。對變形方程應用上述條件，并整理可得三個變形協調方程。

（4）頂板內的變形協調關系

忽略頂板的扭轉翹曲變形，則可把整個頂板看成一個整體，同一水平面處的應變相同。又由于混凝土不開裂，故鋼筋與其周圍的混凝土具有相同的應變。所以此處可得兩個變形協調方程。

3.2.4 靜力等效關系

靜力等效關系見圖4，在模型中，對混凝土斜壓桿的折算厚度及折算平均壓應力、箱壁范圍內頂板的折算厚度及折算平均壓應力、頂板懸臂部分混凝土壓應力的合力及其位置進行靜力等效，就可以得到十個靜力等效方程。

圖4 靜力等效關系

3.2.5 材料的本構關系

由左右兩側受拉縱筋、頂板上下層受壓縱筋以及三個開裂面的箍筋的本構關系，可以得到七個關于鋼筋本構關系的方程。頂板混凝土處于正應力和剪應力共同作用下的復雜應力狀態。其應力—應變關系屬于未開裂混凝土的本構關系，暫且采用Hognestad建議的形式。對于構件兩側及底面的混凝土的應力—應變關系，屬于開裂混凝土的本構關系，應考慮其軟化效應。本文引用F.vecchio和M.P.collins的研究成果。但是要注意的是混凝土的這四個本構關系是不獨立的，其己包容在靜力等效關系中。

3.2.6 構件的破壞準則

（1）混凝土斜壓桿的破壞條件

構件的兩側面和底面形成的混凝土斜壓桿，承受偏心壓力，其破壞條件為：

（2）頂板混凝土的破壞條件

頂板混凝土按變形和強度雙重準則確定其破壞條件，即只要下述兩條中有一條滿足，即認為彎壓區已形成塑性鉸，構件將失去承載能力。

（3）頂板開裂的條件

根據頂板單元體的應力莫爾圓可知，頂板內混凝土的主應力為:

根據Kupfer破壞準則，頂板混凝土開裂條件為:

式中：ft為混凝土的軸心抗拉強度。

上式實際上界定了板-桁模型的適用范圍。當扭矩很大，使得上式成立時，頂板即開裂，該模型不再適用。另一方面，它也是用板-桁模型理論，預測頂板開裂荷載的判定條件。

3.3 板-桁模型的特點

板-桁模型理論，為開裂后的鋼筋混凝土構件的受力分析，提供了一個十分有價值的方法和途徑。板-桁理論的計算值與試驗值的對比分析表明，兩者符合良好，偏差均在20﹪以內，這說明板-桁模型理論是合理且可行的。

板-桁理論，除沿用了“軟化桁架理論”與“斜彎破壞理論”的部分基本假定外，不包含任何經驗成份。依平衡方程，虛功原理，變形協調條件，靜力等效關系及材料的本構關系，建立起來的基本方程，概念十分清晰、明確。計算公式中的各個參數，都有確定的物理意義。此外，該理論對構件的工作狀態描述比較準確，主要表現在:

（1）在板-桁模型理論中，對開裂的底面及側面，考慮了混凝土的軟化，而對不開裂的頂板，考慮了壓剪復合受力的影響。

（2）板-桁模型理論，拋棄了平截面假定，從而可以區分彎拉區左右兩側縱筋的不同工作狀態，同時也將翼緣內不同部位的縱筋作了區分。

（3）該理論將T形截面作為一個整體分析，從而避免了彎矩的分配問題。

（4）該理論還考慮了核芯混凝土的抗剪作用，使理論模型更符合實際情況。

板-桁模型理論，可以適用于矩形截面，T形截面乃至箱形截面的復合受力構件，并為統一復合受力下鋼筋混凝土的計算模式創造了條件;同時，這一理論還能很好地解釋混凝土的抗剪，抗扭以及抗彎的工作機理。

4 結論

本文對鋼筋混凝土構件抗扭計算簡化模型的種類、內容和發展歷程做了介紹，并針對小彎扭比和小剪扭比構件破壞時，三面開裂一面不開裂的情況，詳細地介紹了板-桁模型計算理論。板-桁模型計算理論是對軟化變角桁架模型的補充與完善，它以空間桁架模型為基礎，在考慮變角、混凝土軟化、變形協調和構件一面未開裂等因素的基礎上，用38個方程和41個變量來描述小彎扭比和小剪扭比構件的破壞全過程。板-桁模型計算理論為鋼筋混凝土結構復合受力下的工作性能提供了清晰的概念，同時它可以邏輯地考慮軸向力以及預應力的影響。因此，板-桁模型計算理論是十分有用并應該受到重視的。

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