一種含參數的雙線性有理插值的圖像縮放方法

丁劍

（合肥工業大學 數學學院，安徽 合肥 230009）

圖像縮放是一種轉換圖像分辨率的處理技術。在數字圖像的處理中，圖像縮放一直是一項重要的內容，具有廣泛的應用。傳統的圖像縮放方法有最鄰近插值法（又稱零階插值）、雙線性插值和雙三次插值[1-2]。這些傳統算法都是采用多項式的方法，根據離散的像素點構造出一個連續的插值函數，再利用插值函數求出任意位置處的函數值。這些方法的優點是能快速生成所需的目的圖像，并且具有良好的視覺效果，其缺點是在插值過程中容易造成邊緣層次模糊和塊狀效應（像素重復顯示），對于那些紋理特征和邊緣細節比較豐富的圖像，處理的效果不盡如人意。圖像是一種視覺信息，圖像像素之間一般并不具有線性關系，因此有人在圖像處理中引入了非線性理論[3-5]。如朱功勤、檀結慶等在向量連方式方面開展了比較深入的研究，建立了二元Thiele型向量值有理插值[6]。英國著名的數學家羅素（Bertrand Russell）曾經這樣說過：“逼近的思想將支配所有的精確科學”[7]。有理函數是一種典型的非線性逼近方法，用有理函數構造圖像的插值函數或許能取得更好的效果。如胡敏等用二元向量有理插值來對圖像進行處理[8]，蘇本躍等將切觸有理混合插值算法應用到圖像縮放中[9]，王強等提出了有理插值樣條的圖像算法[10]。本文將構造一種含參數的有理插值算法來實現圖像的縮放，且通過對參數不同的選擇可以對插值函數進行局部修改，實驗結果表明，本文的方法能有效地提高圖像放大的質量。

1 雙線性有理插值

1.1 雙線性有理插值函數的構造

設 Ω： [a，b；c，d]為 一 個 平 面 區 域 ， {（xi，yi），i=1，2，3，…，n；j=1，2，3，…，m}為一組給定的數據點，fi，j為定義在該點的函數值，其中a=x1

其中 λi為參數，且 λi＞0。

顯 然 式 （1）滿 足 H*i，j（xi）=fi，j，H*i，j（xi+1）=fi+1，j。

再 根 據 H*i，j（x）， 構 造 區 域 [xi，xi+1；yj，j+1]上 的 有 理 插值函數：

其 中 ，βj為 參 數 ，βj＞0，且 滿 足 Hi，j（xr，ys）=f（xr，ys），r=i，i+1，s=j，j+1。

式（2）即稱為帶參數的雙線性有理插值函數。

1.2 雙線性有理插值的矩陣表示

為了更簡潔地表示雙線性有理插值函數，便于編程，采用矩陣的形式來表示插值函數，令：

則式（2）可表示為：

1.3 插值函數的性質

（1）Hi，j（x，y）具有保 正性。 即當 fi，j的值為 非負時，Hi，j（x，y）的值也非負。

（3）端 點 性 質 ：Hi，j（xi，yj）=f（xi，yj）；Hi，j（xi+1，yj+1）=f（xi+1，yj+1）。

2 基于雙線性有理插值的圖像縮放

假設源圖像 R（x，y）的大小為 M×N，任意縮放 k倍后的目標圖像 R′（x，y）的大小為 kM×kN。

（1）設源圖像 R（x，y）中第（i，j）處的像素值為 Ri，j，i=1，2，…，M，j=1，2，…，N。 目標圖像 R′（x，y）在第（i′，j′）處的像素值為 R′i′，j′。 若 i′/i=k 且 j′/j=k，則 R′（i，j）=R（ki，kj）。

3 實驗結果與分析

本文先將源圖像（Lena，Peppers，Monkey圖）縮小兩倍，再分別以雙線性插值、雙三次插值和本文的方法（其中參數 λi取 0.1，βj取 0.15）分別放大兩倍，然后比較這三種方法放大后圖像的視覺效果。

先用比較平滑的 Lena（256×256）和 Peppers（256×256）圖像作比較，結果如圖1和圖2所示。

圖1 Lena圖像實驗結果

圖2 Peppers圖像實驗結果

再用邊緣特征和紋理比較豐富的 Monkey（256×256）圖像作為原圖像，縮小兩倍后，再分別用三種算法放大兩倍后，效果如圖3所示。

圖3 Monkey圖像實驗結果

主觀上，根據邊緣檢測函數Canny算子分別檢測圖3（a）、（b）、（c）、（d）的邊緣，效果如圖 4 所示。

圖4 圖3各圖像邊緣檢測結果

從圖4中四幅邊緣圖像可以看出，本文的方法在放大圖像時對于圖像的邊緣保持較好。

客觀上，三種算法的峰值信噪比（PSNR）如表1所示。

表1 三種算法的PSNR比較

比較表1中數據可以看出，相比于雙線性插值和雙三次插值，本文方法對于圖像的放大效果有所提高和改善。

本文構造了一種含參數的雙線性有理插值，通過非線性的方法來實現圖像的縮放，實驗結果表明這種算法對于圖像的處理效果有所提升，是一種有效和控制靈活的方法。如何將線性和非線性方法結合起來，根據圖像的不同顏色特征區域自適應地選取不同的圖像縮放方法，是下一步研究的重點。

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[6]檀結慶.連方式理論及其應用[M].北京：科學出版社，2007.

[7]王仁宏，朱功勤.有理函數逼近及其應用[M].北京：科學出版社，2004.

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[9]蘇本躍，盛敏.自適應圖像縮放的切觸有理混合插值算法[J].計算機工程與應用，2010，46（1）：196-199.

[10]王強，檀結慶，胡敏.基于有理樣條的圖像縮放算法[J].計算機輔助幾何設計與圖形學學報，2007，19（10）：1348-1351.