空間解析幾何二次曲面伸縮法的MATLAB設計和實現

崔秋珍

(洛陽理工學院，河南 洛陽 471023)

1.引言

空間解析幾何是大學數學的主要課程。二次曲面是空間解析幾何的主要內容之一，是學習多元微積分的幾何基礎，它具有很強的邏輯性、空間性和運動性。討論二次曲面的圖像的形成和性質通常有截痕法和伸縮法。然而，由于空間解析幾何常規教材無法直觀和動態地表現二次曲面的形成過程和圖形之間的關系，從而給學生學習空間解析幾何課程帶來理解困難。而MATLAB作為具有強大功能的數學軟件，被越來越多地應用于傳統教學中。文獻[1]討論了利用MATLAB實現空間解析幾何二次曲面截痕法的動畫演示。本文探討空間解析幾何二次曲面伸縮法的MATLAB設計和實現。

2.二次曲面及其伸縮變形法

二次曲面：三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面。

伸縮變形法：設S是一個曲面，其方程為F(x，y，z)=0，設S'為將曲面沿某個坐標軸伸縮λ倍所得的曲面，其方程為F'(x，y，z)=0。通過比較S和S'的圖形變化和方程 F(x，y，z)=0及F'(x，y，z)=0的關系討論二次曲面的形成和關系的方法稱為伸縮法。

設將S的y、z坐標不變，x坐標沿x軸伸縮λ倍。顯然，若(x，y，z)∈S，則(λx，y，z)∈S'。若(x，y，z)∈S'，則(x，y，z)∈S。因此，對于任意的(x，y，z)∈S'，有 F(x，y，z)=0，即 F(x，y，z)=0 為 S'的方程。同理，F(xy，z)=0 和 F(x，yz)=0分別為將S沿y軸或者z軸伸縮λ倍的曲面的方程。

例如，把圓錐面a2z2=x2+y2沿y軸方向伸縮倍，所得曲面方程為，此為橢圓錐面。

3.二次曲面伸縮法的MATLAB設計和實現

二次曲面生成常用MALTAB命令和功能：

mesh：生成由 x、y、z指定的網線面

surf：生成由x、y、z指定的帶陰影的網面圖

cylinder：生成一單位圓柱體的 x、y、z值

sphere：生成三維直角坐標系中的單位球體

程序設計思想：首先生成球面S：x2+y2+z2=1，然后將S沿 x、y、z軸方向伸縮 a、b、c倍。得到橢球面=1。

程序如下：

[x，y，z]=sphere；%建立單位球面網絡

mesh(x，y，z)；%生成單位球面網線圖

surf(a*x，b*y，c*z)；%沿 x、y、z 軸方向伸縮 a、b、c 倍的網面圖

xlabel('x')；ylabel('y')；zlabel('z')；%添加坐標軸標注

title('x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1')%添加標題

圖1為單位球面網線圖，圖2為將單位球面沿x、y、z軸方向伸縮4、5、2倍后生成的橢球面。

圖1 單位球面網線圖

圖2 橢球面

程序設計思路：首先生成曲面S：x2+y2=1+z2，然后將S沿 x、y、z軸方向伸縮 a、b、c倍。得到單葉雙曲面 S’

程序如下：

z=linspace(0，1，40)；%建立網絡坐標

xlabel('x')；ylabel('y')；zlabel('z')；%添加坐標軸標注

title('x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1')%添加標題

圖3、圖4給出a=2、b=4、c=5單葉雙曲面的生成過程效果圖。

圖3 單葉雙曲面(z>0)

圖4 單葉雙曲面

程序設計思路：首先生成x2+y2－(z+1)2=-1在(0

程序如下：

圖5、圖6給出a=3、b=4、c=5雙葉雙曲面的生成過程效果圖。

圖5 雙葉雙曲面(z>0)

圖6 雙葉雙曲面

程序設計思路：首先生成曲面S：x2+y2=z，然后將S沿x、y軸方向伸縮a、b倍。得到橢圓拋物面

程序如下：

圖7給出的是a=2、b=5的橢圓拋物面效果圖。

圖7 橢圓拋物面

圖8 雙曲拋物面

程序如下：圖8是程序運行效果圖。在 z<0

4.結束語

從上面的分析可以看到借助于MATLAB可以容易地實現空間解析幾何二次曲面伸縮法的設計和演示，從而直觀的、立體的和運動的揭示二次曲面的圖像特征和方程之間的對應關系。這使得空間解析幾何的教學增加了趣味性和生動性，也使空間解析幾何課程的學習變得易于理解和鞏固。

[1]度巍.空間解析幾何中二次曲面截痕法的動畫演示[J].電腦知識與技術，2011，(9)6297-9301.

[2]李銳.現代教育技術與空間解析幾何教學整合的研究[J].中國電力教育，2010(34)91.

[3]林海濤，林海如.常用軟件在空間解析幾何教學中的實踐[J].廣東輕工職業技術學院學報2010，(9)33-36

[4]蘇金明.MATLAB實用指南[M].電子工業2002.

[5]同濟大學數學系.高等數學[M].高等教育出版社2007.