應用主曲線確定瀝青混合料的粘彈性參數

滕旭秋，李曉鐘

（甘肅省道路橋梁與地下工程重點實驗室，甘肅 蘭州 730070；2.蘭州交通大學，甘肅 蘭州 730070）

0 引言

瀝青混合料的力學性質與溫度及荷載作用頻率密切相關。國外在進行路面結構設計時常采用動模量作為設計參數，而我國路面結構設計參數常采用靜態模量。二者不僅在數值上相差很大，而且動模量的采用更能有效地反映荷載、環境及路面結構之間的相互作用。所謂主曲線(master curve)是粘彈性材料在不同溫度和荷載作用頻率下得到的力學性質按照一定的法則通過平移后形成的一條在參考溫度下的光滑曲線。常見的主曲線主要包括動模量主曲線及相位角主曲線，并且可通過對兩條主曲線上對應數值的計算確定瀝青混合料的粘彈性參數[1]。

由于試驗儀器的限制，恒應變松弛試驗難于實現，而恒應力蠕變試驗雖然較易實現，但在試驗中卻不可能得到一個真正的矩形荷載，任何儀器都需要一定的時間才能使施加的荷載達到目標值，而確定材料參數時混合料初始受力狀態對參數的確定影響很大，這不可避免的導致測量得到的參數存在一定的誤差。而在試驗中通過頻率掃描試驗測定瀝青混合料的動態模量及相位角則比較容易實現，并且其試驗精度能得到較好的控制。

1 試驗設計

1.1 試件成型及數據獲取

試驗所用瀝青混合料包括AC-13、AC-20及瀝青穩定碎石LSAM-30三種。AC-13、AC-20所用瀝青為浙江蘭亭SBS改性瀝青，LSAM-30所用瀝青為濱州70＃瀝青，兩種瀝青的技術性能指標檢測均符合規范相應的規定。AC-13、AC-20級配取用規范推薦級配的中值，LSAM-30級配采用貝雷法設計。AC-13的設計空隙率為4.2%，最佳油石比為5.1%；AC-20的設計空隙率為4.5%，最佳油石比為4.3%；LSAM-30的設計空隙率為4.0%，最佳油石比為3.4%。通過馬歇爾試驗測定的各項指標滿足規范的要求。

按上述確定的瀝青混合料配比成型300 mm×300 mm×100 mm的車轍板后，利用鉆芯機鉆取直徑為100mm的圓柱體芯樣，由于測量應力及應變的MTS設備采集數據時對試件的平整度及垂直度都有一定的要求，因此在鉆芯過程中要特別注意車轍板及鉆芯機都應牢固地立于某一位置，不應發生扭轉或移動。

試驗采用應力控制方式，對試件施加正弦荷載，通過液壓飼服系統MTS材料試驗機進行相應的動態荷載及相應應變的采集，數據的采集間隔時間隨頻率的增加而減小，采集的數據為后期確定動模量及相位角服務。試驗參考文獻[2]的試驗方法進行。試驗溫度取為四個溫度，分別為-10℃、15℃、25℃及35℃；荷載作用頻率取為 1 Hz、4 Hz、8 Hz和 12 Hz。

測得相應的應力及應變后，可采用下式計算對應的動模量及相位角。

A—試件的面積；

σ0—應力。

應變的計算可參考下式進行：

GL—卡規的標準長度；

ε0—應變。

則動態模量的計算公式為：

在每個荷載作用頻率下的相位差可用下式計算：

式中：ti—每個荷載作用周期內應變滯后于應變的時間（Sec）；

tp—一個應力循環的平均時間（Sec）。

通過以上計算公式可以確定不同溫度、不同頻率荷載作用下的動模量及相位角。

1.2 試驗結果整理

整理試驗數據，獲得的三種瀝青混合料的動模量見圖1～圖3。

圖1 AC-13動模量結果

圖2 AC-20動模量結果

圖3 LSAM-30動模量結果

由圖1～圖3可以看出，由于瀝青為粘彈性材料，三種瀝青混合料的動模量值均隨著溫度的升高而減低，隨著荷載作用頻率的增加動模量值隨之增大。但是當溫度較低時(-10℃)時，瀝青混合料的粘彈性特征減弱，而其彈性特征變得較為明顯，在圖中表現為-10℃的動模量曲線值基本為一平直的直線，基本不隨荷載作用頻率的變化而變化。

三種瀝青混合料的相位角主曲線見圖4～圖6。

圖5 AC-20相位角結果

圖6 LSAM-30相位角結果

從圖4～圖6可以看出，隨著溫度的增加，相位角逐漸增大，隨著荷載作用頻率的增加，對應的相位角則降低，這與粘彈性材料的性能一致[3]。而值得注意的一點是，三種混合料在35℃時，荷載作用頻率為1 Hz時的相位角均小于荷載作用頻率為4 Hz時的相位角，主要原因是在高溫低頻作用時，瀝青膠結料硬度降低，礦料骨架的作用大于瀝青膠結料的作用，因為礦料是彈性材料,相位角為零，所以瀝青混合料的相位角此時會下降。

2 動模量、相位角主曲線的確定

本文利用前述在不同溫度、不同頻率下得到的瀝青混合料的動態模量，根據時間～溫度置換原理，確定瀝青混合料的動態模量主曲線。參考文獻[4]推薦的動態模量擬合函數（Sigmoidal函數）確定的動模量擬合函數見下式所示。

式中：Smix—混合料剛度（MPa）；

Smin—混合料最小剛度（MPa）；

Smax—混合料最大剛度（MPa）；

ffict—縮減頻率（Hz）；

β，γ—形狀參數。

在確定動模量主曲線之前應首先確定縮減頻率ffict，其計算公式為：

式中：αT—溫度轉化因子；

f—荷載作用頻率（Hz）。

本研究中，αT的確定采用WLF法，其計算公式為：

式中：ffict—主曲線將被讀取的頻率（Hz）；

f—荷載作用頻率（Hz）；

Tref—參考溫度；

T—實際溫度；

C1，C2—經驗常數。

若將上式帶入log-Sigmoidal函數，則該式共有六個待定參數，應用非線性最小二乘法確定各個待定參數。

現以35℃數據為例，確定以上三種瀝青混合料在不同溫度下的動模量主曲線及相位角主曲線。擬合的動模量主曲線見圖7～圖9。

圖7 AC-13動模量主曲線

圖8 AC-20動模量主曲線

圖9 LSAM-30動模量主曲線

S模型的上部逐漸接近瀝青混合料的最大剛度值，其值的大小與瀝青結合料的剛度值及集料的性質有關，溫度較高時，集料的骨架作用對混合料模量的貢獻要大于結合料的貢獻，因此，在曲線的起始階段（荷載作用頻率很低相當于高溫情況），動模量數值的大小與集料的級配有很大的關系。

由圖7～圖9可以看出，三種混合料隨著集料公稱粒徑的增加，混合料的最小剛度值(Smin)也逐漸增加，此時數值的大小取決于集料的級配情況。

溫度為35℃時，對應的相位角主曲線的溫度轉化因子可取用與確定動模量時相同的數值，對應的相位角主曲線見圖10～圖12。

圖10 AC-13相位角主曲線

圖11 AC-20相位角主曲線

由圖10～圖12可以看出，三種瀝青混合料的相位角都隨著頻率由低到高出現峰值后再逐漸減低，這符合粘彈性材料在粘彈態的力學性能變化規律[3]。當頻率大于一定數值后逐漸趨于穩定，此時對應瀝青混凝土的相位角數值非常小，瀝青混凝土表現為彈性性質。

3 頻域模量與時域模量的轉化

通過頻率掃描試驗，可以確定粘彈性材料的復數模量E*，它是由動態模量│E*│及相位角φ組成的。復數模量E*也可用儲能模量及損耗模量表示為以下形式：

而動態模量│E*│可以表示為：

動態模量│E*│、相位角、儲能模量及損耗模量之間的關系可以表示為：

根據不同縮減頻率下的儲能模量可進一步確定瀝青混合料的時域模量，其推導過程如下。

由粘彈性理論可知，在給定應變的情況下，圖13中左側的彈簧的應力計算公式為：

圖13 修正后廣義Maxwell模型

第m個Maxwell模型的本構方程的微分形式為：

對于廣義Maxwell模型，其應力計算公式為：

應用積分變換理論，在零初始條件下，對式（11）及式（12）進行傅立葉變換，可分別對應得到以下表達式：

將式（14）及式（15）代入式（13）并進行傅立葉變化，可得：

由式(16)確定的復數模量值為：

則由式(18)可得對應的儲能模量為：

研究中取用的廣義MAXWELL模型有一個獨立的彈簧與四組MAXWELL單元并聯而成，故式(19)的M值為4，式中的ωn為縮減頻率，通過式(19)計算廣義MAXWELL模型中各個彈簧及粘壺對應的粘彈性參數。其中，E0可通過下式確定[5]：

其它參數可應用擬合得到的儲能模量通過非線性最小二乘法擬合獲得。由式(19)可以看出，隨著荷載作用頻率的增加，在其它參數固定時，儲能模量也逐漸增加，但當頻率ωn達到一定數值時，儲能模量E′（ωn）趨近于常數；若頻率ωn值太小，儲能模量 E′（ωn）趨近于常數 E0，鑒于此，在進行參數回歸的時候取用的頻率范圍為0.01～1 000 Hz。確定的各粘彈性參數見表1。

表1 35℃瀝青混合料粘彈性參數

由表1的數據可以看出，E0的數值與集料的級配有一定的關系，這主要是由于在荷載作用頻率很低時，瀝青混合料的勁度模量主要取決于所用集料的級配，因為高溫時瀝青硬度降低，勁度模量主要取決于集料的骨架作用。

4 結語

本文通過頻率掃描試驗確定了不同溫度下瀝青混合料的動模量及相位角，應用粘彈性力學中的時溫疊加原理將溫度轉換因子引入動模量主曲線的計算，并應用傅立葉變換確定了在不同荷載作用縮減頻率下對應的儲能模量的計算公式，最后采用最小二乘法確定了瀝青混合料在一定參考溫度下的粘彈性參數。由計算結果可以看出，在考慮動荷載作用時，瀝青混合料的粘性效應不如靜態時的粘性效應顯著，這一點與路面結構的實際受力情況更加吻合。

本文研究所獲得的結果均出自室內試驗，其數值在路面結構設計中的應用有待于進一步研究。

[1]趙延慶,等,瀝青混合料動態模量及其主曲線的確定與分析[J].公路,2006(8):163-166.

[2]NCHRP 465 APPENDIX Test method for dynamic modulus of asphalt concrete mixtures for permanent deformation[R].

[3]楊挺青.粘彈性力學[M].上海:同濟大學出版社,1989.

[4]AASHTO 2002,Part2-Design Inputs,Chart2-Material Characterization[R].

[5]Sun Hgho Mun,Nonliner finite element analysis of pavements and its application to performance evaluation[D].North Carolina State University,2003.