一種基于自相關(guān)函數(shù)的載波頻偏估計(jì)方法

龔岳洲，周新力，王文琰，鞠振飛

（①海軍航空工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264001；②海軍裝備部駐上海地區(qū)軍事代表局，上海 200000）

0 引言

載波同步的是數(shù)字通信系統(tǒng)必須解決的問題，消除發(fā)送端和接收端載波頻率的偏移是載波同步的關(guān)鍵技術(shù)。由于突發(fā)通信具有短時(shí)性、隱蔽性和不易截獲的特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于軍事通信，必須實(shí)現(xiàn)快速的載波同步[1]。

文獻(xiàn)[2]給出了在高斯白噪聲中對(duì)正弦波信號(hào)頻率進(jìn)行最大似然估計(jì)(MLE，Maximum Likelihood Estimation)算法，估計(jì)誤差的方差達(dá)到了克拉美羅限，因此是最優(yōu)估計(jì).由于 MLE算法計(jì)算量大，難以實(shí)時(shí)進(jìn)行處理。于是提出了很多基于最大似然估計(jì)的簡(jiǎn)化算法，Kay在1989年提出了經(jīng)典的Kay算法[3]，Kay算法相對(duì)于最大似然估計(jì)(MLE)算法在計(jì)算復(fù)雜度有了很大簡(jiǎn)化，但是存在較高的信噪比門限（6 dB），當(dāng)接收端信噪比小于該門限時(shí)，性能急劇惡化，沒有達(dá)到工程應(yīng)用的要求。而針對(duì)Kay算法高信噪比門限的缺點(diǎn)，文獻(xiàn)[4]提出了L&R算法，L&R算法也是基于最大似然算法的簡(jiǎn)化算法，具有很低信噪比門限（-10 dB），完全能滿足工程應(yīng)用要求，但頻偏估計(jì)范圍過窄，也不適合運(yùn)用于工程上。文獻(xiàn)[5]根據(jù)最大似然方程的另一種近似解，提出了Fitz算法,在頻差較小時(shí)均能取得較高的估計(jì)精度。但是，t同樣存在估計(jì)范圍小的缺點(diǎn)，且計(jì)算復(fù)雜度較高的缺點(diǎn)。文獻(xiàn)[6]提出了M&M算法，M&M算法既具有低的低信噪比門限，又能估計(jì)很大的頻偏，但是復(fù)雜度太高，同步過慢，不利于實(shí)時(shí)處理。

本文利用相位折疊現(xiàn)象使得自相關(guān)函數(shù)的頻偏具有周期化規(guī)律，基于這一思想，本文提出一種利用最大似然估計(jì)中的自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行頻偏估計(jì)的算法，該算法估計(jì)范圍廣，精度高且復(fù)雜度低，適于突發(fā)通信。

1 信號(hào)模型

本算法采用MPSK調(diào)制方式，在高斯白噪聲信道下進(jìn)行傳輸，高斯白噪聲的雙邊譜密度為 N0/2，采樣時(shí)滿足Nyquist準(zhǔn)則，已經(jīng)完成信道均衡，消除了碼間干擾。并假定接受端進(jìn)行載波同步之前已經(jīng)進(jìn)行精確的定時(shí)同步，不存在定時(shí)偏差。假設(shè)接受端的載波頻率相對(duì)于發(fā)送端的載波頻率有efHz的頻率偏差，則接收端基帶信號(hào)表達(dá)式如下：

其中，na是所要接受的信號(hào)，對(duì)于MPSK信號(hào)，可以表示為[3]：

Ts是符號(hào)周期，是載波相位，θ0在觀測(cè)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N內(nèi)，是確定的未知量，fe是需要估計(jì)的載波頻偏，Nn是加性高斯白噪聲，其均值為零且方差為σ2[7]。實(shí)際上由于表示 an的復(fù)數(shù)共軛），于是可以定義，即得到：在統(tǒng)計(jì)上是與 N 等價(jià)的，A是幅度n噪聲，nθ是相位噪聲，因此nb可以看成高斯白噪聲下的單音正弦信號(hào)[8]。文獻(xiàn)[3-10]提出了很多經(jīng)典的方法，下面介紹一種新的頻偏估計(jì)方法。

2 算法分析

由經(jīng)典的最大似然估計(jì)[9]得到：

可以等效為：

令：

于是得到最大似然的估計(jì)方程：

由于最大似然估計(jì)是非線性最優(yōu)估計(jì)，復(fù)雜度太高，所以所以并不適用于工程實(shí)際。本文也是基于 R （k）得到的一種頻偏估計(jì)方法。

實(shí)際上R(k)可以寫成[10]:

可得簡(jiǎn)化的公式：

η（ k ） 表示復(fù)噪聲 γ （ k ） 在相位上的噪聲。定義arg（R（ k ） ） 為 R （k） 的相位，則：

于是可得：

為直觀的分析算法原理，先用matlab進(jìn)行蒙托卡羅仿真，仿真條件：數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N=50，歸一化頻偏信噪比

圖1 arg(R(k+1))-arg(R(k))的周期變化規(guī)律

從上面的分析可以將頻偏的估計(jì)轉(zhuǎn)化為對(duì)M的估計(jì)。新算法可以描述為：

1）計(jì)算自相關(guān)函數(shù)R(k)。

3）當(dāng)頻偏大于零時(shí)，設(shè)定閘值 H，得到 X+1個(gè) k 滿足

5）當(dāng)頻偏小于零時(shí)，設(shè)定閘值 H，得到 X+1個(gè) k 滿足 temp

7）求得歸一化頻偏feT=G/M。

接下來將從估計(jì)范圍，算法復(fù)雜度三個(gè)方面來分析本算法的性能。在此之前先介紹三種基于 R(k)的經(jīng)典算法。

L&R算法[4]，其表達(dá)式為：

M&M算法[6], 其表達(dá)式為：

本算法的計(jì)算復(fù)雜度由于只需要計(jì)算自相關(guān)函數(shù)，相對(duì)于M&M算法有很明顯的改善，對(duì)于突發(fā)通信來說本算法具有突出的優(yōu)勢(shì)。下表是L&R算法，kitz算法，M&M算法與本文算法在復(fù)雜度上的比較。

表1 復(fù)雜度比較

當(dāng)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N為1 000，L為500時(shí)，四種算法的計(jì)算復(fù)雜度依次為：乘法次數(shù)375 250、375 252、380 252、756 001；加法次數(shù)374 250、374 748、377 250、752 500。由此可知本文算法復(fù)雜度最低，M&M算法復(fù)雜度最高。

3 算法性能分析

通過仿真對(duì)上述討論及算法進(jìn)行了驗(yàn)證,并將本文算法與L&R算法、Fitz算法和M&M算法進(jìn)行了比較。仿真使用了 AGWN下的 QPSK信號(hào),即M=4。仿真中估計(jì)精度由歸一化估計(jì)方差來衡量,簡(jiǎn)稱為估計(jì)方差,定義為

AGWN下的QPSK信號(hào)，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N為100，性噪比為10 dB，用MATLAB進(jìn)行蒙托卡羅仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果如圖2所示，其中圖2(c)的縱坐標(biāo)數(shù)量級(jí)為 10-3。從圖中可以看出，本文算法和 M&M算法估計(jì)范圍最大，歸一化頻偏范圍可以近似得到0.5，驗(yàn)證了在本文第2節(jié)得到的結(jié)論。

算法的同步性能受信噪比的影響，因此本文在不同信噪比下進(jìn)行仿真。圖3是觀察數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N=200,L=N/2=128,歸一化頻偏feT=0.002時(shí),L&R算法、Fitz算法、M&M 算法和本文算法的估計(jì)方差隨信噪比變化的曲線圖,它反映了各算法在不同的信噪比下估計(jì)精度的變化趨勢(shì)。

圖2 頻偏范圍比較

圖3 估計(jì)方差與信噪比的關(guān)系

由仿真圖可以看出,在高信噪比條件下M&M算法的估計(jì)精度最高,新算法次之,L&R算法和Fitz算法的估計(jì)精度不及M&M算法和新算法。M&M算法雖然估計(jì)精度高,但是以較高的計(jì)算復(fù)雜度為代價(jià)。新算法在不同信噪比下的估計(jì)精度介于 M&M算法和L&R算法、Fitz算法之間,并且隨著信噪比的增加,新算法估計(jì)精度接近于 M&M 算法,但是在低信噪比下,新算法的估計(jì)精度較低，仿真圖3驗(yàn)證了理論分析中新算法估計(jì)精度較高的性能。

4 結(jié)語(yǔ)

本文利用相位折疊現(xiàn)象使得自相關(guān)函數(shù)的頻偏具有周期化規(guī)律，基于這一思想,本文提出一種利用最大似然估計(jì)中的自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行頻偏估計(jì)的算法,該算法估計(jì)范圍廣,精度高,且計(jì)算簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn),適合短時(shí)突發(fā)信號(hào)傳輸模式,因此具有較高的實(shí)用價(jià)值,仿真結(jié)果也證明了算法的性能但是算法在低信噪比時(shí)估計(jì)精度較低,所以不適合在低信噪比情況下工作。

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