基于空時聚焦傳輸的多源單中繼超寬帶網絡傳輸性能分析

田亞飛，楊晨陽

（北京航空航天大學 電子信息工程學院，北京 100191）

1 引言

基于短脈沖的超寬帶信號具有大于幾百兆赫茲的帶寬，因此在密集散射信道環境中可以分辨大量的多徑。這時，對于不同用戶之間的通信鏈路，即使用戶間距離很近，它們所經歷的多徑信道之間的相關性也很低[1,2]。利用超寬帶信號的這一特性，可以進行基于空時聚焦的信號傳輸，即在發射端通過預濾波處理，使接收信號在給定的時間和位置形成聚焦峰值，而在其他的時間和位置只有微弱的旁瓣[3～5]。這種傳輸模式可以擴展單跳鏈路的傳輸距離[6,7]，還可以降低多用戶傳輸時的用戶間干擾[8,9]。

在超寬帶通信中，采用信道的時間反演進行預濾波是實現空時聚焦的一種最簡單的方式[10～12]。這時，物理信道表現為一個空時匹配濾波器。從時域來看，接收信號是一個低占空比信號，能量主要集中在聚焦峰值中，因此不僅降低了碼間干擾，并且可以用低復雜度的單抽頭接收機完成解調。從空域來看，強信號只出現在期望位置，因此可以降低同信道共存用戶之間的互相干擾。但是，這種方案的性能依賴于信道響應的自相關和互相關特性，因此當信道特性不好時，用戶之間的干擾較大。為了在各種信道環境下都具有良好的干擾抑制能力，可以基于迫零（ZF）準則或者最小均方誤差（MMSE）準則來設計預濾波器[13～15]。

由于超寬帶信號的發射功率譜密度受限，其單跳傳輸距離也非常有限。為了擴展超寬帶通信系統的覆蓋范圍，利用中繼進行多跳轉發是一種有效的方式[16～19]。其中，文獻[16]考慮了一對源節點和目的節點之間并行中繼傳輸的問題，研究了2種分布式協作中繼方法。文獻[17]研究了傳統三節點協作分集方案在跳時超寬帶系統中的誤碼性能。文獻[18]研究了兩跳中繼與多輸入多輸出技術相結合對超寬帶系統的性能改善。與窄帶信號不同，超寬帶信號是一種擴頻信號，可以在同一頻帶內通過跳時等方式實現多用戶傳輸。因此，一個中繼可以實現從多個源節點到多個目的節點之間的轉發。如果每個發射節點都采用空時聚焦預處理，則中繼節點以及目的節點的接收復雜度會大大降低。文獻[19]考慮了應用空時聚焦技術進行多源單中繼傳輸的問題，但其性能分析比較簡單，沒有考慮節點位置隨機分布的影響，也沒有考慮在廣播階段對多用戶信號進行時分傳輸。

本文研究基于空時聚焦傳輸的多源單中繼超寬帶通信系統的性能，通過分析多址階段和廣播階段的中斷概率，得到各種條件下系統的可達吞吐量。在多址階段，每個源節點使用預均衡以隨機的時延發射信號，這相當于以隨機時分的方式來訪問信道。時隙數目越多，用戶間可能的沖突越小，但是脈沖重復頻率降低會導致單用戶數據率的下降。在廣播階段，中繼節點采用各自信道的時間反演對發往各目的節點的信號進行預濾波，并給這些信號等間隔的發射時延，這相當于以碼分與時分相結合的方式來訪問信道。信道響應越長，等效的擴頻增益越大，但是用戶間互相干擾的可能性也越大。因此，需要系統化地分析各種參數對網絡性能的影響，傳輸方案設計也要考慮各方面因素之間的最優平衡。

本文安排如下：第2節給出中繼網絡的結構、超寬帶信道模型以及基于空時聚焦傳輸時發射信號和接收信號的表達式；第3節分析多址階段和廣播階段的中斷概率以及網絡的可達數據率；第4節通過仿真驗證理論分析的結果；最后是結束語。

2 系統和信號模型

考慮如圖1所示的超寬帶中繼網絡，其中包括K個源節點、K個目的節點和一個中繼節點，每個源節點有一個對應的目的節點，所有源節點到目的節點之間的通信都通過唯一的中繼節點進行轉發。假設中繼節點位于坐標原點，源節點和目的節點在半徑為D的圓內隨機均勻分布。中繼節點采用時分半雙工模式。在第一個時隙里多個源節點向中繼節點發送信號，此階段為多址階段；在第二個時隙里中繼節點向多個目的節點發送信號，此階段為廣播階段。

圖1 多源單中繼多目的節點的協作網絡

考慮脈沖幅度調制的超寬帶信號

其中，s(k)(t)表示第k個用戶的發射信號， Pt是平均發射功率，是第k個用戶發送的第i個符號，p( t)是寬度為 Tp、能量歸一化的超寬帶窄脈沖，Ts是脈沖重復周期（在超寬帶通信里也叫做幀周期）。在每個幀周期里，存在Ns=Ts/Tp個時隙。

源節點k到中繼節點r之間多徑信道的沖激響應為

其中，L( k, r)是多徑的條數，αl(k, r)和τl(k, r)分別是第l條徑的幅度和時延，在脈沖超寬帶系統里，幅度αl(k, r)是實數。中繼節點r到目的節點k′之間的信道響應hr,k′(t)具有類似的表達形式。

信道的功率延遲剖面一般服從指數衰減，即

其中，τRMS是信道的均方根（RMS）時延擴展，這里有

空時聚焦傳輸方案需要發射端已知信道信息，處理的復雜度也集中在發射端。在多址階段中，每個源節點可以用信道的逆響應進行預濾波，即進行預均衡，以壓縮多徑信道時延對信號的擴展。在廣播階段中，如果要同時消除多徑干擾以及用戶間干擾，即進行最優空時聚焦傳輸，則可以基于ZF或MMSE準則設計預濾波器。但是，實現這2種預濾波器需要較高的計算復雜度。為了降低中繼的計算負擔，在廣播階段可以采用時間反演進行預濾波。

其中，符號“*”表示卷積操作。

在中繼節點r處，接收信號是K個源節點的發射信號經過各自多徑信道以后疊加的結果，即

其中，Ak,r是源節點到中繼節點之間信道的大尺度衰落，τk,r是傳播時延，z(t)是中繼節點處的接收機熱噪聲。因為預濾波器與多徑信道的卷積是一個沖激函數，所以在時刻t=iTs+τk,r會有一個聚焦峰值，這是源節點k的期望信號。K個源節點的信號在中繼處最多會形成K個聚焦峰值。

中繼節點的接收機可以直接在聚焦峰值處采樣，而后進行檢測或判決。第k個源節點的采樣信號可以表示為

在廣播階段，中繼節點共發出K路信號，每一路信號進行不同的幅度加權，即在發射端進行功率控制，以保證信號到達目的節點時具有足夠高的信噪比。為了盡量降低用戶之間的干擾，發送給目的節點k′的信號用hr,k′(-t )進行預濾波并進行kTs/K的時間延遲，即發射信號為

因為有K個用戶，把幀周期分成了K份，即相鄰2個用戶之間的時間間隔為Ts/K。

經過各自的多徑信道以后，目的節點k′的接收信號為

式中第二個等號后的第一項表示目的節點k′的期望信號，它在t=iTs+k ′Ts/K+τr,k′時刻存在聚焦峰值；第二項表示多用戶干擾信號，因為hr,j′(-t )和hr,k′(t )不匹配，干擾信號沒有聚焦峰值，表現為低功率的隨機過程；z(k′)(t)是目的節點的接收機熱噪聲。

目的節點的接收機只需要在聚焦峰值時刻進行采樣，而后進行判決，就可以完成檢測。

3 網絡可達數據率分析

不管是在多址階段還是在廣播階段，多源單中繼網絡的傳輸性能主要受多用戶干擾的影響。因此，下面首先分析多址階段和廣播階段中由于多用戶干擾所導致的中斷概率，然后再優化幀周期、信干噪比等鏈路參數從而使網絡的吞吐量最大。

3.1 多址階段中斷概率

在多址階段，來自不同源節點的信號以隨機的時延到達中繼節點，由于傳播距離的不同，信號到達中繼節點時的接收功率也不相同。對于來自某一源節點的聚焦峰值，在同一時刻到達的其他源節點信號所形成的聚焦峰值都可能對它產生干擾。如果這些干擾的和功率超出了它所期望的信干噪比門限，則這一源節點到中繼的傳輸就會發生中斷。把這種由多用戶干擾導致的傳輸錯誤概率叫做中斷概率。

下面首先推導同一時刻到達的若干路干擾信號的和功率的概率分布，然后再分析這些聚焦峰值在時間上發生沖突的概率，最后給出多址階段每條鏈路的傳輸中斷概率。

源節點的位置在以中繼為圓心，半徑為D的圓內均勻分布，所以源節點到中繼節點距離d的概率分布為

接收信號功率依賴于傳播距離d和路徑損耗因子α，也就是

因為中斷概率主要受各用戶接收功率相對大小的影響，為了便于推導，用0P Dα-對rP進行歸一化，得到歸一化接收信號功率：

利用式(9)可以導出λ的概率密度函數為

其中，1λ≥。可以看出λ是一種長拖尾分布，即它的尾部概率以冪函數的形式衰減而不是以指數函數的形式衰減[20]。

如果有多個用戶的峰值信號同時到達，這些峰值信號和功率的概率密度函數應該是式(12)的多重卷積，不存在解析解。文獻[9]中曾用2種穩定分布，即柯西（Cauchy）分布和勒維（Levy）分布[20]，來分別近似式(12)中當2α=和4α=時的2個概率密度函數。穩定分布具有良好的疊加特性，即具有穩定分布的多個獨立隨機變量之和仍然服從穩定分布。因此，用穩定分布來近似表達歸一化接收信號功率的概率分布，可以導出中斷概率的解析解。

根據文獻[9]中的結果，當n個用戶的峰值信號同時到達時，其和功率nΛ的累積分布函數（CDF）為

其中，erfc(·)是互補誤差函數。

不失一般地，下面以源節點k為例，來研究它到中繼節點傳輸中斷的概率。此時源節點k為期望用戶，其他用戶都是干擾用戶。

源節點k到中繼的距離為dk，代入式(11)，可以得到其歸一化接收功率λk=(dk/D)-α。假設這條鏈路可靠通信所需要的信干噪比為β= λk/(λN+λI)，其中λN是歸一化噪聲功率，λI是歸一化干擾功率。給定信干噪比也就決定了用戶可以采用的調制方式，它與幀周期一起決定了此鏈路所能達到的數據率，將在3.3節對這2個參數進行優化。

如果用戶k的接收信噪比為γ，即λk/λN=γ，那么可以計算出干擾功率的容限為

其中，μ=1/β-1/γ，當干擾功率遠大于噪聲功率時，μ≈1/β。在接收端對期望用戶信號進行采樣的時刻，如果干擾信號的和功率超過λI，則通信會發生中斷。

首先假設有n個用戶的峰值同時到達并干擾了第k個用戶的信號，這時用戶k的數據傳輸發生中斷的概率為

其中，erf(x)=1-erfc(x)是誤差函數。

考慮脈沖波形的影響，每個用戶聚焦峰值的持續時間為Tp。考慮到幀長是Ts，某一干擾用戶的聚焦峰值與期望用戶的聚焦峰值在時間上發生沖突的概率為

因為一共有K個用戶，出現n個用戶同時干擾期望用戶的概率為

期望用戶的平均中斷概率為所有可能的時間沖突概率與干擾超過期望用戶容限概率的乘積再求和，即

在上式的推導過程中利用了等式關系

以及線性化近似

3.2 廣播階段中斷概率

在廣播階段，只有期望用戶的信號會在目的節點處形成聚焦峰值，其他用戶的信號在接收端只形成散亂的干擾。

以目的節點k′為例，由式(8)可知，其期望信號經過的預濾波和實際物理信道合成的等效信道為，接收信號在0t=時刻有一個聚焦峰值，峰值的能量為。因為峰值信號的持續周期為2Tp，因此它的平均功率為1/2Tp。

中繼發給目的節點j′的信號到達目的節點k′時成為干擾信號。從中繼到目的節點k′所經過的等效信道為，這是一個隨機過程，其平均功率為

其中，第一個等式來源于2個信道的不相關特性。

由式(21)可以看出，干擾信道的平均功率在不同的時延處呈現雙邊指數衰減。為了得到隨機擴頻增益和沖突概率的顯式表達，把它近似為一個具有同樣面積的矩形函數。近似的程度會在后面的仿真中進行分析。

因為干擾信道的和功率為

且式(21)的最大值為1/2τRMS，所以當矩形的高度與雙邊指數函數的最大值相同的時候，其寬度為2τRMS。也就是說經過近似以后，干擾信道功率的大小為1/2τRMS，持續時間為2τRMS。

由于期望信道響應的功率為1/2Tp，干擾信道響應的功率為1/2τRMS，可見經過預濾波和多徑信道的共同作用產生了如下的擴頻增益：

它反映了時間反演預濾波通過隨機碼分多址方法抑制干擾的能力。

因為幀長是Ts，用戶間的時延為Ts/K，每一個用戶可能干擾的時間范圍為2τRMS，所以對期望用戶的峰值而言，同時存在的干擾用戶數目為

假設目的節點k′與中繼節點之間的距離為d′k，其干擾容限為λ′I。由于擴頻增益的存在，只有干擾信號的和功率超過GSλ′I時才會引發鏈路的中斷，因此利用式(15)可以導出廣播階段的中斷概率為

3.3 網絡可達數據率

由上面推導得到的多址階段和廣播階段的中斷概率，可以計算一個源節點經過中繼到達一個目的節點的傳輸數據率。根據前面的定義，在給定信干噪比和幀周期的情況下，源節點發射時的最大數據率為

經過多址階段和廣播階段的多用戶干擾以后，源節點k到目的節點k′的吞吐量為

把式(18)和式(25)代入上式，并應用近似關系λI≈ λk/β，可得

在式(28)中，幀周期Ts與可靠通信所需要的信干噪比β是2個可以優化的參數，通過交替優化的方法可以得到它們的聯合最優解。

首先，固定β，這時可以看出Rt是Ts的三次函數，存在一個極小值和一個極大值。使Rt對Ts的導數等于零，可以得到使網絡吞吐量最大的幀周期：

其中

然后，把Ts的最優取值代入式(28)，可以看到當2α=時與β有關的項為lb(1+β)/β，當4α=時與β有關的項為lb(1+β)/β，由此不難導出β的最優值為

把式(29)和式(30)的結果代入式(28)，可以得到從源節點k到目的節點k′的最大吞吐量為

其中，u和v的定義與式(29)中相同，而

當dk=d′k時，可以得到最優幀周期Ts,opt和最大吞吐量Rt,max的更簡單的表達式：

其中，φT(GS)與φR(GS)是2個與擴頻增益GS有關的函數，由式(23)可知，當信道時延擴展和脈沖寬度不變時，它們是2個定值。

下面，一一分析上述優化設計的結果，從而給出設計實際系統傳輸方案以及相關參數的準則。

根據式(30)的結果可見，當路徑損耗因子2α=時，可靠通信所需要的信干噪比選得越低越好，即這時最好采用低碼率的糾錯編碼、二進制的調制方式、以及較長的擴頻序列。而當路徑損耗因子4α=時，最優的接收信干噪比為6 dB（即β=3.92），這是一般非擴頻通信系統的典型工作點[21]。

從式(32)可以看出幀周期的最優取值與其他參數的關系。當2α=時，Ts,opt與信干噪比β成正比，因為β趨于零時網絡的吞吐量最大，所以幀周期的取值也應該盡量的小；當α=4時，Ts,opt與成正比，因為這時β最優值為3.92，把其他參數代入式(32)可以得到幀周期的最優取值。不管α=2還是α=4，Ts,opt與用戶數目K、脈沖寬度Tp、以及(dk/D)2都是正比的關系，因為Ts/ Tp=Ns是幀周期里的時隙個數，隨著用戶數的增多，Ns也應該線性增長，這樣才能降低用戶之間的碰撞概率和相互干擾。在其他參數不變的情況下，幀周期應該隨距離的平方增長，因為距離越遠的用戶接收功率越小，越容易受到其他用戶的干擾，增加幀周期可以降低這些用戶被干擾的概率。

網絡的最大吞吐量是在幀周期和接收信干噪比都取最優值時得到的。從式(33)可以看出，Rt,max與K、Tp、以及(dk/D)2成反比。這說明一個中繼同時服務的用戶數目直接影響通過它進行轉發的一對節點間可能達到的數據率。而節點與中繼的距離也會以平方律的關系影響可達數據率。

當部署一個實際的超寬帶中繼網絡時，已知節點的數目、各節點的活動范圍、所采用的超寬帶脈沖寬度以及信道時延擴展，就可以計算出各對節點間所能達到的最高數據率。如果計算結果不能滿足實際網絡的性能需求，就應該考慮重新劃分網絡拓撲，通過采用更多的中繼節點等措施，來提高網絡的吞吐量。

4 仿真驗證

本文通過采用較為實際的信道模型進行仿真，來驗證3.1節和3.2節中推導的多址階段和廣播階段中斷概率的正確性。

設源節點和目的節點均勻分布在以中繼為中心、半徑D=1 000m的圓內。期望用戶，即多址階段的源節點k和廣播階段的目的節點k′，距中繼的距離dk=dk′=100m。考慮期望用戶的接收信噪比為10dB，可靠通信所需要的信干噪比為4dB，因此歸一化干擾功率容限為λI=0.3λk，λI′=0.3λk′。發射脈沖寬度Tp=1 ns，幀周期Ts=100 ns。采用IEEE 802.15.4a信道模型中的“CM2”環境（居民區非直射路徑）來產生多徑信道響應[22]，所產生信道的多徑時延擴展為τRMS=10ns。

圖2和圖3分別給出了通過理論計算和仿真得到的多址階段和廣播階段的中斷概率隨節點個數的變化情況。考慮節點數目從3增加到100，對路徑損耗因子為2和4這2種情況分別得到了數值和仿真結果。

從圖中可以看出，對于多址階段期望用戶的中斷概率而言，理論推導與仿真的結果幾乎完全重合；而對廣播階段的中斷概率而言，理論推導與仿真結果略有偏差，但基本趨勢完全一致。這些結果驗證了本文對中斷概率推導的正確性，也表明在推導過程中所引入的幾處近似對分析結果影響不大。

圖2 多址階段用戶的中斷概率

圖3 廣播階段用戶的中斷概率

另外，對于多址階段，從式(18)可以看出，由于預均衡的作用，多徑時延擴展的大小不影響多址階段的中斷概率，并且α=2時的中斷概率總大于α=4時的中斷概率。對于廣播階段，從式(25)可以看出，當α=2時，中斷概率也不受多徑時延擴展的影響，這時隨機擴頻增益與時間沖突概率的影響互相抵消；當α=4時，多徑時延越大中斷概率也越大，并且可能大于α=2時的值。

5 結束語

本文研究了基于空時聚焦傳輸的超寬帶中繼系統的性能。當多個源節點和多個目的節點共用一個中繼節點進行通信時，源節點的發射端采用單用戶預均衡方案、中繼節點的發射端采用多用戶時間反演方案，可以降低中繼節點的計算負擔并保證良好的通信性能。在這種多源單中繼模式下，多用戶干擾是影響網絡吞吐量的關鍵因素。本文首先推導了多址階段和廣播階段用戶的中斷概率，然后導出了從源節點到目的節點可達數據率的解析表達式。對可達數據率進行分析，揭示了用戶數、脈沖寬度、源節點和目的節點到中繼節點的距離、節點分布的范圍等與可達數據率之間的內在聯系，從而提供了在不同信道環境下設計發射信號幀周期、編碼調制方式以及擴頻碼長度的準則。

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