基于凸組合的同步長最大均方權值偏差自適應濾波算法

芮國勝，苗俊，張洋，王林

(1.海軍航空工程學院 電子信息工程系，山東 煙臺 264001；2.海軍航空工程學院 研究生管理大隊，山東 煙臺 264001)

1 引言

系數比例自適應(PNLMS, proportionate NLMS)算法[1～3]是近年來發展起來的一種快速收斂算法。該算法在處理稀疏特性信道時具有較快的收斂速度，其收斂性能優于傳統的NLMS濾波器，但在處理非稀疏特性信道時，與NLMS算法相比其收斂速度較慢。為此，文獻[4]提出了一種IPNLMS算法改善了這種情況下的收斂速度，但它需要預先確定一個決定算法的行為參數，給實際應用帶來不便。當信道沖激響應為時變時（如電話會議中的聲學回聲消除器[2]，微波通信信道的均衡等），IPNLMS算法性能急劇下降，其實用性大打折扣。針對這一情況，本文基于濾波器的凸組合的思想[5～7]，提出了一種同步長的NLMS和PNLMS凸組合算法。該算法是基于每步迭代中，使得均方權值偏差(MSD, mean square deviation)的下降達到最大，提高了算法的收斂速度及其在時變信道環境下的跟蹤性能。為了保證系統的穩態性能、減少系統的失調，NLMS濾波器步長應與PNLMS濾波器步長保持一致。仿真結果表明：該算法具有良好的收斂性能和跟蹤性能，具有實用價值。

2 組合濾波器算法

組合濾波器的原理如圖1所示。

圖1 組合濾波器的原理

圖1中，ω1(n)、ω2(n)、ω0(n)分別為PNLMS濾波器、NLMS濾波器和未知系統的權向量；y1(n)、y2(n)分別為2個濾波器的輸出；e1(n)、e2(n)分別為2個濾波器產生的誤差；λ(n)為組合算法的組合系數；y(n)為整個濾波器的等效輸出；e(n)為濾波器等效誤差，濾波器的長度為L。

算法采用2個同步長的PNLMS濾波器、NLMS濾波器的并聯凸組合形式，其核心思想在于：PNLMS濾波器能保證處理稀疏沖激響應時的快速特性；而另一個NLMS濾波器則保證處理非稀疏沖激響應時的優良特性，濾波器組可根據均方權值偏差MSD大小設定不同的組合參數 λ(n)的值，并以此調整2個濾波器的權重，使其根據信道環境變化發揮不同濾波器的優勢。

組合算法采用PNLMS濾波器和NLMS濾波器凸組合的方式得到等價權值向量：

其中，組合系數λ(n)∈(0,1)，并定義其取值函數為

由此可得等價輸出項與誤差項的表達式：

組合系數λ(n)中的參數a(n)通過使整個自適應濾波器的均方權值偏差MSD下降最大為自適應準則，則a(n)的更新式（見附錄1）為

需要注意的是，a( n)∈[-a+,a+]，以保證λ(n )∈[1-λ+,λ+]，其中，λ+=sgm(a+)是接近于1的常數，即

其中，ε為一個很小的正常數。

3 組合濾波器算法的均方性能分析

在進行算法性能分析前，首先提出如下假設[5]。

1) 期望響應d(n)與輸入向量x(n)間符合如下線性衰減模型：

其中，ω0為長度為M的未知權向量；e0(n)為方差為的獨立建模觀測噪聲。

2) 初始權向量ω1(0)、ω2(0)與初始參數a(0)對于任意n值獨立于{x(n),d(n),e0(n)}。

3) E[x(n)]=0，E[x(n)xT(n)]=R，E[d(n)]=0，E[e0(n)]=0。

4) 步長μ和e(n)，x(n)，v(n)均相互獨立。

5) 輸入信號是平穩隨機信號，║x(n)║2可用來估計。

為了討論方便，現分別對單個濾波器與組合后的濾波器定義如下符號與附加參數值。

1) 濾波器的權向量誤差項為

2) 先驗誤差項為

3) 后驗誤差項為

濾波器的性能通常用額外均方誤差(EMSE)來衡量，將它定義為濾波器在工作過程中除最小均方誤差外的額外誤差項。分析算法的穩定性能時，通常假設學習迭代次數n取其極限值∞，由于誤差項e(n)滿足如下表達式：

因此，各濾波器的EMSE可由下式得到：

同時為分析凸組合后系統性能，定義基于先驗誤差項的交叉EMSE表達式如式(14)所示：

由定義式(14)與Cauchy-Schwartz不等式可得出如下結論：交叉項EMSE不會同時高于單個濾波器的EMSE。即

3.1 組合濾波器的穩態EMSE

組合濾波器的誤差項e(n)，可由式(3)減去d(n)得到：

其中，ei=d(n)–yi(n)。同理，得到組合濾波器的先驗誤差項ea(n)：

組合參數λ(n)和局部濾波器的先驗誤差交叉項的出現，以及更新參數a(n)在λ(n)中是非線性的，使得式(18)難以準確估計。但存在如下2種情況，使得Jex(∞)可被簡化估計。

由此不難得出如下結論，不管在什么樣的條件，檢測穩態值E{a(n)}是否趨于某個常數是很重要的，接下來將對組合參數的穩態性能進行分析。

3.2 組合參數的穩態性能分析

組合參數a(n)的更新式為式(5)，對等式的兩邊取期望：

需要注意的是，對式(5)取期望并對算子進行取值限定，因而是一個近似式。這種近似是合理的，因為a(n)在被限定之前，大于a+或小于-a+是有可能的，為了使a(n)更加接近±a+，縮小因子λ(n)[1-λ(n)]就顯得尤為重要。

將式(21)轉化為組合參數的先驗誤差形式（見附錄2）：

假設：穩態時λ(n)獨立于2個濾波器的先驗誤差，則當n→∞，由式(22)得到：

其中，ΔJi=Jex,i(∞)-Jex,12(∞),i=1,2表示單個濾波器的EMSE與交叉EMSE的相差程度。

從式(23)中可以看出，E{a(n)}的極限值依賴于ΔJi, i=1,2的值。由式(14)可知這2個值不可能同時都小于零，考慮以下這3種情況：

情況1 如果Jex,1(∞)≤Jex,12(∞)≤Jex,2(∞)，那么ΔJ1≤0,ΔJ2≥0。因為λ(n)∈[1-λ+,λ+]，那么E{λ(n)[1-λ(n )]2}和E{λ(n)2[1-λ(n)]}均小于λ+(1-λ+)2。則可得：

當n→∞時，

其中，C =λ+(1-λ+)2(ΔJ2-ΔJ1)為一正常數。因此，對于式(21)的唯一有效極限點為a(∞)=a+，則有

情況2 如果Jex,1(∞)≥Jex,12(∞)≥Jex,2(∞)，那么ΔJ1≥0,ΔJ2≤0。同理得：

當n→∞時，

其中，C =λ+(1-λ+)2(ΔJ1-ΔJ2)為一正常數。因此，對于式(21)的唯一有效極限點為a(∞)=-a+，則有

情況3 如果Jex,12(∞)＜Jex,i(∞),i =1,2，則有ΔJi＞0,i =1,2。式(21)的極限點可以通過式(26)描述。

當n→∞時，

由式(27)得：

由式(18)，得到：

將式(27)未加限定代入式(29)，得

又因為1-λ+＜(∞)＜λ+＜1，ΔJi=Jex,i(∞)-Jex,12(∞)，所以就有

即有Jex(∞)＜min{Jex,1(∞),Jex,2(∞)}。

4 計算復雜度分析

以每次迭代時的乘法操作數來衡量組合算法的計算復雜度。依照式(22)可知，更新a(n)需要13個乘法操作，依照式(5)、式(16)的備注式知，更新ea1(n)需要2L2+3L+3個乘法操作，更新ea2(n)需要3L+3個乘法操作。實際上根據Sigmoid函數計算λ還需要一些額外的計算量，但可以用查表的方式實現[8]。因此，該組合算法的計算復雜度為2L2+6L+19。

5 計算機模擬實驗

5.1 仿真設置

為了進一步驗證所提出組合算法的收斂性能與跟蹤性能，現將組合算法與NLMS算法、PNLMS算法和IPNLMS算法應用于信道均衡的仿真分析，并分別對這4種算法進行N次獨立仿真實驗，求取統計平均值。同時，為能夠客觀比較系統失調等性能參數，4種算法的參數均選用文獻[4,9,10]中討論過的相對最優參數，見表1。

表1 模擬實驗參數設置

根據仿真需求定義向量ω的稀疏度ξ(ω)[1]：其中，N'是向量ω的長度，║ω║1表示向量的L1范數，║ω║2表示向量的L2范數。需要說明的是，本文根據稀疏度ξ的大小將信道特性分為3類：稀疏信道(ξ≥0.6)，非稀疏信道(ξ＜0.2)和模糊態信道(0.2≤ξ＜0.6)[11]。

5.2 仿真結論

第一組仿真實驗比較了稀疏信道特性(稀疏度ξ=0.927)時，4種算法的初始收斂速度。仿真采用PN碼作為輸入的訓練序列，干擾信號是與輸入信號不相關的白噪聲，仿真結果如圖 2所示。從圖2中可以看到，在相同的全局步長參數條件下，PNLMS算法比 NLMS、IPNLMS算法收斂速度有很大改善，同時PNLMS的穩態失調有所改善。此時，所提及組合算法與PNLMS算法有相同的初始收斂速度，同時它們的穩態失調也相近。

圖2 (信道稀疏)4種算法的初始收斂速度比較

第二組仿真實驗比較了非稀疏信道特性(稀疏度ξ=0.102)時，4種算法的初始收斂速度。信道特性為非稀疏，其他仿真條件與第一組仿真相同，仿真結果如圖3所示。從圖3中可以看到，在相同的全局步長參數條件下，NLMS的收斂速度優于PNLMS、IPNLMS算法，同時穩態失調也有所改善。此時，所提及組合算法與NLMS有相同的初始收斂速度，同時它們的穩態失調也相近。

第三組仿真實驗比較了模糊態信道特性(稀疏度ξ=0.443)時，4種算法的初始收斂速度。信道特性為介于稀疏與非稀疏的模糊態，其他仿真條件與第一組仿真相同，仿真結果如圖4所示。從圖4中可以看到，在相同的全局步長參數條件下，起初PNLMS算法的收斂速度優于 NLMS、IPNLMS算法，迭代至450步左右，NLMS算法的收斂速度開始優于PNLMS算法直至穩態，在此過程中IPNLMS算法和所提及組合算法都表現出了較好的收斂速度和穩態失調度，尤其是所提及組合算法性能明顯優于其他幾種算法。由此得出結論，不論信道特性如何變化，所提及組合算法總能“智能”表現出比較適合信道均衡的自適應濾波算法。

圖3 (信道非稀疏)4種算法的初始收斂速度比較

圖4 (信道模糊態)相關算法的初始收斂速度比較

另外，為比較算法的跟蹤性能，令信道模型參數在迭代進行至1 500步時同時發生變化，由模糊態轉化為非稀疏狀態，得到 NLMS算法、PNLMS算法、IPNLMS算法與組合算法的學習曲線，如圖5所示。

從圖 5可以看出，仿真前半部分(信道模糊態)收斂過程的初始階段，組合算法和PNLMS算法的收斂速度明顯快于NLMS、IPNLMS算法；在收斂過程進入穩態階段后，組合算法又繼承了NLMS、PNLMS和IPNLMS算法低穩態誤差優點。仿真后半部分(信道非稀疏)收斂過程的初始階段，組合算法和NLMS算法的收斂速度明顯快于PNLMS算法；在收斂過程進入穩態階段后又繼承了NLMS、PNLMS和IPNLMS算法低穩態誤差優點，在穩態性能上優于PNLMS。因為新算法對組合參數進行了限幅，這樣極大地縮小了系統漸進穩態的過渡過程。同時在系統參數發生變化時，所提及組合算法也表現出較好的跟蹤性能。

圖5 4種算法的跟蹤能力

6 結束語

同步長凸組合MMSD算法在凸組合思想的基礎上，以最大均方權值偏差為準則，解決了時變環境的情況下，自適應濾波器的收斂速度及其跟蹤性能差的問題。為了保證系統的穩態性能、減少系統的失調，NLMS濾波器步長應與PNLMS濾波器步長保持一致。理論推導證明和仿真結果驗證了算法的收斂性能與穩態均方性能。

附錄1

因為

v(n+1)=v(n)+λ(n)p1+[1-λ(n)]p2，則有

所以，

得證。

附錄2

由式(21)到式(22)的推導：

[1] HUANG Y, BENESTY J, CHEN J. Sparse Adaptive Filters in Acoustic MIMO Signal Processing[M]. NJ, USA: Springer-Verlag, 2005.28-32.

[2] DUTTWEILER D L. Proportionate normalized least-mean-squares adaptation in echo cancellers[J]. IEEE Transactions on Speech Audio Processing, 2000, 8(5):508-518.

[3] MARTIN R K, SETHARES W A, WILLIAMSON R C. Exploiting sparsity in adaptive filters[J]. IEEE Transactions on Signal Processing,2006, 50(8):1883-1894.

[4] BENESTY J, GAY S L. An improved PNLMS algorithm[A]. Proceedings of IEEE International Conference on Acoustic, Speech and Signal Processing (ICASSP’02)[C]. Orlando, USA, 2007.1881-1884.

[5] ARENAS-GARCIA J, FIGUEIRAS-VIDAL A R, SAYED A H.Mean-square performance of a convex combination of two adaptive filters[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2006, 54(3):1078-1090.

[6] ZHANG Y G, CHAMBERS J A. Convex combination of adaptive filters for a variable tap-length LMS algorithm[J]. IEEE Transactions on Signal Processing Letters, 2008, 13(10):628-631.

[7] KOZAT S S, ERDOGAN A T, SINGER A C. Steady-state MSE performance analysis of mixture approaches to adaptive filtering[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2010, 58(8): 4050-4063.

[8] ARENAS-GARCIA J, GOMEZ-VERDEJO V, FIGUEIRAS- VIDAL A R. New algorithms for improved adaptive convex combination of LMS transversal filters[J]. IEEE Transactions on Instrumentation Measurement, 2005, 54(6): 2239-2249.

[9] 于霞, 劉建昌, 李鴻儒. 一種變步長凸組合自適應濾波器及其均方性能分析[J]. 電子學報, 2010, 38(2):480-484.YU X, LIU J C, LI H R. A convex combination of variable step-size adaptive filter and its mean-square performance analysis[J]. Acta Electronica Sinica, 2010, 38(2):480-484.

[10] 劉立剛, Fukmoto Masahiro, 張世永. 一種變步長 Proportionate NLMS自適應濾波算法及其在網絡回聲消除中的應用[J]. 電子學報, 2010, 38(4):973-978.LIU L G, MASAHIRO F, ZHANG S Y. A variable step-size proportionate NLMS adaptive filtering algorithm and its application in network echo cancellation[J]. Acta Electronica Sinica, 2010, 38(4):973-978.

[11] LIU L G, MASAHIRO F, ZHANG S Y. A variable parameter improved proportionate normalized LMS algorithm[A]. IEEE Asian Pacific Conference on Circuits and Systems (APCCAS’08)[C]. Macau,China, 2008.201-204.