相干寬帶線性調(diào)頻信號的波達方向估計新方法

羅蓬，劉開華，于潔瀟，馬永濤

（天津大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，天津 300072）

1 引言

線性調(diào)頻（LFM, linear frequency modulation）信號在雷達、聲納、通信等信息系統(tǒng)中有著廣泛的應(yīng)用，針對這類信號的波達方向（DOA, direction of arrival）估計問題也日益受到人們的重視。由于LFM信號具有寬帶非平穩(wěn)的特性，其陣列方向矩陣與時間相關(guān)，因此常規(guī)的子空間算法不再適用于這類信號的DOA估計。近年來，將信號的時頻特征和空域信息相結(jié)合的時頻空算法成為該領(lǐng)域一個研究熱點。沿著這個方向已經(jīng)出現(xiàn)了一些研究成果[1～3]，其中以國內(nèi)學(xué)者陶然、齊林等提出的基于分數(shù)階Fourier變換（FrFT, fractional Fourier transform）的LFM信號DOA估計方法[4～6]最受關(guān)注。由于FrFT是一種線性變換，不受交叉項的干擾，而且可以理解為LFM基分解[7]，因此在對LFM信號的處理上比其他時頻變換方法更有優(yōu)勢。

傳統(tǒng)的基于FrFT的估計方法利用LFM信號在特定的分數(shù)階 Fourier域上達到能量聚集的特點，提取陣列上各入射信號的 FrFT峰值組成空間時頻分布矩陣，然后結(jié)合MUSIC、ESPRIT等信號子空間算法實現(xiàn)DOA估計。然而，在相干信號情況下，由于各LFM信號的參數(shù)相同，因此在分數(shù)階Fourier域峰值提取過程中很難區(qū)分不同的入射信號，導(dǎo)致DOA估計困難。文獻[8]和文獻[9]分別將前/后向空間平滑以及矩陣重構(gòu)技術(shù)引入分數(shù)階 Fourier域，實現(xiàn)相干LFM信號的DOA估計。但是上述方法僅選取各陣元上的FrFT峰值點數(shù)據(jù)參與DOA估計的運算，數(shù)據(jù)利用率較低，導(dǎo)致算法的穩(wěn)定性和抗噪聲畸變的能力降低。

本文對LFM信號在2個特殊的分數(shù)階Fourier域上的時頻特性進行了深入研究，提出了一種相干寬帶LFM信號的DOA估計新方法。該方法在相干LFM信號的解線調(diào)域上建立起新的陣列數(shù)據(jù)模型，并結(jié)合 Toeplitz矩陣重構(gòu)以及 MUSIC算法實現(xiàn)DOA估計。若同時存在多組相干LFM信號入射，則首先在不同的能量聚集域上將各信號組分離，然后逐一進行各組內(nèi)相干信號的DOA估計。該方法充分地挖掘了觀測信號所包含的時頻信息，增加了可檢測的DOA數(shù)目，提高了算法的分辨性能和抗噪聲性能。另外，由于該方法未采用空間平滑類解相干算法，因此不受陣列流型的限制，且無冗余陣元與孔徑損失。通過分析可知，當存在 G個相干LFM信號組時，使用M陣元的陣列最多可估計出的DOA數(shù)目多達G(M-1)個。文章的最后給出了該方法的實施步驟，并通過仿真實驗驗證了其良好的估計性能。

2 LFM信號的解線調(diào)域和能量聚集域FrFT分析

一個單分量LFM信號可以表示為

其中，a0、φ0、f0和μ0分別代表信號的幅度、初相、中心頻率以及調(diào)頻率。一個有限長 LFM 信號在時頻平面上呈現(xiàn)斜直線的背鰭形分布[10]，且直線的斜率等于信號的調(diào)頻率，如圖1所示。

圖1 有限長LFM信號的WVD

一個信號x(t)的旋轉(zhuǎn)角度為α的FrFT定義為

其中，p為FrFT的階，可以為任意實數(shù)，α = pπ/2，Kα(t, u)為變換核函數(shù)，有

FrFT可以被解釋為時頻平面上的旋轉(zhuǎn)算子，即一個信號的FrFT的WVD是原信號WVD的坐標旋轉(zhuǎn)形式[7]。

對于圖 1，隨著坐標軸的不斷旋轉(zhuǎn)，存在 2個特殊的分數(shù)階 Fourier域，在這 2個域中，該LFM 信號的 WVD分別呈現(xiàn)水平分布和垂直分布。這2個分數(shù)階Fourier域分別定義為該LFM信號的解線調(diào)域和能量聚集域，相應(yīng)的FrFT變換角度分別為

根據(jù)文獻[11]給出的結(jié)論，式(1)給出的LFM信號的FrFT為

將LFM信號的解線調(diào)域FrFT變換角度代入上式并化簡，得

其中

為一個常數(shù)。通過上式可知，對一個LFM信號進行解線調(diào)域FrFT，可以將該信號解調(diào)為一個單頻信號，且該信號的頻率為

將LFM信號的能量聚集域FrFT變換角度代入式(6)，并根據(jù)極限

化簡可得

其中

為一個常數(shù)。通過上式可知，對一個LFM信號進行能量聚集域FrFT，將得到一個沖擊脈沖，且該脈沖的位置為

另外，由于αd和αe存在關(guān)系

根據(jù)FrFT的旋轉(zhuǎn)可加性，有以下等式成立

即LFM信號的解線調(diào)域FrFT和能量聚集域FrFT之間存在一個Fourier變換的關(guān)系。

3 提出的相干LFM信號DOA估計方法

3.1 陣列模型和基本假設(shè)

假設(shè)均勻線陣（ULA, uniform linear array）由M個各向同性陣元組成，陣元間隔為d，將第一個陣元設(shè)為參考陣元。遠場有G組相干LFM信號入射到陣列上，其中，第i個信號組包含gi路相干LFM信號，其波達方向分別為{θi1, θi2, …, θigi}，該信號組可以看作是由同一信源經(jīng)過不同的路徑衰減產(chǎn)生，其表達式為

其中

可見，相干信號組內(nèi)的各LFM信號具有相同的調(diào)頻率和中心頻率，即在時頻面上的分布相同。于是，第m個陣元上的觀測信號可以表示為

其中，nm(t)表示第m個陣元上的噪聲。表示第i組第k個LFM信號在第m個陣元和參考陣元之間的傳播延時，即

對式(19)所示的陣列模型做出以下幾點假設(shè)：

1) 各相干LFM信號組si(t), i=1, 2, …, G之間相互獨立；

2) 相干LFM信號組內(nèi)的各路信號僅有幅度和相位的差別，即路徑衰減量cik為常數(shù)。組內(nèi)的相干LFM信號個數(shù)不超過陣元個數(shù)，即gi＜M；

3) 各陣元上的噪聲是加性高斯白噪聲。不同陣元上的噪聲互不相關(guān)，噪聲與信號也互不相關(guān)。

3.2 相干LFM信號組內(nèi)的DOA估計

以第i個相干LFM信號組為例，組內(nèi)第k個LFM信號在參考陣元上的輸出為

對sik(t)進行角度為αd=arctanμi的解線調(diào)域FrFT將得到

其中

由于 LFM 信號經(jīng)過延時后調(diào)頻率不變，因此延時信號的解線調(diào)域變換角度也保持不變。根據(jù)FrFT的時移性質(zhì)[11]：

因此式(25)可以化簡為

比較式(22)和式(27)，可得第k個LFM信號在參考陣元和第 m個陣元上的解線調(diào)域輸出之間的關(guān)系：

其中

將整個陣列的解線調(diào)域時頻輸出表示為向量形式：

其中

為第i組相干LFM信號的解線調(diào)域FrFT向量，通過前面的分析可知，該組相干 LFM 信號已被解調(diào)為一組相干單頻信號。Ai為 M ×gi維的解線調(diào)域方向矩陣，具有以下形式：

其中

為了實現(xiàn)組內(nèi)各條路徑上的DOA估計，定義如下的相關(guān)函數(shù)：

其中，Ai(m), m=1, 2, …, M為方向矩陣Ai的第m行的所有元素。對于上式，當m由1變到M時，由這M個相關(guān)函數(shù)構(gòu)成如下形式的相關(guān)矩陣

可以看出，Ri是MM×階的Hermitian Toeplitz矩陣，包含了信號組內(nèi)全部gi個相干信號的信息。對Ri進行特征值分解，得到噪聲子空間對應(yīng)的特征向量矩陣 UN，然后構(gòu)造如下的 MUSIC空間譜函數(shù)：

對上式進行一維譜峰搜索，即可實現(xiàn)第i個相干LFM信號組內(nèi)各條路徑上的DOA估計。

3.3 不同相干LFM信號組的分離

上一節(jié)給出了相干LFM信號組內(nèi)的DOA估計方法，本節(jié)主要討論多個相干 LFM 信號組之間的分離方法。根據(jù)式(19)可知，參考陣元上的觀測信號可以表示為

其中

為第i個相干信號組在參考陣元上的輸出，顯然該輸出也是一個LFM信號。對式(37)進行連續(xù)變化階次的 FrFT，形成觀測信號在參數(shù)(α, u)平面上的二維能量譜，對該能量譜進行譜峰搜索，即可獲得各相干LFM信號組的能量聚集域變換角度αi以及譜峰坐標ui。

記式(37)的關(guān)于角度 αi的 FrFT為 Xαi(u)，根據(jù)前面的分析，在第i組相干LFM信號的能量聚集域，該信號組呈現(xiàn)出明顯的尖峰，其他各組信號的能量分布則較為分散。在此分數(shù)階Fourier域上，以尖峰位置ui進行遮隔處理，即使Xαi(u)通過一個中心頻率為ui的窄帶濾波器，通過適當?shù)剡x擇濾波器的帶寬L，即可實現(xiàn)參考陣元上第i個相干LFM信號組的分離。此過程如圖2所示。

圖2 相干LFM信號組的能量聚集域分離

在參考陣元之外的各個陣元上，由于延時不改變 LFM信號的調(diào)頻率，因此各信號組的能量聚集域變換角度也保持不變，仍可按前述之方法對各信號組進行分離。需要注意的是，由于組內(nèi)各 LFM信號的入射角各不相同，因此它們的陣元延時也不相同，導(dǎo)致它們在能量聚集域的譜峰位置不再嚴格聚集于一點，此時需要對濾波器的寬度L進行調(diào)整，以保證完整分離出組內(nèi)的所有信號。

利用上述方法，可以從各陣元上的觀測信號中分離出某一相干 LFM 信號組，得到該組信號的能量聚集域陣列輸出。利用式(15)，將該輸出轉(zhuǎn)化到解線調(diào)域，繼而可以通過3.2節(jié)的方法實現(xiàn)組內(nèi)各條路徑上的DOA估計。通過上述分析可知，當存在G個相干LFM信號組時，使用M陣元的陣列最多可估計出的DOA數(shù)目為G(M-1)個。

3.4 算法的實施步驟和細節(jié)

總結(jié)以上的分析，將算法的主要步驟歸納如下：

1) 對參考陣元上的接收信號進行連續(xù)變化階次的 FrFT，并對(α, u)平面做二維搜索，通過譜峰個數(shù)估計出相干信號組的個數(shù)，并記錄各信號組對應(yīng)的譜峰位置(αi, ui)；

2) 取各個陣元上接收信號的關(guān)于αi的FrFT，以譜峰點為中心，利用長度為L的帶通濾波器進行濾波，并對濾波后的數(shù)據(jù)進行FFT，得到陣列上的一組相干單頻信號數(shù)據(jù)；

3) 構(gòu)造式(35)所示的相關(guān)矩陣，并對其進行特征值分解，利用所得的噪聲子空間特征向量矩陣構(gòu)造MUSIC空間譜函數(shù)Pi(θ)；

4) 對Pi(θ)進行一維譜峰搜索，即可估計出第i個相干LFM信號組內(nèi)各條路徑上的DOA；

5) 重復(fù)步驟2)～步驟4)，直至估計出所有信號組所包含的相干LFM信號的DOA；

6) 若只有一組相干LFM信號入射，則直接對各陣元上的觀測數(shù)據(jù)進行解線調(diào)域FrFT，然后利用步驟3)～步驟4)實現(xiàn)各相干信號的DOA估計。

另外，在上述譜峰搜索過程中采用“粗掃描+細掃描”的二階搜索方法，可以大大減少算法的運算復(fù)雜度。

4 仿真實驗

實驗 1 對 LFM 信號的能量聚集域和解線調(diào)域輸出特性進行驗證。構(gòu)造一個LFM信號

其參數(shù)設(shè)置為：f0=15Hz、μ0=30Hz/s、a0=1.5、φ0=0.5π。采樣頻率為500Hz，快拍數(shù)為401。分別對該信號進行能量聚集域和解線調(diào)域 FrFT，圖3為該信號在時域以及上述2個分數(shù)階Fourier域的輸出波形。

從圖3可以看出，該LFM信號在2個分數(shù)階Fourier域上具有良好的能量聚集特性和解線調(diào)特性。本實驗的結(jié)果驗證了前文中的相關(guān)結(jié)論，是整個DOA估計方法的前提和基礎(chǔ)。

圖3 LFM信號在時域、能量聚集域和解線調(diào)域的輸出

實驗2 相干寬帶LFM信號的DOA估計實驗。假設(shè)ULA由10個陣元組成，陣元間隔d=5。遠場存在2個相互獨立的等幅寬帶LFM信號源，其參數(shù) 分 別 設(shè) 置 為 ： f1=12MHz 、 μ1=1MHz/μs、f2=-8MHz、μ2=-0.7MHz/μs。2個信源各產(chǎn)生了 3個相干信號，入射角分別為：θ1=[40°,60°,140°]，θ2=[30°,90°,145°]。采樣頻率為 100MHz，快拍數(shù)為 501，陣元噪聲為10dB的高斯白噪聲。圖4為參考陣元上觀測信號的連續(xù)變化階次FrFT的二維掃描譜。

圖4 入射信號的二維FrFT掃描譜

從圖4中可以看出，在(p, u)平面上有2個明顯的譜峰，分別對應(yīng)于2個LFM信號組。分別構(gòu)造這 2組相干 LFM 信號在各自的解線調(diào)域上的MUSIC空間譜，如圖5所示。

圖5 相干LFM信號的MUSIC空間譜

對圖5(a)和圖5(b)所示的2個譜函數(shù)做關(guān)于角度θ的一維譜峰搜索，選擇掃描步長為0.01°，得到2組入射信號的DOA估計為：=[39.46°,59.78°,140.12°]，=[29.16°,89.98°,145.35°]。

實驗 3 本文方法和傳統(tǒng)方法的性能對比實驗。采用8陣元ULA，3個相干LFM信號入射到該陣列上，入射角設(shè)置為：θ =[50°,90°,140°]。在其他條件均相同的前提下，比較本文方法和文獻[9]提出的基于能量聚集域 FrFT以及矩陣重構(gòu)解相干的寬帶LFM信號DOA估計方法的性能。圖6給出了上述2種方法的MUSIC空間譜。

圖7和圖8分別給出了2種方法的DOA估計成功概率以及均方根誤差（RMSE, root mean square error）隨信噪比變化的曲線。所有仿真結(jié)果均為100次獨立實驗的平均。

由于本文方法利用了解線調(diào)分數(shù)階 Fourier域上的全部觀測數(shù)據(jù)參與 DOA估計的運算，與傳統(tǒng)的基于FrFT峰值提取的算法相比，該方法對觀測數(shù)據(jù)的利用更加充分，獲得了一定的性能改善。通過圖6～圖8可以看出，相比于傳統(tǒng)估計方法，本文方法具有更好的空間分辨性能和更低的信噪比門限。在DOA估計的RMSE相同時，與傳統(tǒng)方法相比，本文方法可獲得8dB左右的信噪比增益。

圖6 本文方法和傳統(tǒng)方法的估計結(jié)果

圖7 DOA估計的成功概率隨信噪比的變化曲線

圖8 DOA估計的均方根誤差隨信噪比的變化曲線

5 結(jié)束語

本文提出了一種基于FrFT的相干寬帶LFM信號DOA估計新方法。該方法利用陣列信號在2個特殊的分數(shù)階Fourier域上的時頻特性，實現(xiàn)了對不同的相干 LFM信號組的分離和各組內(nèi)的DOA估計。相比于傳統(tǒng)方法，本文方法對陣列數(shù)據(jù)的利用更加充分，獲得了更好的空間分辨性能和更低的信噪比門限。另外，該方法無冗余陣元與孔徑損失，并且可以推廣到任意陣列流型。當存在G個相干LFM信號組時，使用M陣元的陣列最多可估計出的DOA數(shù)目達G(M-1)個。最后，仿真實驗的結(jié)果證明了本文方法的良好估計性能。

[1] WEN Z, LI L P, CHEN T Q. Joint multiple parameters estimation for coherent chirp signals using vector sensor array[J]. Science in China,Series F, 2008, 51(1): 93-100.

[2] ZHOU X, SHI Y W, YANG W H. 2-D DOA and polarization estimation of LFM signals with one electromagnetic vector sensor[A]. International Conference on Signal Processing[C]. Beijing, China, 2008.386-389.

[3] 李立萍, 黃克驥. 基于STFT的相干寬帶調(diào)頻信號2-D到達角估計[J].電子與信息學(xué)報, 2005, 27(11): 1760-1764.LI L P, HUANG K J. 2-D DOA estimation of coherent wideband FM signals based on STFT[J]. Journal of Electronics and Information Technology, 2005, 27(11): 1760-1764.

[4] 陶然, 周云松. 基于分數(shù)階傅里葉變換的寬帶 LFM 信號波達方向估計新算法[J]. 北京理工大學(xué)學(xué)報, 2005, 25(10): 895-899.TAO R, ZHOU Y S. A novel method for the direction of arrival estimation of wideband linear frequency modulated sources based on fractional Fourier transform[J]. Transactions of Beijing Institute of Technology, 2005, 25(10): 895-899.

[5] 楊小明, 陶然. 基于分數(shù)階 Fourier變換和 ESPRIT算法的LFM信號2D波達方向估計[J]. 兵工學(xué)報, 2007, 28(12): 1438-1442.YANG X M, TAO R. 2D DOA estimation of LFM signals based on fractional Fourier transform and ESPRIT algorithm[J]. Acta Armamentarii, 2007, 28(12): 1438-1442.

[6] 楊小明, 陶然. 基于分數(shù)階傅里葉變換的線性調(diào)頻信號二維波達方向估計[J]. 電子學(xué)報, 2008, 36(9): 1737-1740.YANG X M, TAO R. 2-D DOA estimation of LFM signals based on fractional Fourier transform[J]. Acta Electronica Sinica, 2008, 36(9):1737-1740.

[7] ALMEIDA L B. The fractional Fourier transform and time-frequency representations[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1994,42(11): 3084-3091.

[8] QU H T, QI L, MU X M. DOA estimation of coherent wideband LFM signals based on fractional Fourier transform[A]. ICICIC 06[C]. Beijing, China, 2006. 6-9.

[9] 劉小河, 王建英, 楊美英. 基于分數(shù)階傅里葉變換的寬帶 LFM相干信號的 DOA估計[J]. 數(shù)據(jù)采集與處理, 2008, 23(5): 547-550.LIU X H, WANG J Y, YANG M Y. DOA estimation of coherent wideband LFM sources based on fractional Fourier transform[J].Journal of Data Acquisition & Processing, 2008, 23(5): 547-550.

[10] 齊林, 陶然, 周思永. 基于分數(shù)階 Fourier變換的多分量 LFM信號的檢測和參數(shù)估計[J]. 中國科學(xué)（E輯）, 2003, 33(8): 749-759.QI L, TAO R, ZHOU S Y. Detection and parameter estimation of multicomponent LFM signal based on the fractional Fourier transform[J].Science in China, Series E, 2003, 33(8): 749-759.

[11] OZAKTAS H M, KUTAY M A, MENDLOVIC D. Introduction to the Fractional Fourier Transform and Its Applications[R]. Department of Computer Engineering and Information Science, Bilkent University,Ankara, 1998.