三邊簡支板格的剪切屈曲分析

王建忠 吳劍國 單魯陽 洪 英

（1.中國聯(lián)合工程公司 杭州310022；2.浙江工業(yè)大學 建筑工程學院 杭州310014；3.中國船級社上海規(guī)范研究所 上海200135）

0 引 言

為了功能上的需求以及減輕結(jié)構(gòu)重量，開孔板被廣泛地應用在船體結(jié)構(gòu)中。而由于開孔會降低板的屈曲承載能力，所以研究開孔對屈曲承載能力的影響很有意義［1］。已有的對船體開孔板格力學性能的研究［2-3］，可以將開孔板孔邊板部分簡化為三邊簡支板格。另外在船體結(jié)構(gòu)中也有很大部分的高腹板構(gòu)件，這些腹板的受剪屈曲性能也可以模擬成三邊簡支板格的均勻受剪情況。這部分板對整個板格的屈曲性能有很大影響，所以有必要對三邊簡支板格的剪切屈曲進行分析。

目前板格屈曲方面的研究趨于成熟，對于三邊簡支板的單向受壓屈曲性能已有研究，但是對于三邊簡支板的四邊受剪屈曲未見報道。本文將利用能量法，如瑞利·利茲法、迦遼金法，分析三邊簡支板在剪切荷載作用下的彈性屈曲荷載，推導出精度較高的三邊簡支板格的剪切屈曲荷載公式，并與有限元的計算結(jié)果進行對比。

1 能量法

1.1 板的總勢能

用能量法求解板的屈曲荷載時需建立板在微彎狀態(tài)時的總勢能?？倓菽堋鞘前宓膽兡躑和外力勢能V之和。

板變形時，微元體上的彎矩、扭矩如圖1所示，則板的應變能可以利用構(gòu)件在微彎時的應變能的計算方法確定：

圖1 微元體上的彎矩和扭矩

外力作用下的矩形板如圖2所示，其外力勢能可利用構(gòu)件由平面到彎曲時外力勢能的計算方法確定：

圖2 外力作用的矩形板

則： ∏=U+V

1.2 均勻受剪三邊簡支板彈性屈曲臨界應力求解

研究如圖3所示的均勻受剪的三邊簡支板格，長為a、寬為b，四邊受剪，剪力為Pxy。

圖3 均勻受剪三邊簡支板格示意圖

通過瑞利·利茲法求解

因為Px=Py=0，均勻受剪矩形板的總勢能∏=U+V，

由于矩形板三邊簡支、一邊自由支持，可假定板的撓曲面函數(shù)：

式中：m為屈曲時沿著板格x軸向邊界的半波數(shù)量，此函數(shù)符合幾何邊界條件。當x=0和x=a時，ω=0；當 y=0 時，ω=0；當 y=b 時，ω≠0。

將（2）中的微分代入（1）中總勢能公式，經(jīng)過積分后可得總能量為：

聯(lián)立上面兩式，因為m為屈曲時沿著板格邊界的半波數(shù)量，而在屈曲時板格只沿著其對角線方向有整數(shù)個半波出現(xiàn)，設在其角對角方向有m′個半波出現(xiàn)，則在計算時要對其沿板格邊界的半波數(shù)量m進行變換，即

一般而言，對于板格屈曲，其第一階模態(tài)的形狀往往最接近于其真實破壞時的形態(tài)。有限元分析結(jié)果顯示板格在第一階模態(tài)時，其對角線出現(xiàn)一個半波，則可定義m′=1；令長寬比α=（其中a為長邊，b為短邊），泊松比v=0.3，經(jīng)過代入簡化，可得彈性屈曲臨界荷載值：

式中：定義 Ks為剪切屈曲系數(shù)，則 Ks=4.5α2-10α+7；

E為材料的彈性模量等于206 000 N/mm2；

因此，可以得到三邊簡支板均勻受剪下的理想彈性屈曲應力和彈性臨界屈曲應力。

其中：t、b分別為板格厚度和邊長，mm；

彈性屈曲臨界應力：

2 有限元法

分析采用的有限元分析軟件是MSC公司的MSC.Marc/Mentat，利用非線性有限元方法分析，可以模擬各種不同的結(jié)構(gòu)布置形式，計算結(jié)果較準確［5］。

2.1 材料性質(zhì)

使用能量法推導的板格屈曲極限計算公式只考慮材料彈性階段的屈曲性能，所以進行有限元分析時定義的材料性質(zhì)也只考慮其彈性階段的屈曲性能。材料參數(shù)：楊氏彈性模量E=206 000 N/mm2，泊松比 v=0.3，最小屈服限 σyd=315 N/mm2。

2.2 邊界條件

板格三邊簡支、一邊自由，如圖4所示。

圖4 板格模型邊界條件

2.3 荷 載

板格四邊承受均布的剪力作用，因為四邊長度都不相同，所以施加在各邊上的荷載必須分別進行計算，計算方法如下：

其中：la和tnet分別為板格的寬和厚；nx和ny分別為板格沿x、y軸向所分單元數(shù)量。因為各個角點只涉及到單面受力，所以當這些荷載加到這四個角點上的時候應該減半。

2.4 有限元分析方法

進行板格的彈性剪切屈曲分析，給板格施加一個小于彈性屈曲臨界荷載的剪力，利用模態(tài)分析方法可以得出板格屈曲的幾個模態(tài)形態(tài)［6］。一般而言，對于板格屈曲，其第一階模態(tài)的形狀（如圖5）往往最接近于其真實破壞時候的形態(tài)，所以取其第一階模態(tài)的特征值，然后利用特征值方法計算出板格的剪切臨界應力。

圖5 板格第一階模態(tài)形貌圖

3 數(shù)據(jù)值驗證結(jié)果及分析

采用MSC.Marc/Mentat有限元軟件，共對15塊不同尺寸、不同厚度的板格進行分析，表1列出了它們的線性有限元臨界應力與彈性屈曲臨界應力的數(shù)值比較。

表1 線性有限元臨界應力與彈性屈曲臨界應力數(shù)值對比

續(xù)表

按上述有限元分析方法對15塊板格模型進行屈曲計算，并與推導的公式計算結(jié)果進行比較（見表1）、定義板格的參考長細比，最終得到板格參考長細比-應力關(guān)系圖，如圖6所示。

圖6 板格參考細比-彈性臨界應力關(guān)系圖

由圖可見，排除線性有限元計算的結(jié)果離散性等因素，推導的公式與有限元線性分析結(jié)果在板格長細比較大的時候吻合較好，普遍誤差在10%～20%。另外，推導的臨界應力公式結(jié)果較有限元線性屈曲結(jié)果小，因為有限元數(shù)值分析在理想狀態(tài)下進行，所以公式推導結(jié)果具有足夠的安全系數(shù)，也可以保證設計的安全性。

4 結(jié) 論

均勻受剪三邊簡支板格的公式推導合理，豐富了板格屈曲的理論研究，得出的結(jié)果在一定范圍內(nèi)具有可信度。不過，公式也存在一定局限性，當板格參考長細比小于1.5時，公式推導結(jié)果在未考慮材料屈服極限的情況下得到的數(shù)值較大，不具有實用性。另外，本次研究采用的是不允許載荷重新分布的屈曲評估方法，得到的是彈性屈曲臨界應力，但目前較多采用的是允許載荷重新分布的屈曲評估方法，得到的是極限屈曲臨界應力，即：其中Cτ定義為屈曲折減因子，針對均勻受剪三邊簡支板格的Cτ有待進一步研究。

［1］PAIK J K.Ultimate Strength of Perforated Steel Plates Under Edge Shear Loading［J］.Thin-walled Structures，2007（46）：301-306.

［2］HARADA M，F(xiàn)UJIKUBO M.Estimation of Buckling and Ultimate Strength of a Stiffened Web Plating With Cutout［C］//Proceedings of the 15th（2005）International Offshore and Polar Engineering Conference.Seoul：ASME，2005.

［3］HARADA M，F(xiàn)UJIKUBO M.Estimation of Buckling and Ultimate Strength of Rectangular Plate With Cutout［C］//Proceedings of the 15th（2005）International Offshore and Polar Engineering Conference.Kitakyushu，Japan：［s.n.］，2002.

［4］陳驥.鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論與設計［M］.5版.北京：科學出版社，2011.

［5］洪英，初艷玲.船體結(jié)構(gòu)屈曲強度評估方法的規(guī)范研究及應用［J］.上海造船，2010（3）：4-8.

［6］鄭巖.MARC 2001從入門到精通［M］.北京：中國水利水電出版社，2003.