考慮樁土滑移的超長樁沉降非線性算法＊

楊明輝，張小威，趙明華

（湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082）

對于超長樁目前尚無明確定義，通常指樁長（z＞50m）較長，基樁承載力主要由樁側阻所提供的樁[1－2]，而隨著我國深厚軟土區（沿海地區及內陸湖區）高層建筑及大型跨江、跨海橋梁工程的大量興建，大量樁基工程樁長已遠遠超出50m的范疇，深度過百m的已不在少數，如蘇通長江大橋百m長樁就有410根[3].超長樁基樁承載力非常高，在正常工作荷載下，僅有部分樁側摩阻力充分發揮，但高層建筑或大型橋梁工程對沉降要求極為嚴格，沉降量往往成為控制超長樁承載能力的首要指標，因此研究超長樁荷載－沉降關系具有重要的工程意義.

合理地模擬超長樁荷載傳遞規律是研究超長樁荷載－沉降關系的關鍵因素.大量研究表明，眾多深厚軟土區超長樁樁周土層由表面硬殼層、淤泥層、軟土層等性質差異巨大的土層組成，在荷載作用下將出現硬化及軟化等不同的屈服特性，且在荷載傳遞過程中，樁與土的變形往往不協調，即出現明顯的樁土滑移現象，鑒于上述原因，導致超長樁的傳力體系十分復雜，目前工程應用一直采用半經驗半理論的方法[4].

針對上述情況，本文在討論超長樁荷載傳遞模型的基礎上，采用剛度矩陣法對超長樁的沉降進行非線性求解，建立了一種可較全面地考慮樁周土體的成層性及非線性、樁土滑移現象的超長樁沉降計算方法，為工程計算提供參考.

1 超長樁樁土界面模型

目前，對于樁土相對位移與樁側摩阻力的關系，大都采用佐滕悟（1965）[5]的線彈性－全塑性數學模型.但如前所述，對于深厚軟土區的土體相互工程性質差異較大，在豎向荷載作用下，將出現應變軟化或應變硬化類型土體，采用線彈性－全塑性數學模型無法準確地描述其特性，因此本文采用三折線進行模擬，樁側摩阻力與樁土相對位移關系如圖1（a）和（b）所示.

圖1 不同類型土體的側阻傳遞曲線Fig.1 Shaft resistance transfer model for different soils

模型表達式如下：

式中：Δw為樁土相對位移，ki1（kPa／mm），τi1（kPa），Δξ1（mm）分別為彈性階段樁側阻力傳遞系數、極限側阻力及其相應的相對位移；ki2，τi2和Δξ2分別為強化（軟化）階段樁側阻力傳遞系數、極限側阻力及相應相對位移.而若相對位移較大（進入強化階段），表明樁土已出現滑移現象.

考慮到樁端土體在承受荷載過程中出現的非線性變形特性，本文采用能夠考慮樁底剛性層影響的雙曲線荷載傳遞模型來近似模擬樁端處土體荷載－位移的非線性關系[6]：

式中：Pb為樁端荷載；υb為樁端土體泊松比；h為樁底至剛性層的距離；r0為樁身半徑；Gb為樁端土體剪切模量；Pt為樁端極限荷載；Rt為雙曲線曲擬合常數.

2 樁土分析的剛度矩陣分析

2.1 樁身總體剛度矩陣

將超長樁視為彈性桿件，按照樁周土層分布情況劃分單元，為保證計算精度，每一土層再根據實際厚度情況劃分為若干單元，至此可將樁身及相應樁周土劃為n個獨立單元，如圖2所示.其中，樁土單元各n個，樁單元節點n＋1個，L為樁長，Li為各樁身單元長度.

圖2 單樁樁土計算模型Fig.2 The element of pile and soil

把外荷載Qi和樁側摩阻力fi作用在n＋1個節點上，由于樁身單元可劃分足夠小，故假設任意樁身單元的樁側摩阻力為均勻分布.集中摩阻力亦可以看做一集中力直接作用到單元上一個節點上.根據虛功原理，第i個樁單元的剛度矩陣為：

式中：Ep，Ap分別為樁身彈性模量及樁身截面面積.

各單元剛度矩陣可“對號入座”，構成樁身總體剛度矩陣[K]p，即：

樁身整體位移方程為：

式中：Wp為樁身節點位移列陣；f為樁身節點的摩阻力列陣；P為樁身外荷載列陣.

2.2 土體總體剛度矩陣

為建立土體剛度矩陣需建立樁側摩阻力與土體位移的關系式.眾多學者[7－9]采用彈性半空間無限體的Mindlin解進行求解.基于Mindlin解的彈性理論法可計算不同深度處的位移相互影響，從而考慮了土體的連續性，但只限于均質土體；而超長樁所處地層分布極為復雜，往往由眾多性質各異的土體構成，此外，當樁頂荷載逐漸增大時，樁周土體從上至下將逐漸進入塑性狀態，樁土界面極限摩阻力亦從上至下先后發揮，此時某深度范圍內樁周土體將發生塑性變形，顯然Mindlin解的彈性理論亦未考慮樁周土體變形的非線性影響.

為解決樁周土體的成層性與非線性，本文采用τ－z曲線描述樁周土體承受摩阻力與本身變形之間的非線性關系.假定樁周土體在荷載作用下，其剪應力與剪應變呈雙曲線關系，即土體割線剪切模量為[10－11]：

式中：G0為土體的初始剪切模量，MPa；τf為土體的破壞剪切應力；Rf為雙曲線擬合常數.上述各系數均可通過簡單的室內剪切試驗確定.

當樁受荷后，樁周土中任意一點的剪應力隨徑向距離r（離樁中心的距離）的增大而減小，它們之間的關系可表示為：

式中：r0為基樁半徑；τ0為樁周摩阻力.

樁側土體位移與荷載的關系可表示為：

式中：rm為剪應力影響半徑，Randolph與Wroth建議，rm＝2.5Lρ（1－μ），L為樁長，ρ為樁周土體非均質系數，ρ＝G（L／2）／G（L），μ為土體泊松比.

將式（6）和式（7）代入式（8）有：

式中：S為樁側土體的豎向沉降.

將樁周土體劃分為n個獨立單元，根據摩阻力與其豎向變形的關系式，建立其剛度矩陣.第i個節點處的樁側土割線剛度表示為：

式中：τ0i可由位移樁側荷載傳遞函數式（7）求出，節點i的初始剛度可表示為：

值得注意的是，式（11）是基于剪切位移法的基本假定而導出的公式，即假設樁土之間不存在相對滑移，但此處對單獨的土體來說，考慮樁土滑移與否不會影響最終的土體位移計算結果.

樁端處土體的割線剛度采用類似方法求解，樁端處的初始剛度表示為：

故樁側土的位移方程可以表示為：

聯立式（1），式（4），式（5）和式（13），即可得變形協調方程組；由于式（8）是一個非線性方程組，故不能直接求解，需迭代求解.

3 迭代求解過程

1）將樁頂荷載分級P01，P02，P03，…，P0i，…，P0n；根據式（10）和式（11）求得土體各節點初始剛度形成｛KS｝（0）；

2）將｛KS｝（0）代入樁土體系變形協調方程組，得｛WP｝（0），｛WS｝（0）以及｛τ｝（0）的具體數值；

3）依次計算各節點樁土相對位移Δwi.比較Δwi與Δξi1.若Δwi＜Δξi1，則樁土間未發生相對滑移，否則跳至步驟6）.由｛WS｝（0）根據式（3）與式（9）用二分法求得｛τ｝（1）和｛Pb｝（1），進而形成｛KS｝（1），并依次可得到｛WP｝（1），｛WS｝（1）以及｛τ｝（1）；

4）比較｛WS｝（0）與｛WS｝（1），若二者差值大于給定允許差值ε，則?。鸚S｝（0）＝ ｛WS｝（1），形成｛KS｝（2），再重復進行步驟2）和3）；

5）若前后兩次迭代計算過程的位移差值小于ε，則本級荷載P01作用下樁基位移為｛WP｝（1）；

6）若Δwi≥Δξi1，則樁土間已發生了相對滑移，根據樁土相對位移量判斷發生相對滑移的節點個數，并對已滑移的樁段進行摩阻力重新賦值：若Δξi1≤Δwi＜Δξi2，則對相應節點上樁側摩阻力賦值為τi1＋ki2（Δw－Δξi2）；而Δwi≥Δξi2時，則對相應樁土節點的樁側摩阻力賦值τi2.重新迭代1）～5）中所述方法進行迭代計算，最后得本級荷載P01作用下｛WP｝（1），｛WS｝（1）以及｛τ｝（1）；

7）對于荷載P0i（i≠1），采用上一級荷載作用求的樁側和樁端各節點的剛度作為本級荷載下計算的初始剛度，其后續具體計算步驟及方法與荷載P01作用相同.

4 算例驗證

某大橋位于洞庭湖軟土地區[12]，其試樁樁徑1.0m，埋深60.0m，各主要土層至上而下依次為淤泥質粘土、粘土、細砂層、砂礫石及砂卵石.試驗過程中，在各土層分界處埋設鋼筋應力計以測試各點的樁身軸力并換算得出各土層摩阻力，而由樁體的彈性假設可得出各點的豎向變形，由此得出各土層τ－Δw關系曲線如圖3所示.由圖可知，各土層曲線發展趨勢與應變硬化類曲線基本吻合，因此本文計算時采用該類曲線進行分析，先將彈性直線段末端對應的樁身變形量作為彈性變形臨界值Δξ1，再把走勢較平穩的塑性段各點擬合成水平直線，該直線與實測τ～Δw關系曲線的交點為塑性變形臨界值Δξ2，各參數取值如表1所示.

圖3 樁－土主要土層τ－Δw關系曲線Fig.3 Relationship betweenτandΔw

表1 各土層計算參數表Tab.1 The parameters of soils

試驗過程中，按試樁的預計最大試驗承載力等分為15級進行逐級等量加載，每級荷載為1 080 kN.按本文方法所獲得的計算荷載－沉降曲線與實測對比如圖4所示，本文計算得出的超長樁荷載－沉降規律與實測值基本吻合，各級荷載下樁頂沉降最大誤差小于7%.

圖4 試樁Q－s曲線實測值與計算值比較Fig.4 Calculated and measured load－settlement

5 結 論

考慮超長樁樁側土體的成層性及不同的屈服特性，分別采用三折線模型及雙曲線模型描述超長樁樁側及樁端的荷載傳遞規律 .引入樁土滑移概念及τ－z理論曲線，對超長樁及樁周土分別劃分單元進行離散化，建立了其整體剛度矩陣，并采用迭代法進行求解，從而提出了可模擬樁土滑移的超長樁非線性算法，該方法概念清晰，且可較全面地考慮超長樁的荷載傳遞特性.基于現場大型靜載荷試驗對本文方法進行了驗證.對比數據表明，本文理論計算結果與實測值基本吻合，可在工程實際中應用.

[1] 王伯惠，上官興.中國鉆孔灌注樁新發展[M].北京：人民交通出版社，1999：1－9.WANG Bo－hui，SHANG Guan－xing.New development of bored piles in China [M].Beijing：China Communications Press，1999：1－9.（In Chinese）

[2] 林天健，熊厚金，王利群.樁基礎設計指南[M].北京：中國建筑工業出版社，1999：11－13.LIN Tian－jian，XIONG Hou－jin，WANG Li－qun.Pile foundation design manual[M].Beijing：China Architecture ＆Building Press，1999：11－13.（In Chinese）

[3] 鄧友生，龔維明.蘇通大橋主塔超大群樁基礎沉降特性研究[J].武漢理工大學學報，2008，30（7）：66－70.DENG You－sheng，GONG Wei－ming.Research on settlement of extra long large diameter pile groups under main tower of Sutong Yangtse river highway bridges[J].Journal of Wuhan University Technology，2008，30（7）：66－70.（In Chinese）

[4] 趙明華，劉齊建，曹喜仁，等.按樁頂沉降量控制超長灌注樁豎向承載力研究[J].工程力學，2006，23（2）：92－96.ZHAO Ming－hua，LIU Qi－jian，CAO Xi－ren，etal.Evalution of vertical bearing capacity of super long bored single pile by the pile head settlement[J].Engineering Mechanics，2006，23（2）：92－96.（In Chinese）

[5] KEDZI.Bearing mechanism of piles[J].Geotechnical，2004，26（1）：67－71.

[6] 王旭東，魏道垛，宰金珉.單樁荷載－沉降的非線性分析[J].南京建筑工程學院院報，1994，28（1）：15－24.WANG Xu－dong，WEI Dao－duo，ZAI JIn－min.Analysis of nonlinear load－settlement behavior of vertically loaded pile[J].Journal of Nanjing Architectural and Civil Engineering Institute，1994，28（1）：15－24.（In Chinese）

[7] 胡慶立，任瑞波，張克緒.軸向荷載作用下單樁沉降的非線性分析[J].工程力學，2006，21（3）：73－77.HU Qing－li，REN Rui－bo，ZHANG Ke－xu.Nonlinear analysis of settlement of axially loaded vertical piles[J].Engineering Mechanics，2006，21（3）：73－77.（In Chinese）

[8] 徐長節，黃洪超，蔡袁強，等.成層土中考慮樁土相對滑移的單樁沉降分析[J].巖土力學，2006，27（增刊）：803－808.XU Chang－jie，HUANG Hong－chao，CAI Yua－qiang，etal.Settlement analysis of single pile considering relative slipping in layered soil[J].Rock and Soil Mechanics，2006，27：803－808.（In Chinese）

[9] 呂凡任，陳云敏，梅英寶.一種基于Mindlin解的直樁沉降彈塑性分析方法[J].巖石力學與工程學報，2004，23（17）：2988－2991.LV Fan－ren，CHEN Yun－min，MEI Ying－bao.Elasto－plastic analysis method for vertical pile based on Mindin’s solution[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2004，23（17）：2988－2991.（In Chinese）

[10] RANDOLPH M F，WROTH C P.Analysis of deformation of vertically loaded piles[J].Journal of Geotechnical Engineering Division，ASCE，1978，4（12）：1465－1488.

[11] KRAFT L M，RAY R P，KAGAWA T.Theoreticalz－τcurves[J].Journal of Geotechnical Engineering Division，ASCE，1981，107（GT11）：1543－1561.

[12] 趙明華，何俊翹，曹文貴，等.基樁豎向荷載傳遞模型及承載力研究[J].湖南大學學報：自然科學版，2005，32（1）：37－42.ZHAO Ming－hua，HE Jun－qiao，CAO Wen－gui，etal.Study on the load transfer model and the beovcng capacity of vertically[J].Journal of Hunan University：Natural Sciences，2005，32（1）：37－42.（In Chinese）