談數(shù)學的思想方法在概率教學中的應用

李 丹

（北京科技大學天津學院 中國 天津 301830）

數(shù)學思想是在數(shù)學研究活動中解決問題的根本想法，是對數(shù)學規(guī)律的理性認識。概率論與數(shù)理統(tǒng)計學科中包含的隨機思想、公理化思想、模型化思想、數(shù)形結合思想、推斷思想等是該學科的精髓和方法論的內涵。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計的學習，是過程、思想、方法和觀念的學習，目的是讓學生體會概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本思想方法。概率的核心可以簡單的概括為：數(shù)據(jù)而不是數(shù)字；活動而不只是概念；過程而不只是結果。概率論屬于不確定性的數(shù)學，是為了尋找隨機性中的規(guī)律性，這與高等數(shù)學、線性代數(shù)在思維方式和學習方法上是不一樣。概率主要依靠辯證思維和歸納的方法，需要學生在活動中學習概率論與數(shù)理統(tǒng)計的內容、掌握概率處理的方法?？傊?，重視思想方法的教學能夠培養(yǎng)學生的創(chuàng)造思維能力和開拓精神，使學生充分發(fā)揮個人潛能，真正實現(xiàn)個體的最優(yōu)化發(fā)展。本文著重討論概率中常用的幾種數(shù)學思想方法，隨機思想、統(tǒng)計思想、模型化的思想等。

1 隨機的思想

隨機思想是概率論核心的思想方法,它從數(shù)量的層面上研究了事件發(fā)生的必然性和偶然性。教學中應該讓學生體會最原始的隨機環(huán)境，體會隨機現(xiàn)象的一些特點，教師應通過具體的來實例豐富學生對概率的進一步認識，從而理解隨機觀念，并舉大量實例說明不確定現(xiàn)象的存在性。學習概率論就是學習書本中滲透的一種新的思維方法，統(tǒng)計與概率論的思維方法，和以前學習的邏輯推理方法不一樣，它是不確定的，也就是我們所說的隨即思想，這是培養(yǎng)學生思維能力最重要的體現(xiàn)。

隨機思想與其它思想方法之間的內在聯(lián)系體現(xiàn)在多個方面，隨機思想的分類、歸納等確定性數(shù)學思想之間的聯(lián)系。從隨機思想的起源來看，又是分類、歸納等確定性的數(shù)學思想進一步發(fā)展和具體的應用。事實上，作為定量研究隨機思想的概率和統(tǒng)計方法最先起源于歸納法，概率的發(fā)展經歷了三個過程：歸納法到概率歸納法，再到概率論的發(fā)展過程，而統(tǒng)計思想則是由局部到整體、有抽象到具體、由特殊到一般，是歸納法在數(shù)學思想方法上上的具體應用。

概率統(tǒng)計的隨機性要求學生的學習方式不能一再沿用傳統(tǒng)數(shù)學學習的方法，而必須采用具體的問題進行具體分析的方法，在解決一些具體的實際問題過程中加深對概率統(tǒng)計的定義、公式、法則、原理的理解。一方面在學習過程中要不斷地總結用概率解決問題的各種數(shù)學模式，另一方面，還需要不斷地提高判斷、創(chuàng)建數(shù)學模型的能力、在對各種不同實際情況的分析、判斷、探索的過程中強化自身的數(shù)學隨機意識。

對學生數(shù)學隨機意識的培養(yǎng)，是一項長期而艱巨的任務，觀念的轉變也不是一朝一夕的事，這樣就要求我們通過改變教學方法激發(fā)學生的學習興趣，讓他們自覺的投入到概率統(tǒng)計的學習中去，引導學生能夠積極主動地學習，教師應創(chuàng)設吸引學生的教學手段，能引導學生積極主動參與到教學情景中來，挖掘學生的內在學習潛質，培養(yǎng)學生掌握和運用知識的能力。只有讓學生認識到這一點，才能真正明白現(xiàn)實世界廣泛存在的隨機性，并主動地應用到生活中去。抽樣的方法很多，但無論用什么方法抽樣，都要堅持隨機抽取的原則，這是隨機思想的精髓。

2 統(tǒng)計推斷的方法

概率統(tǒng)計推斷的思想是研究數(shù)理統(tǒng)計的一種重要的思想方法，它與數(shù)學中常用的邏輯推理方法有所不同，它是帶有概率性質的一種推理方法，依據(jù)是“小概率事件的原則”。小概率事件原則認為：概率很小的事件在一次試驗中發(fā)生的可能性幾乎為零。解決假設檢驗問題是概率推斷思想最重要的體現(xiàn)，其基本思想是基于“小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生”這一小概率事件的原理。

統(tǒng)計課程的核心目標是引導學生體會統(tǒng)計思維的特點和作用，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異。統(tǒng)計學是一門研究隨機現(xiàn)象，以推斷為特征的方法論學科，由部分推及全體的思想貫穿于統(tǒng)計學的始終。具體地說，它是研究如何搜集、整理、分析反映事物總體信息的數(shù)字資料，并以此為依據(jù)，對總體特征進行推斷的原理和方法。用統(tǒng)計來認識事物的步驟是：研究設計→抽樣調查→統(tǒng)計推斷→結論。這里，研究設計就是制定調查研究和實驗研究的計劃，抽樣調查是搜集資料的過程，統(tǒng)計推斷是分析資料的過程。顯然統(tǒng)計的主要功能和作用是推斷，而推斷的方法是一種不完全的歸納法，因為是用其中的一部分資料來推斷總體。統(tǒng)計課程的核心目標是引導學生體會到統(tǒng)計思維的獨特的特點和作用，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的巨大差異。例如，在運用樣本估計總體的學習中，應通過對具體數(shù)據(jù)的分析，使學生體會到由于樣本抽取具有隨機性，樣本所提供的信息在一定程度上反映了總體的有關特征，但畢竟是一種推斷，所以與總體肯定是有一定偏差的。另一方面，如果抽樣的方法應用的比較合理，樣本的信息還是可以比較好地反映總體的信息。

3 模型化的思想

所謂模型化的思想，就是把所考察的具體的實際問題轉化為數(shù)學問題，建立相應的數(shù)學模型，通過對具體模型的分析研究，從而解決實際問題的一種數(shù)學思想方法。概率中存在很多的數(shù)學模型，如:古典概型、幾何概型等。

在概率論課程中加載了數(shù)理統(tǒng)計的基本內容，是為了給學生展示如何針對具體的實際問題，構造數(shù)學模型，運用所學的概率知識做出科學合理的判斷與估計。這種處理既提供了理論應用于實際的演示、操作和實訓平臺，又是理論知識本身的延展和鞏固，避免了工科學生學習數(shù)學“只見樹木不見林”的短期效應以及“學數(shù)學沒有用途”的偏見。

隨機數(shù)學有很大一部分可以用概率模型進行描述，如有限等可能概型(古典概型)、伯努利概型、正態(tài)分布等。應用概率模型方法就是根據(jù)隨機問題的具體特點，模擬構建一個隨機問題的現(xiàn)實原型或抽象模型，借以反映問題的內在規(guī)律，然后選擇相應的數(shù)學方法對求得的數(shù)學模型做出解答，表現(xiàn)出從實踐到理論又回到實踐的過程。概率統(tǒng)計教學中應重視對概率模型的理解和應用而淡化繁雜的計算，使學生經歷從多個實例中概括出具體的概率模型的過程，體會這些例子具有的共同點，培養(yǎng)學生識別和建立模型的能力。使用概率模型解決問題是歸納思維的一種典型應用，它離不開人們的觀察、試驗與合理的推理，是數(shù)學化意識和思想方法的具體體現(xiàn)，有助于培養(yǎng)學生將數(shù)學理論應用于解決實際問題的能力和創(chuàng)新意識。

總之，概率論與數(shù)理統(tǒng)計是一門有著廣泛應用的數(shù)學學科，因此在教學中不斷地滲透數(shù)學的思想方法，準確地把握這門課與學生所學專業(yè)的結合點，突出其應用性。在教學中應結合學生的專業(yè)知識，調整教學實例。在講授過程中，將統(tǒng)計理論與實際問題相結合，培養(yǎng)學生用所學的知識去解決具體實際。

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