論創新教育在《復變函數與積分變換》課程中的實踐

霍穎瑩 田鳳 鐘嬋燕

廣東工業大學應用數學學院， 廣東 廣州 510520

論創新教育在《復變函數與積分變換》課程中的實踐

霍穎瑩 田鳳 鐘嬋燕

廣東工業大學應用數學學院， 廣東 廣州 510520

本文主要介紹創新教育在新世紀教育下的含義，用大量的例子對在復變函數教學中培養學生創新精神和創新能力進行探討。

創新教育；復變函數與積分變換；創新能力

innovation education；complex analysis and integral transformation；innovative ability

創新教育是社會教育事業的重要組成。創新意識和創造能力是民族進步的靈魂，是國家興旺發達的源泉，是推動科技發展的驅動力。江澤民同志指出：“要迎接科學技術突飛猛進和知識經濟迅速興起的挑戰，最主要是堅持創新；創新是一個民族興起的靈魂，是國家興旺發達的不竭動力。”因此實施創新教育是每一位教學工作者當前一項重要的任務。要實施創新教育首先要理解什么是創新教育。本文主要就對創新教育的理解和它在復變函數與積分變換教學中實施談談自己的思考。

1 創新教育的內涵

所謂創新，根據《現代漢語小詞典》的是指：“拋開舊的，創造新的。”什么是創新教育？簡而言之[1]，創新教育是以培養人的創新意識、創新精神、創新能力和創新人格為基本價值取向的教育實踐。是以培養創新型人才為主要目標的教育。具體地說，就是根據創新原理，以創新意識、創新精神、創新能力和創新人格培養為主要內容，選擇創新性的教育手段和方法，培養創新型人才的教育理論和實踐。創新意識和創新精神的培養是創新教育的基礎，創新能力的培養是創新教育的核心，創新人格培養是創新教育的關鍵。而創新型人才的培養則是創新教育的最終目的。

要培養創新型人才要注意觀念的轉變。在教學過程中注意遵循主體性原則和平等民主原則。課堂是師生間交流情感的場所，教師應該以學生為主體，建立一種民主無權威的教學環境，把發現真理的主動權交給學生，讓學生覺得“我要學”，并鼓勵學生討論、質疑和發表見解，破除學生對教師的迷信，引導學生思考。只有這樣，學生的創新能力才能被激發出來。

2 創新是復變函數與積分變換教學的重要組成部分

就工科專業課程復變函數與積分變換本身而言，它就是創新的再現。復變函數是在實變函數基礎上的創新。復變量函數是二元實函數的發展。雖然課程仍然討論函數是否連續，可導，如何積分，但連續已經變成兩個二元函數的連續，函數是否可導也變成了要求更高的以解析區分函數。也正因為對函數有更高的要求，積分除了可用第二類曲線積分計算外，還有新的一系列的柯西積分法，在柯西積分法的基礎上繼續發展出了圍道積分，而圍道積分又可以解決一些復雜的實積分。積分變換中，傅里葉積分是傅里葉級數的發展，而傅里葉積分卻具有局限性因而發展出拉普拉斯變換。學生在學習過程中每向前一步都看到創新。

3 創新教育在復變函數與積分變換教學的實施

3.1 課前發放教案培養學生自學能力

高校學生即將步入社會，僅靠學校的“一次教育”遠遠滿足不了社會的需求，要不斷提升就要接受“終身教育”。而且學生已經具有較強的自學能力，在教學過程中，筆者發現總有部分學生對教材有濃厚的興趣，提前看完教材并提出見解。復變函數與積分變換這門課除了定義、公式、定理外，更重要的是蘊含著許多深刻的數學思想和方法，課前發放學案可鼓勵更多的學生自主學習獨立思考，而不是為了過關拿學分死記公式。

由于學案有明確的學習目標，重點難點，還有指導方法和供學生研究的參考文獻。有了學案，本來喜愛本學科的學生就能在課前以學習目標為依據，以重點難點為主攻方向，主動查找教材、參考文獻，思考問題，探究問題，在探究中獲取知識，而不是被動接受知識。

學案不同于教案。學案是學生進行探究知識的載體，教學生探究知識，應編寫在前；而教案是教師對學案所提知識的處理和升華，應編寫在后。編寫學案時要注意兩點：一是以學生為主體，第多斯惠曾提出：“一個壞的教師奉送真理，一個好的教師則教人發現真理”，所以應把“發現真理”的主動權交給學生。由于學生的知識水平不同，編寫學案應以學生能解決問題為出發點，這樣才能激發學生的學習興趣。二是所設計的問題應是應該對學生的能力有提高，方法的形成有價值。由于數學知識是縱橫成框架的，應盡量從舊知識中讓學生發現新問題，思考問題和探討，從而達到“溫故而知新”。例如，在講解柯西定理前，可讓學生先用第二類曲線計算做一些函數在不同的閉曲線上的積分，引導學生提出問題為何有些積分與路徑有關有些無關？學生會注意到被積函數的不同，不妨多舉例子，由于在學習積分前一章學生學習了解析函數，學生自然想到可能與被積函數是否解析有關。但由于柯西定理的古薩證明比較復雜，根據學生的實際情況一般無法證明自己的猜想。不妨引導學生退一步：在第二類曲線積分中是否有類似問題？學生通過查找高數書能回憶起格林公式。最后讓學生回憶起高數中積分與路徑無關的等價條件就能得到加強條件后的柯西定理。這樣，就能立足于舊知識讓學生發現并證明加強條件后的柯西定理。當然，可鼓勵部分學有余力的學生在課后查找柯西定理的古薩證明。

3.2 教學中培養學生的創新思維

創新能力是創新人才的智慧資源，由創新意識、創新思維、創新技能三大要素構成，其中創新思維是人的創新能力形成的核心與關鍵。創新思維就是不受現成的常規思路約束，尋求問題全新的獨特性的解答和方法的思維過程。當然，創新思維形式有多種，主要包括：觀察、聯想、具體、抽象、發散、收斂、推廣（收縮）、歸納、類比、奇巧、多維、質疑等。下面僅從復變函數與積分變換教學中舉出例子。

發散性思維它是一種重要的創造性思維。在教學過程中，我們應該經常使用一題多解、一題多變等方式去引導學生發散式地思考問題，利用章節的小結去訓練學生對同一問題從不同方向去思考，多角度去觀察，盡量探索出多種解法。它不但能激發學生的學習興趣，幫助學生加深對所學知識的理解，拓寬學生的解題思路，而且能給學生創造廣闊的思維空間，引導學生對問題引申推廣，培養學生的發散性思維。例如，在講完利用留數定理計算積分后，讓學生做一道積分的練習，題目既可用復合閉路定理和柯西積分定理，也可用洛朗展開式中負一次冪系數，更可用留數定理，鼓勵學生用不同方法求解，并思考幾種方法的關系。

復變函數是高等數學的后續課程，在學習過程中比較兩者的相似之處，可加深學生對概念的理解又能啟發學生的類比思維。例如，在講解復變量函數時可提到它與實二元函數的關系。由于我校學生復變函數和高等數學多元函數部分在同一學期學習，學生容易把兩部分混淆，結合兩部分講可加深印象。在講解函數可導充要條件時，我會提到復變量復值函數是由一對有序的二元函數對構成，它連續的充要條件是相應的二元函數連續，它可導的充要條件是否相應的二元函數可導？然后舉出反例，引起學生注意并開始思考復函數可導的充要條件，接著再開始轉入正題。在講解拉普拉斯變換時也同樣可以讓學生自己通過互相討論歸納總結它與傅立葉變換的異同。

在講述多值函數部分，學生常常覺得抽象難懂。這時可啟發學生的聯想思維，把復雜問題簡單化，把抽象問題形象化。如二值函數可比作兩層樓房，而分支點便是連接樓房的旋轉樓梯。繞分支點走一周，便可由樓房的一層走到另一層，拆掉樓梯，樓房就變成獨立的兩層。

除此之外，在教學中還可以幫助學生建構起其它類型的創造思維，以便學生運用到其專業領域，這里不再一一敘述。

3.3 課后實施分層作業調動學生積極性

由于高等學校一般實行大班上課，即授課班級學生人數從一百到兩百甚至更多，就個體水平來說有明顯差異，而復變函數與積分變換由不是學校統一時間上課，不可能實現分層教學。所以，如何針對學生的個體情況，進行按需求教學仍是探討的關鍵問題，作者認為實施分層作業是解決問題的可行方法。

作業是教學的基本環節，有助于所學知識的鞏固、深化，有益于技能、智力和創造等才能的發展，是提高學生素質的重要載體。但傳統的作業布置，教師往往要求學生在一定的時間內完成同一的內容，期望達到同一的效果，忽視了學生的個性特點和學習目標的差異性。分層作業是以學生為本，針對各層次學生的目標要求和具體情況，適當設計一些難易有別、梯度不一的習題，以滿足不同層次學生的不同需求。分層作業就像是把過去同樣內容、同樣標準、同樣模式、同樣分量的“大鍋飯”改為幾種量身定制的“套餐”，學生可以根據自己的實際水平選擇不同層次的作業。分層作業是一種有必要嘗試。

分層作業需要面向全體學生，它要求教師知曉不同學生所處的學習層次，在布置作業時莫打擊學生的積極性，在授課班中嘗試實施作業的分層布置，對作業量、作業難度和作業方式作出適當的調整，力爭讓每個學生在適合自己的作業中都收獲成功，得到輕松、愉快、滿足的心理體驗。發展性教學理論認為“差異是一種資源”，故對作業的認識，應該突破以往的框架，根據學生的發展狀況，構建不同的作業形式。作業布置，既要注意選擇那些有助于學生理解基本概念和基本思想方法的習題，也要注意選擇那些具有應用性和趣味性的習題。這樣有助于啟發學生思維，調動他們的學習積極性，使他們更好掌握所學知識。在實際教學中，要先熟悉學生知識水平的層次、專業知識特點和學習目標，布置不同層次的作業。作業的布置，不在乎“量”，而在于“質”。傳統的作業布置告訴我們，作業“一刀切”，過難或過易，缺少層次，不利于不同類型的學生，尤其是差生與優等生的發展。因此，教師在布置作業時要注意照顧到好（準備考研）、中（對數學感興趣）、差（數學基礎不好）三方面的學生，既讓差生跳一跳能摘到“桃子”，又能保證優等生免受“饑餓”之苦。這樣，可以使優等生激發挑戰自我的好勝心，發揮創造性；令中等生獲得從探索中成功的喜悅，對學習不敢松懈；讓差生經過勤奮努力嘗到成功的滋味，對接下來的學習充滿信心，避免抄襲現象。分層作業有利于因材施教，充分考慮到不同個體的需要，全面照顧不同個體的發展，提高作業完成效率。實施復變函數與積分變換分層作業是有必要的。

作業可以分為三個層次：A.對反映教學大綱基本要求的基礎型習題，要求全體學生必須自主完成；B.對反映教學大綱較高要求（與學生專業知識相關）的典型習題，要求中、高層次特別是中層次的學生，通過互相討論或分組合作完成；C.對反映教學大綱難點的靈活型習題，要求學習成績較好的學生嘗試完成，當然也鼓勵其他層次的學生量力而行去試一試。上面三個作業層次內容的比例大概控制在7：2：1，這樣既可以保證讓學生達到教學大綱要求，又可以拓寬學生的知識面,培養學生合作能力和創新能力，更為一部分同學的繼續深造打下一定基礎。分層作業要緊緊把握住：“分層不分班，上下可浮動”的原則。作業層次并不是固定不變的，讓學生在完成基本的A類作業的基礎上，自主選擇適合自己的作業，差生也可選擇完成B，C類作業，調動學生的學習積極性，使各層次學生力爭向上。作業的分層給學生提供了自主選擇的機會，讓他們自評自己處于哪個水平，并選擇與該水平相對應的作業，讓學生真正成為學習的主人，然后教師再做適當的調節。教師要給學生充分的選擇，因為人只有干他所能干的、愿意干的、想干的事時，才會表現出主動性和積極性，這也是教育呼喚的民主。

創新教育的探索與實踐使我們意識到21世紀創新型人才的培養關系到學生個人的可持續發展，是世界教育發展的主流，是國家和民族進步的需要。所以我們要樹立正確的教育觀念，努力提高自身的創新能力，在教學中以培養創新型人才為目標和教學原則，堅定方向，不斷努力，一定可以培養出一批優秀的、具有創新能力的棟梁之才。

[1] 閻立鐸.創新教育：面向21 世紀我國教育改革與發展的扶持[M].北京：教育科學出版社，1999

[2]高慎英,劉良華.有效教學論[M].廣東：廣東教育出版社,2004

[3]西安交通大學高等數學教研室，復變函數（第四版）[M],北京：高等教育出版社，2008

[4]張元林.積分變換（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2009

[5]楊曼英, 高等學校創新教育內涵和定位[J].高等教育研究，2011，12：69～71

[6]廖永志,劉濤, 高等數學分層次教學模式芻議[J].中國成人教育，2007，8：143～144

[7] 劉孝書,王秋亮，創新教育在《復變函數和積分變換》教學中的應用[J].科技信息，2010，24：31-33

Study on the implement of the innovation education in the teaching of complex analysis and integral transformation

Yingying Huo，Feng Tian，Chanyan Zhong
Faculty of Applied Mathematics, Guangdong University of Technology, Guangzhou,510520

In this paper, the meaning of the innovation education will be introduced. And lots of examples will be given for its implement in the teaching of complex analysis and integral transformation.

10.3969/j.issn.1001-8972.2012.07.163

廣東工業大學高教研究基金（2010F19）