淺析蘇科版七年級幾何教學推理能力的培養

張菊弟

（蘇州市吳中區東山莫厘中學 江蘇 蘇州 215107）

平面幾何是運用邏輯推理的方法來研究平面圖形性質的一門學科。 因此，培養學生邏輯推理的能力是平面幾何教學的主要目標之一。 是學生學幾何的關鍵，也是學生學幾何的難點。 雖然學生在小學里接觸過一些幾何圖形，但是現在他們對于邏輯推理的思維方法和過程還是完全陌生的。 盡管初中七年級上冊還沒有要求進行邏輯推理形式的書寫，可是到了八年級下冊就要求用邏輯推理的形式來解決有關的“證明”了，如果現在不打好基礎，那么以后做幾何證明題時可能就會感到困難重重！ 因此，必須要在七年級做好幾何教學的推理論證工作，為今后的幾何學習打好扎實的基礎。 下面談談本人的一些實踐與體會。

1 不該忽視的一類證明，初步感受幾何推理論證

圖1

圖2

平面幾何入門學習中，我感覺大多數教師在這一階段教學中對于利用“等式性質”推導線段和角相等的證明不夠重視，而事實上，課本上更有相關的習題要求學生掌握證明，蘇科版七年級 （上） 課本第115 頁習題6.13 如圖1 如果AC=BD，那么線段AD 與線段BC 之間有怎樣的數量關系？說說你的理由。 另一個方面是，在教學中我作為一個典型例題重點講解，而且在黑板上寫出嚴格的推理過程和填上每一步的理由依據，證明：∵AC=BD（已知）

∴AC+CD=BD+CD（等式性質）

即AD=BC

證完結束后，我小結如下：實際上，這道題目是方程中等式性質在幾何方面的運用，接著就做一個變式練習：如上圖如果AD=BC， 那么線段AC 與線段BD 之間有怎樣的數量關系？ 說說你的理由。 讓學生模仿黑板上的證明過程自己試著寫出來，初步感受一下推理論證。 同樣在學習到角的有關知識點時，盡管書本沒有配套的習題，我自編一題幾何說理題：已知，如圖2，∠AOB=∠COD，請判斷∠AOC 與∠BOD 有怎樣的數量關系？為什么？在教學中通過分析，讓學生回答證明過程，教師板書如下。

證明：∵∠AOB=∠COD（已知）

∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC（等式性質）

即∠AOC=∠BOD

接著做變式練習：已知，如上圖，∠AOC=∠BOD，請判斷∠AOB 與∠COD 有怎樣的數量關系？ 為什么？ 通過講和練可以讓學生自我進行歸納證法：相同線段（或角）±公共部分線段（或角）=新的相同線段（或角），這是為以后的幾何學習做好了鋪墊工作。 事實上，在蘇科版七年級（下）學習全等三角形時， 經常會利用等式性質去證明線段或角相等的條件，因此，我在這一階段教學時一直加以重視。

2 重視幾何概念教學，逐步感悟幾何推理論證

嚴格的幾何推理過程的書寫，是從線段的中點概念開始的，因此，在講解“線段中點定義”時，尤其要重視幾何概念的教學，以及幾何圖形，幾何語言的規范書寫，這是非常重要的，是學好幾何最基本的準備，在教學中我將“線段中點定義”的概念用表格形式列出來，讓學生看的更清楚，理解的更深刻。

表1

3 強化幾何規范語言的書寫，自我實踐幾何推理論證

在教學中，我發現有些教師對幾何語言規范要求的書寫不夠重視，理由依據也不要求學生寫，我認為這種做法對學生學習幾何“有百害而無一利”，因為幾何規范語言的書寫本身是一個難點，如果教師自己不加以重視，那么學生對幾何知識的掌握情況就可想而知了。 我認為：我們一開始就要求學生規范的書寫幾何推理過程，并且每一步都要求寫出理論依據，教師示范，學生模仿，扎扎實實地進行嚴格的訓練，打好基礎，當然開始講解例題時節奏可以慢一些，好讓學生聽懂，真正理解。 如果我們讓學生自己直接寫出幾何的證明過程，很多學生會感到困難重重，甚至無從下手，這時我們可以出示有填空形式的證明題，例如學填依據訓練，教學中要善于引導學生“言必有據”，要讓學生理解推理論證的每一步之間都有嚴密的邏輯順序關系。

例如1：課本七（下）第9 頁練一練2

如圖3：（1）如果∠1=∠2，根據______，可得AB∥CE；

（2）如果∠2=∠E，根據______，可得AD∥BE；

（3）如果∠1+∠B=180°，根據______，可得AD∥BE。

圖3

圖4

我們還可以讓學生進行推理過程的訓練，使學生熟悉推理論證的每一步過程，并能明白證明格式的規范要求，作為推理論證的書寫樣板，由易到難，一步一步地培養學生的推理論證能力。 例如七（上）課本第117 頁上的一道習題：已知，如圖4，∠AOC 和∠BOC 互為鄰補角，OD，OE 分別是∠AOC，∠BOC 的平分線。 求證：OD⊥OE，我設計成如下的推理填空形式：

證明：∵∠AOC 和∠BOC 互為鄰補角（______）

∴∠AOC+∠BOC=（______）

∵OD 是∠AOC 的平分線，OE∠BOC 的平分線（______）

∴∠1+∠2=______+______

即∠______=90°

∴OD⊥OE（______）

4 深化推理論證的基本方法，尋求推理論證的途徑

對于七年級學生來說，對幾何證明題不知從哪里下手證明的一個主要原因，就是沒有掌握推理論證的思考方法。 因此，我們在教學中要深化推理論證的基本方法——分析法和綜合法的教學，使學生明白分析法：是從所要求證的結論出發，經過研究分析這一結論成立需要具備什么條件，如此逐步向上逆推，一直推到題目的已知條件，可以和學生歸納為：“擇果索因”，也就是“拿著結果去尋找原因”。 而綜合法是從已知條件出發，通過一步步推導，最后推得所要證明的結果，可以簡單的概括為：“由因導果”， 也就是 “由原因去推導結果”，通過方法的引導，使學生具有一定的解題思路。 而在具體解題遇到困難時，還可以將分析法和綜合法相結合，我們把它稱為“兩頭湊”的解題方法，事實上在具體解題時非常有用。

例如：已知，如圖5，把兩個含有45°角的直角三角板如圖放置，點D 在BC 上，連結BE、AD，AD 的延長線交BE 于點F.說明：AF⊥BE.

圖5

在教學時，我采用分析—綜合相結合，引導學生尋求正確的解題途徑，具體如下：

分析法：要證：AF⊥BE，即證：∠AFB=90°，

要證：∠AFB=90°，根據三角形內角和定理即證：∠FBD+∠FDB=90°

我們發現：∠FDB=∠ADC（對頂角相等），因此是否能證：∠FBD=∠CAD

因為在Rt△ACD 中，∠CAD+∠ADC=90°而要使∠FBD=∠CAD，必須要證△ACD≌△BCE，引導學生能否找到證全等的3 個條件，由于兩個都是等腰直角三角形，可得：AC=BC，CD=EC，∠ACD=∠BCE=90°，從而找到三個條件可證全等.

綜合法：∵△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形（已知）

∴AC=BC，CD=EC，∠ACD=∠BCE=90°.

在△ACD 和△BCE 中

△ACD≌△BCE（SAS）

∴∠FBD=∠CAD（全等三角形的對應角相等）

在Rt△ACD 中，∠CAD+∠ADC=90°

∵∠FDB=∠ADC（對頂角相等）

∴∠FBD+∠FDB=90°

在△BFD 中，∠AFB=180°-（∠FBD+∠FDB）

=180°-90°

=90°

∴AF⊥BE（垂直定義）

5 注重解題思路的引導，切實培養好邏輯推理能力

在學習全等三角形這一章時，有些常規的證明思路方法在教學中要及時跟學生歸納總結，學生在掌握的基礎上將更容易的去解決問題，例如：（1）證不在同一個三角形中的兩條線段相等時，通常證這兩條線段所在的三角形全等；（2）證不在同一個三角形中的兩個角相等時，通常證這兩個角所在的三角形全等；（3）當不能直接用全等證線段或角相等時，可以轉化成證與第三條線段相等或證與第三個角相等的方法來證明；（4）利用全等證某些角相等，從而證明兩條直線互相平行；（5）證兩條直線互相垂直時，可以和學生歸納為“由已知直角去證未知直角”的方法，中間需要利用全等將某些角進行轉化。 學生有了這些常規解題的思考方法后，做題時將更得心應手，解決問題的能力也將更強。

同時，我在講解典型例題后經常要和學生一起反思一下解題的思考方法：

（1）這道題目你是怎么想出來的？

（2）這道題目你怎么想不出來？

（3）這道題目的突破點在哪里？ 哪個已知條件使你受到了啟發;

（4）這種證明思路是否可以推廣作為一般方法？ 有沒有其它方法證明這道題目？

（5）做出這道題目后，你對這個知識點的運用是否有更深的理解？ 等等。

例如：我把課本七（下）第123 頁第18 題改編成以下的習題，已知，如圖6，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為D，E，F，求證：DE=DF

圖6

這道題目并不太難，大多數同學都能做出來，證完后我對學生說：“你們自己的證明是怎么想出來的？ 可以和同桌互相交流一下想法。看看是否還有其它方法？”在引導學生進行有效的反思后，總結以下幾種證法：

證法1：先證△ABD≌△ACD，得出∠BAD=∠CAD，再證△ADE≌△ADF，證出DE=DF；

證法2： 先證△ABD≌△ACD， 得出∠B=∠C， 再證△CDE≌△BDF，證出DE=DF；

證法3：先證△ABD≌△ACD，得出∠BAD=∠CAD，說明AD 平分∠BAC，由于DE⊥AB，DF⊥AC，根據角平分線性質定理，可證DE=DF。

我通過一學年蘇科版七年級幾何教學的實踐，較好的培養了學生的幾何推理能力，為今后幾何學習打下了扎實的論證基礎，采用上述方法培養學生幾何推理能力的做法是切實可行的，能全面提高學生的幾何邏輯推理能力。

［1］蘇科版七年級數學教材.