基于緩解公交列車化現象的最小發車間隔研究

周嘉男，羅 霞，黃啟樂，魏 強

(西南交通大學交通運輸與物流學院，四川成都610031)

近年來我國城市公共交通建設取得較大進展，如何合理安排公交調度，使公交資源充分利用，是當前城市交通管理者面臨的一項難題。當前公交列車化現象頻發，導致道路服務水平降低，車輛運營成本增加，乘客服務水平下降［1］。發車間隔的確定對緩解公交列車化現象具有指導意義。

文獻［2-7］闡述了基于客流斷面、遺傳算法等方法來獲得最佳發車間隔。但這些方法均假設公交車全程在正常狀態下運行，所得出的計算結果并不能有效降低實際運行過程中公交列車化現象出現概率。筆者針對這一問題，從考慮如何確定發車間隔的約束下限的角度出發，來探討對公交列車化現象的緩解方法。通過分析公交列車化現象的產生原因，并以現有發車間隔模型為基礎(引入最小發車間隔概念，并作為約束條件之一)，以公交運營成本最小、乘客利益最大為目標函數，建立基于緩解公交列車化現象的最小發車間隔計算模型，以說明在公交列車化現象得到緩解的前提下，達到公交運營成本和乘客出行成本之和最小時，最小發車間隔的取值，并以成都市81路公交車為例進行分析。

1 公交列車化問題分析

1.1 問題描述

公交列車化現象是指特定公交線路在全線運行過程中發生的列車化現象。具體表現為在某一特定的公交線路上，在各班次車輛按調度計劃發車并遵守行車路線的情況下，由于道路運行條件等非人為因素所導致的相鄰班次公交車首尾相接，或以遠小于規定發車間隔的時間為車頭時距跟馳運行的現象。

假設公交車均按固定路線行駛，公交車流為限制超車的單列車流，公交車車頭時距符合移位負指數分布［8］。評估一般條件下是否產生公交列車化現象的條件是:在車輛運行該線路平均站距所需時間內，其相鄰班次車頭時距遠小于公交車規定發車間隔的出現概率是否較大。車頭時距分布函數為:

式中:λ為公交車到達強度，veh/min;h為相鄰班次車輛實際車頭時距，min;τ為理想條件下相鄰班次車輛車頭時距最小間隔，通常取2 s;t為判斷限值，是一個遠小于公交車規定發車間隔的值，min;T為發車間隔，min。

若P(h≤t)→1，則認為該線路相鄰班次公交車存在公交列車化現象。

1.2 原因分析

公交列車化現象是由于乘客行為、道路交通條件、調度行為等一系列相關因素相互作用形成的結果，產生原因比較復雜。筆者從乘客、道路交通條件和調度方法等3個角度分析其產生原因。

1.2.1 乘 客

假設某線路公交車在各運行區間內平均速度相同，發車間隔不變，某公交車站在相鄰兩輛公交車依次進站的時間間隔內，乘客規模為w且在一定時間內不變，則公交車在該站停靠延誤時間t停為:

式中:w為乘客候車規模，取上、下車人數中的最大值，人;t上下為乘客上下車平均時間，s/人;t固定為其他固定延誤(如車輛進出站時間等)，s。

若t停大于下一輛公交車到達該車站所需時間，則認定有較大可能在該車站處發生列車化現象。因此，當乘客候車規模越大時，該線路越易發生列車化現象。另外，當相鄰車站乘客候車規模差異較大時，由于下一班車輛在上一車站處停靠站延誤時間較小，導致下一輛公交車到達該車站所需時間減少，更易產生公交列車化現象。

1.2.2 道路交通條件

在道路幾何、管理控制和交通流等條件的綜合作用下，對常規公交運行質量影響的直接表現是，車輛在不同運行區間內平均運行速度不同。假設某線路公交車按固定線路并全程在公交專用道上行駛，用平均運行速度來表示綜合條件對運行質量的影響，發車間隔不變，乘客規模不變，設兩車起始間距為S，前、后車平均運行速度分別為和，且＜那么t時間后兩車間距ΔS為:

1.2.3 調度方法

對某條特定的公交線路，由于發車間隔能夠進行人工調整，有別于乘客候車規模、區間平均運行速度等不可控的變量，公交公司可根據乘客候車規模和道路交通運行條件來確定發車間隔，使發車間隔同滿足乘客需求相適應。

圖1為成都市部分干線公交不同時期內的發車密度(注:此處高峰期間發車間隔為平均值，但發車間隔不能無限減小)。高峰期間主干路段交通流接近強制流且車輛運行速度較低，稍有影響即引起系統的不穩定，出現擁擠。在此條件下以較小的間隔發車，可能會由于前車的隨機停車導致列車化現象發生。根據式(2)，發車間隔至少應大于t停，才能有效避免在車站處發生列車化現象。當發車間隔越小時，越容易出現公交列車化現象。由于發車間隔的可操作性較強，因此對發車間隔的確定可以對公交列車化現象產生直接改善。

圖1 成都市部分干線不同時期內發車密度Fig.1 Different headways densities during different periods on part of main routes in Chengdu

1.3 公交列車化現象的影響

1)道路服務水平。若某一公交專用道處發生公交列車化現象，由于車輛跟馳運行和交通波向后傳遞的原因，最直接的影響是考察路段交通密度迅速增大，導致道路服務水平降低。

2)車輛運營成本。公交列車化現象通常伴隨較小發車間隔，意味著在相同時間內該線路要發出更多班次的車輛，每開出一班車存在固定和可變運輸成本［9］，故增加班次相當于增加了該線路的運營成本。由于此時存在一定量無效運營車輛(即由于發車間隔過短且在該時間間隔內沒有足夠乘客到達，導致后車的利用率降低)，故該部分增加成本并非必要，應予以降低。

3)乘客。若某線路公交車配車數不變，公交列車化現象可能導致前后相鄰兩班次車輛間隔較大、但卻同時存在后車車輛同下一班次車輛出現列車化的現象。這在部分公交車站產生同一班車輛的乘客候車規模較大甚至達到無法及時消散的狀態，增加了車站的擁擠程度，使乘客對公交的滿意度下降。

2 最小發車間隔

2.1 最小發車間隔內涵

發車間隔關系到乘客的直接利益和公交公司的運營效益。乘客希望發車間隔較短，這樣候車時間較短且不會過度擁擠;公交公司希望發車間隔有一定長度，以提高滿載率、公交車的有效利用率，降低運營成本以提高效益。

筆者在基于緩解公交列車化現象的前提下提出了最小發車間隔的概念。從公交公司效益角度講，設定最小發車間隔應保證該線路公交車按此間隔發車的條件下，在中心城區路段不發生公交列車化現象，此時公交車的利用率提高，班次減少，運營成本降低;從乘客角度講，該線路公交車按最小發車間隔進行發車時至少能滿足該線路高峰期大部分車站的客流需求，確保服務水平同現狀持平。若相鄰兩班次公交車從起始站出發的間隔時間T滿足以下條件，則認為該發車間隔可以作為最小發車間隔Tmin。

2.1.1 公交公司效益的條件

1)滿足車輛在中心城區路段公交車站處停靠時不出現列車化現象的條件。令全線路所有公交車站乘客候車規模平均值為，在連續的所有公交站處的最大停靠站延誤時間為 t停max，發車間隔T ≥t停max，根據式(2)，有

式中:w0max為高峰期全線各車站中單位時間內乘客候車規模最大值，人/min。

2)滿足在中心城區路段運行時不出現列車化現象的條件。令全線路所有公交車站乘客候車規模平均值為，在連續wi＞的所有公交站所包含的運行區間內，存在車頭時距最小值hmin≥T，且此時車頭間距s同hmin的比值s/hmin應不小于該運行區間道路臨界速度vm。

2.1.2 乘客服務水平的條件

車輛在發車間隔內最大乘客候車規模為w0maxT，令ρ為確保乘客舒適度的實際載客數同最大載客數之比，C為車輛最大載客數，存在:

綜合式(1)、式(2)，最小發車間隔Tmin成立條件為:

綜上，在確定最小發車間隔時需要滿足的兩個基本條件是:公交車在全線運行過程中不出現列車化現象;乘客服務水平應在原有基礎上提高，或盡量保持原有服務水平。但在實際情況下，緩解公交列車化現象并不是實現公交車調度的唯一目的。在確定公交車發車間隔時，其他已有的約束條件(如客流)同最小發車間隔約束條件相比同樣重要。最小發車間隔這一變量是在已有的方法和思維方式基礎上的延伸，并非從根本上對現有公交車調度方法進行改變。

2.2 最小發車間隔現實意義

2.2.1 道路服務水平

設置最小發車間隔后，車輛以離散的形式取代連續到達的形式進入考察路段，因此不存在跟馳運動及運動狀態以交通波的形式向后傳遞的現象，故不會出現列車化現象，較高的道路服務水平將得到維持。

2.2.2 車輛運營成本

若相鄰兩班次車輛在到達該線路上乘客候車規模最大的車站所對應的運行區間或在此之前已發生列車化現象，那么當處于該運行狀態的公交車經過該路段后，將面對乘客候車規模越來越小的情況，造成運力浪費，導致運營成本提高。設置最小發車間隔現實意義之一是降低該線路車輛運營成本。

2.2.3 乘 客

當Tmin=t停max時，會發生當前車剛出站時后車恰好進站這種理想運行狀況(圖2)，確保了乘客的乘車需求始終能夠得到滿足。由于車輛在全線路段運行過程中存在最小車頭時距hmin，因此“一直等不到車，但在下一班時同時有多輛車同時進站”的現象將得到緩解。

圖2 最小發車間隔取下限值時車輛運行狀況Fig.2 Vehicle operation conditions with lower limit value of minimum headways

3 模型的建立

3.1 建模思路

在設置最小發車間隔時，既要使公交企業運營成本最小，又要使乘客服務水平最大。為方便求解，將該問題轉化為單目標優化問題。將乘客服務水平轉換為乘客出行成本，因此，原問題目標函數為求公交企業運營成本同乘客出行成本之和的最小值，該問題的最終目的是需要求得最小發車間隔在目標函數取最小值時的結果。同時為確保不發生公交列車化現象，將對最小發車間隔的取值范圍做出確定，作為約束條件，將運營成本和乘客出行成本均看作是最小發車間隔的函數。

由于最小發車間隔越小，平均周轉時間內該線路車輛的配車數越多，故該線路配車數同最小發車間隔成反比例關系，得出公交企業運營成本同最小發車間隔成反比例關系;乘客的出行成本與乘客平均候車時間和車輛平均滿載率(分別對應乘客候車成本和乘客乘車成本)有關，關于乘客候車成本，應考慮站臺的乘客候車規模和平均候車時間;關于乘客乘車成本，應考慮車站處斷面流量和車輛平均滿載率。綜合以上兩點得出乘客出行成本同最小發車間隔成正比例關系。

確定運營成本、乘客出行成本同最小發車間隔的函數關系后，需要根據二者的側重程度來分別確定其權重系數，相加得到目標函數。約束條件從以下角度考慮:車輛配車數上限、按乘客舒適度確定的車輛滿載率上限、不出現列車化現象條件下的最小發車間隔取值范圍等。

3.2 模型假設

1)特定時間段所有車輛都沿規定的路線運行且均在一條公交專用道上行駛;

2)同一線路上所有公交車具有相同的最大載客數量;

3)所有在車站候車的乘客在車輛到達時均上車，乘客上下車平均時間固定，車輛進站、出站時間固定;

4)同一線路所有車輛在特定時間段內發車間隔固定;

5)車輛運行速度只與道路交通條件、交通流狀態有關，某特定運行區間、特定時間段內平均運行速度為恒定值;

6)所有車輛在任何情況下均不允許超車和越站;

7)同一線路不同票價之間不具有相關性;

8)同一線路所有車輛在特定時間段內均按最小發車間隔發車。

3.3 變量及符號說明

3.4 模型建立

3.4.1 公交公司運營成本

假設車輛均以最小發車間隔發車，得到運營成本關于最小發車間隔的函數為:

3.4.2 乘客出行成本

乘客出行成本包括候車成本和乘車成本兩部分。

1)乘客候車成本。乘客候車成本與發車間隔內車站所有乘客平均候車時間有關。車站i在最小發車間隔內乘客的候車規模為:

在乘客候車規模很大的情況下，可將乘客平均候車時間簡化為同一線路相鄰兩班次車輛到達時間間隔Tmin的一半。故所有車站乘客候車總時間為:

加入經驗折算系數，得到乘客候車成本關于最小發車間隔的函數為:

2)乘客乘車成本。乘客乘車成本與車站處斷面流量和平均滿載率有關。所有車站在Tmin時間內單向斷面平均流量為:

車輛在所有車站處平均滿載率為:

加入經驗折算系數，得到乘客乘車成本關于最小發車間隔的函數為:

將式(10)與式(13)相加，得到乘客出行成本關于最小發車間隔的函數:

3.4.3 確定目標函數

對公交公司運營成本和乘客出行成本分別賦權重α和β的值。將公交公司運營成本和乘客出行成本加權平均得到總成本關于最小發車間隔的函數，即:

3.4.4 確定約束條件

該模型約束條件如下:

第1個約束條件表示線路配車數不能大于該線路最大配車數;第2、3個約束條件為不出現列車化現象條件下的最小發車間隔的取值范圍，在原有的基礎上加入了公交公司所允許的最大發車間隔;第4個約束條件表示車輛在所有公交車站處的平均滿載率不能大于按乘客舒適程度確定的最大值;第5個約束條件表示車輛在路段上運行存在最小車頭時距時車輛的運行速度應不小于臨界速度。

3.5 模型求解

1)化簡約束條件，得到最終約束條件為:

令:

2)對目標函數化簡，令:

化簡后的模型為:

3)對目標函數求導，令導函數等于0，解得該方程必然存在的一個實根，得到最小發車間隔的值。同時根據現有條件計算式(21)約束條件的值，來判斷結果是否合理。

3.6 模型評價

從定性的角度來看，本模型的優越性在于:①為緩解公交列車化現象，設置了最小發車間隔變量，并將不發生列車化現象作為一個約束條件來確定最小發車間隔的取值范圍;②在考慮到增加不發生列車化現象作為約束條件的同時，還考慮到了運營成本和乘客服務水平的因素，盡量做到運營成本最小、乘客利益最大，顧及到了雙方的利益。

本模型的的不足之處有:①模型部分假設條件較理想化。如本模型假設所有在車站候車的乘客在車輛到達時均上車，假設某特定運行區間內在特定時間段內平均運行速度為恒定值等。②經驗折算系數和權重系數的取值上帶有主觀因素，影響計算結果。

從定量的角度看，可以用以下兩個指標來對模型進行評價:

1)公交列車化現象出現概率

根據式(1)，令其中變量:

式中:λ為車輛到達率，輛/min。

將該模型求得的最小發車間隔、原有的最小發車間隔代入式(22)和式(1)中，計算P(h≤t)，比較其結果可得該模型效果優劣。

2)總成本

總成本即該模型的目標函數最優解。將求得的最小發車間隔和原有的最小發車間隔代入式(16)進行計算，比較其結果可得該模型效果優劣。

4 實例分析

4.1 線路基本情況

選取成都市81路公交車作為分析對象。該線路公交車由金沙公交站開往五桂橋站，全長14.2 km，共設18個車站。該線路車輛主要在公交專用道上行駛。乘客候車規模較大的車站為金河路至水碾河之間的車站，對應的運行區間占線路全長31%，公交列車化現象明顯，同時其客流變化規律也有典型代表性。

4.2 參數取值

根據實地調查，81路公交車由金沙公交站至五桂橋站運行時全線車站單位時間內乘客候車規模w0i的值和單向斷面流量pi的值如表1。

4.3 計算結果及評價

根據該模型計算結果，81路公交車在平峰時期的最小發車間隔應設置為4 min。根據約束條件得出，當最小發車間隔取值在3.44～6 min間隔內，車輛全線運行時不會發生列車化現象。若按原有的調度計劃，平峰時期的發車間隔為3 min，不能滿足這一條件。

4.3.1 公交列車化現象出現概率P(h≤t)

1)按原有發車間隔計算。車輛到達率λ=0.33輛/min。將該值代入式(1)，取參數τ=0.018 min，t=1 min，P(h≤t)=0.275。

2)按本文模型計算。車輛到達率λ=0.25輛/min。將該值代入式(1)，取參數 τ=0.018 min，t=1 min，得到 P(h≥t)=0.855，P(h≤t)=0.145。按本文模型計算出的最小發車間隔進行發車時，公交列車化現象出現概率比按原有發車間隔進行發車時小，證明本文模型有一定優化作用。

4.3.2 總成本 C(Tmin)

1)按原有發車間隔計算。最小發車間隔Tmin=T=3 min，其它參數按照4.2節進行取值，并代入式(16)，得到結果C(Tmin)=2 026(貨幣單位)。

2)按文中模型計算。最小發車間隔 Tmin=4 min，其它參數按照4.2節中進行取值，并代入式(16)，得到結果C(Tmin)=1 900(貨幣單位)。按文中模型計算出的最小發車間隔進行發車時，總成本比按原有發車間隔進行發車時小，證明本文模型具有一定優化作用。

5 結語

將確定公交車最小發車間隔的方法同緩解公交列車化問題進行交叉研究，得出以下結論:

1)對于特定公交線路全線運行過程中發生的串行現象，可以采用移位負指數分布的分布函數進行定量描述。

2)在特定的公交線路上產生串行現象的因素主要有乘客候車規模、區間平均運行速度、發車間隔、車站泊位數和平均站距。

3)最小發車間隔應至少確保兩個條件:①滿足公交公司效益，即全線不出現串行運行;②滿足乘客利益，即至少確保乘客服務水平在原有基礎上不變。

4)以緩解列車化現象為約束條件，最小發車間隔為決策變量，公交公司運營成本和乘客出行成本之和最小為目標函數的計算模型是一種在緩解公交列車化現象條件下的新型最小發車間隔求解方法，并具有可行性和有效性。

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