基于改進微分進化算法的電力系統無功優化

徐志成，錢金法（常州機電職業技術學院，江蘇 常州 213164）

1 引言

無功優化是電力系統經濟運行最重要的手段之一，常用的方法包括靈敏度法、非線性規劃法、內點法等。這些方法通常需要使用梯度矢量信息，這使得在求解具體問題時不得不做一些近似處理，因為在電力系統無功優化中存在較多離散變量；同時，無功優化問題又是一個多約束優化問題，將這些約束條件同時考慮時，就不能保證其性能指標是一個凸函數，而有可能是一個多峰值的函數，以上幾種方法都是基于單點的搜索方法，很容易由于初始點的選取不當而陷入局部極值區。

近年來，遺傳算法、免疫算法等現代啟發式尋優方法在無功優化方面做了大量的研究[1-4]，彌補了傳統數學方法的不足。基于遺傳算法的無功優化方法有許多優良特性，能找到近似的全局最優解。但是該算法缺點是計算時間長[3-5]，很難滿足實際運行的需要，其主要原因是遺傳算法局部搜索能力差，容易出現早熟而收斂到局部最優解[5-7]。采用自適應等改進的遺傳算法可以改善算法性能[5-6]，但并沒有完全解決這些問題，目前的遺傳算法仍然存在計算速度慢的問題。加快算法的收斂速度，改善算法解的質量是目前研究的重點。

學者Stron和Price針對實參數優化問題提出了微分進化(differential evolution)算法[7-10]，其主要特點是收斂速度快、可調參數少、魯棒性好、算法簡單，近些年逐漸被人們所接受，成為研究的熱點之一。本文在對基本DE算法進行改進的基礎上，利用其強大的尋優能力來進行電力系統無功優化研究，并針對實際對象進行了仿真實驗。

2 DE算法

2.1 初始化

同GA、PSO等進化算法一樣，在尋優時需要對種群數量的大小及初始種群進行生成。通常，初始種群的生成方法是從給定邊界約束內的值中隨機選擇，應該覆蓋整個參數空間。而種群數量Np一般取10倍于所求解問題規模的維數。設第i個個體Xi=(xi，1,xi，2,…,xi，n)，Xi∈Rn，n為問題解空間的維數，初始種群s= {X1,X2,…,XNp}，為個體的集合。一般個體向量Xi各個分量的產生方式為

式中xi,j、xi,jmax、xi,jmin分別為個體向量Xi的第j個分量及第j個分量的上下限。

2.2 變異

對于第k+1代每個目標向量，基本DE方法變異向量產生方式為：

2.3 交叉

式中：qi是從[1，n]中隨機選取的一個整數，用以保證本次操作必須有一位經過交叉；ηj∈[0,1]是針對第j維分量隨機選取的控制參數；交叉因子CR∈[0,1]為算法參數，需要事先確定，其控制著種群的多樣性，幫助算法從局部最優解中脫離出來。

2.4 選擇

在標準DE方法中，使用“貪婪”選擇模式：當且僅當新個體的評價函數值更好時，才被保留到下一代群體中，否則，父個體仍然保留在群體中，再一次作為下一代的父向量。

2.5 DE的控制參數

控制參數的選擇對DE算法的搜索性能有較大的影響，根據經驗，種群數量Np可選擇在5～10倍的問題維數之間，但Np必須大于4以確保DE具有足夠的不同變異向量。比例因數F和交叉因數CR在進化過程中的取值區間一般分別是[0.4，0.9]和[0.3，0.8]，它們的優化值往往依賴于目標函數的特性。

2.6 DE算法的改進

在DE算法中，控制參數的合理設置是一個十分困難的問題，許多學者對此問題作了專門的研究，使得DE參數的控制策略有了很大的提高，但一般采用進化代數作為參數動態調整依據[8]。一般來說，F和CR不能過小，以避免算法過早收斂，較大的F和CR增加了算法從局部最優逃脫的可能性。然而，若F>1，則算法的收斂速度會明顯降低，這是因為當擾動大于群體內兩個成員間的距離時，收斂會非常困難。由式(2)可見，在搜索的初始階段，由于個體隨機分布在解空間中，因此向量的差值比較大，這時要求算法的控制參數F相對小一些；隨著種群的不斷進化，各個個體逐漸靠近最優個體，算法中的變異操作產生的差向量會逐漸變小，在一定程度上減弱了算法搜索空間的多樣性，因此要求此時的控制參數F相對大一些，使得變異操作后的向量能夠開拓新的搜索空間，從而提高算法的全局尋優能力。同樣，對交叉因子來說，過小的CR使得算法的種群在交叉操作后產生較少的新個體，這樣就減弱了算法開拓新空間的能力；而過大的CR使得種群不能較好地保持穩定，降低了算法的穩定性。

由式(2)可見，要對算法參數較好的進行控制，就要動態掌握種群的個體分布情況，根據個體的分布，確定合適的控制參數。在進行尋優的過程中，群體適應度方差是一個能夠較好體現當前個體與最優點的分布情況的量化指標，計算方便，適合用來對控制參量進行動態調整，適應度方差計算如下：

式中，Np為種群數量；fi為第i個個體的適應度；fav為種群的平均適應度；fbest為群體最佳適應度。由式(4)可見，適應度方差的取值范圍在[0，Np]，群體適應度方差 σ2越小，群體聚集程度越高；反之，則群體個體分布越分散。考慮種群分布情況后，DE算法的第k代控制參數自適應調整策略為：

式中，Fmax、Fmin為差分因子F的上下限；CRmax、CRmin為交叉因子CR的上下限。

3 基于改進DE算法的電力系統無功優化

3.1 問題描述

電力系統實現無功功率的優化調度與控制，可以改善系統的電壓質量，減少電能傳輸損耗。無功優化的目的是通過調整無功潮流的分布降低有功網損，并保持最好的電壓水平，因此，目標通常是有功損耗最小，即

PL為系統的有功損耗，其表達式為：

式中，Ui、Uj為節點i、j電壓；θij為節點i電壓和節點j電壓的相位角之差；Gij、Bij為節點導納矩陣中元數的實部和虛部。

等式約束條件為：

式中，Pi、Qi為節點i注入的有功和無功功率；

不等式約束條件為：

式中，Uimax和Uimin為PQ節點i的電壓幅值上下限；Qimax和Qimin為 發電機節點i無功出力上下限；QCi、QCimax、QCimin為無功補償裝置節點i投切量及其上下限；KTi、KTimax、KTimin為有載可調變壓器i變比及其上下限；UGi、UGimax、UGimin為PV節點發電機機端電壓幅值及其上下限。

為了方便與文獻[11]比較，本文取（11）式作為無功優化目標函數:

λuPu為PQ節點電壓越限的懲罰項，λu為懲罰因子，Pu的表達式為：

λQPQ為PQ節點無功越限的懲罰項，λQ為懲罰因子，PQ的表達式為：

采用本文算法進行無功優化時，位置x(k)的各維變量由無功優化問題中的控制變量UG、KT、QC組成，即

發電機電壓UG的取值范圍為[0.9 1.1]，且是連續的；變壓器檔位KT的取值范圍為[0.9 1.1]，間距為0.02；電容器無功QC的取值范圍為[-0.1 0.1]，間距為0.02。

3.2 實例仿真

以IEEE30節點系統為例，用MATLAB7.0編程，對上述模型和方法進行驗證。系統具有30個節點、6臺發電機、4臺可調變壓器。節點電壓變化范圍均為0.94～1.06p.u.。有載調壓變壓器的檔位范圍均為1±8×0.0125。系統在節點10、24處分別配置了可投切電容器組，節點10處并聯電容器組電納可調上限為0.50p.u.，分段步長0.10p.u.，節點24處并聯電容器組電納可調上限為0.10p.u.，分段步長0.02 p.u.。

為了進一步說明本文方法的有效性，本文同時采用PSO算法，并與文獻[11]中二次變異遺傳算法（SMGA）的結果相比較。

方便于比較三種算法的性能，與文獻[11]相同，三種算法的收斂條件為：連續8代目標函數值沒有減小并且計算代數大于設置的最小代數。在滿足不等式約束的條件下，計算100次進行統計。計算代數統計見表1；100次計算中最好、最差和平均網損統計見表2；優化的網損分布區域統計見表3。

表1 計算代數統計

方法 最好 最差 平均 偏差SMGAA 0.04641 0.06149 0.04685 0.00024 PSO 0.04919 0.06456 0.06201 0.00256 DE 0.04450 0.04660 0.04555 0.00012

表3 網損分布區域統計

從表1可以看出，文獻[11]中提出的二次變異遺傳算法(SMGA)用于電力系統無功優化，其計算最小代數為30，最大代數126，平均代數63；運用PSO算法，其計算最小代數為39，最大代數139，平均代數89；而運用本文提出的方法，其計算最小代數為13，最大代數62，平均代數36。可以看出，本文方法的收斂速度遠遠高于上述兩者方法。

從表2可以看出，SMGA算法的優化結果分布在0.04641～0.0490p.u.區域，最好和最差網損相差2.25%；本文方法的結果分布在0.0455～0.0460p.u.區域，最好網損和最差網損相差2.55%。可以看出，本文方法得到的平均網損和標準偏差均比SMGA算法、PSO算法小，本文方法的尋優性能更好，且優化結果更集中，可見運用本文方法能搜索到更好的優化解，其解的質量更高，本文方法的標準偏差低于SMGA算法和PSO算法，說明本文方法更具有穩定性。

從表3數據可以看出，SMGA算法的優化結果分布在0.0460～0.0490p.u.之間；本文方法的優化結果分布在0.0455～0.0475p.u.之間，這說明本文方法優化結果比SMGA算法更加集中在小的區域并且集中在網損小的一端， 同樣說明本文方法較SMGA算法的尋優性能及穩定性更好。

4 結語

無功優化在電力系統經濟運行中占有重要的地位，對其進行研究具有重要的現實意義。DE算法是一種基于群體優化的全局搜索方法，可有效解決無功優化這類非線性混和整數優化問題。通過對IEEE30節點系統的仿真分析表明，DE比GA以及PSO算法的搜索性能更好，能在較短的搜索時間內找到更接近于全局最優解。

[1]DAS D B, PATVARD HAN C. Reactive power dispatch with a hybrid stochastic search technique[J].Electric Power Energy System,2002,24(9):731-735.[2]許文超,郭偉. 電力系統無功優化的模型及算法綜述[J].電力系統及其自動化學報, 2003,15(1):100-104.

[3]郭創新,朱承治,趙波,等.基于改進免疫算法的電力系統無功優化[J].電力系統自動化,2005,29(15):23-29.

[4]萬黎,袁榮湘.最優潮流算法綜述[J].繼電器,2005,33(11):80-87.

[5]鐘紅梅,任震,張勇軍,等.免疫算法及其在電力系統無功優化中應用[J].電網技術,2004,28(3):16-19.

[6]LAI L L, MAJ T. Application of evolutionary programming to reative power planning comparison with nonlinear programming approach[J]. IEEE Trans on Power System, 1997,12(1):198-204.

[7]Stron R, Price K. Differential evolution-a simple and efficient adaptive scheme for global optimization over continuous spaces[R]. Technical Report TR-95-012, ICSI, 1995.

[8]Stron R, Price K. Differential evolution-a simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces[J]. Journal of Global Optimization,1997,11:341- 359.

[9]Stron R, Price K. Minimizing the real functions of the ICEC 96 contest by differential evolution [C]. IEEE Conference on Evolutionary Computation,Nagoya, 1996: 842-844.

[10]Junhong Liu, Jouni Lampinen. A fuzzy adaptive differential evolution algorithm[C]. Proceedings of IEEE Tencon’02. Beijing, China,2002:606- 611.[11]康積濤,錢清泉. 電力系統無功優化的二次變異遺傳算法[J]. 電力自動化設備, 2007,27(9):7-11.

★ [基金項目]：國家自然科學基金資助項目（60421002）