時間相關的行波反應譜

黃明開

(協和集團，上海 200040)

0 引言

地震行波效應的研究普遍認為:地震行波效應一般使地震反應比一致輸入時小[1，2]，因為從輸入輸出看，一致輸入的輸入量總是大于行波輸入的輸入量。但是就像活載分布的結構影響一樣，并非滿載時結構構件截面的力就是最大的，行波輸入也是這樣的，當結構跨度不是非常大時，由于地震波速很快，因此其各點之間的輸入差別不大，用輸入輸出來解釋是沒問題的;當結構跨度超大時，各點之間的輸入差別較大，這種差別可以對結構的有些節點和截面產生影響，往往會出現地震效應比一致輸入大的情況，跨度135 m的結構在地震波速為500 m/s時的地震反應就會出現增大的現象[3]，也就是說，如果地震波速按常規1 000 m/s考慮，跨度300 m左右的結構的行波效應就應該考慮。目前行波效應更多的用時程分析法進行分析計算，而作為工程應用還不容易實現，也不經濟。如果能用反應譜法對結構進行一些即便是定性的評估也是很有現實意義的。常規的反應譜法不能考慮行波效應等復雜的因素，文獻[4][5]介紹了一種由Berrech和Kausel提出的非一致激勵反應譜法。該方法是反應譜方法的一種推廣，它通過對反應譜方法中一些系數的調整，可以在一定程度上考慮行波效應和部分相干效應。目前其簡化后的結果仍然難以付諸工程應用，且系數簡化所帶來的問題還有待進一步評估。本文將推導時間相關的行波反應譜法，為工程中考慮行波效應提供方法參考。

1 理論推導

其中，m為正弦函數和余弦函數的項數;ωi為第i個圓頻率;φi為正弦函數和余弦函數的相位;t為時間;Ai，Bi均為常數。根據隨機振動理論，a1(t)有無窮多條，根據結構共振原理可知，取得譜值的a1(t)，其主要頻率成分必然集中于ωi=ω1的附近。因此a1(t)又可表示為:

其中，O為余項。上式可以進一步近似為:

其中，n為待定系數。則由于行波作用的影響，支點2對應于周期為T1、圓頻率為ω1體系的加速度反應時程為:

時—頻分析的任務是要描述信號的頻譜含量怎樣在時間上變化，研究并了解時變頻譜在數學上和物理上是一個怎樣的概念。在歷史上，對時—頻分析的研究開始于20世紀40年代[6]。其中有許多著名的學者，特別是伽波爾和維爾受到量子力學中類似研究的啟發，他們把部分數學相似性引入時—頻分析。他們指出，經典傅立葉分析只能把信號分解成單個的頻率分量，并建立起每一個分量的相對強度，但是，能量頻譜并沒有告訴我們那些頻率在什么時候出現。而時—頻分布則使我們能夠知道在某一特定的時間和頻率范圍有多少能量，并能夠計算在某一特定時間的頻率分布，還能夠計算這個分布的整體和局部的各階矩等等。假設距離為d的兩支點1和2，支點1對應于周期為T1、圓頻率為ω1體系的加速度反應時程為a1(t)，則a1(t)可由傅立葉級數展開，如下式所示:

其中，c為視波速。

將a2(t)按三角函數展開可得:

a1(t)關于時間t取得極值的條件為式(1)右邊關于t的導數等于0，即:

即當支點1的加速度取得幅值，即極值時，支點2的加速度值為:

同理可得支點1對應于周期為 T2，T3，TiL圓頻率為 ω2，ω3，ωiL體系的加速度反應與支點2對應于周期為T2，T3，TiL圓頻率為ω2，ω3，ωiL體系的加速度反應的關系，如式(8)所示。將上述結果推廣為多個支點，則第i個支點上的加速度反應值應為一致輸入下的譜值的cosθi倍。

其中，Ai(ω)為第i支點的加速度譜值;Amax(ω)為一致輸入下的加速度譜值;di為第i個支點與第一個支點之間的距離。

假設一個頻率為3.14 Hz的系統，跨度為180 m，當視波速為1 000 m/s時，在支點1取得譜值時，由式(9)可知，支點2的譜值應為支點1的譜值的0.944倍。當各點的譜值計算出來后，就可以按傳統的振型疊加反應譜法進行計算結構的反應了。

2 應用前景

對于超大跨度結構而言，通過時間相關的行波反應譜，可以在工程應用中較方便地評估地震的行波效應，為工程實踐提供方法依據。對于超高層建筑而言，地震反應會出現時滯問題。即:基底地震反應已經出現了，而頂部還沒有任何反應。因為對于彈性體而言，受力到完成變形到傳遞力是需要時間的。如何評估這樣一個問題，中規中矩的就是用波動理論。問題是波動理論就像靜力學里面的彈塑性力學一樣，其研究的結果能夠有很高精度的數學解，但最終卻因為前期的諸多假定，讓這些結果與實際有差距，不能在工程中直接應用，而不得不采用經驗公式。“簡單是真的印記”，在高層建筑的高度方向近似地考慮行波效應是比較簡單務實的考慮。因為科研的本質也并不在于理論是否難懂，公式是否復雜，而在于是否能夠反映客觀事實。因為行波反應譜在結構高度方向的作用是正三角形，而風荷載是倒三角形，所以這樣組合的結果將比傳統的做法更為合理，也更為經濟些。當然行波反應譜還需要大量實驗和實踐的支持和完善。

[1] 樓夢麟，邸 龍.地震行波激勵下單層柱面網殼反應分析[J].結構工程師，2005，21(5):48-52.

[2] 樓夢麟，黃明開.上海浦東機場(二期)候機樓水平地震行波效應時程分析[J].建筑結構，2009，39(2):8-11.

[3] 黃明開，樓夢麟.浦東機場候機樓豎向地震行波效應時程分析[J].地震工程與工程振動，2009，29(3):15-21.

[4] Mounir K，Berrrah，Eduardo Kausel.A model cordial combination rule for spatially varying seismic motions[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1993，22(9):791-800.

[5] Yamamura N，Tanaka H.Response analysis of flexible MDF systems for multiple support seismic excitation[J].Earthquake Engineering ＆ Structural Dynamics，1990(19):345-357.

[6] L.科恩.Time-Frequency Analysis[M].西安:西安交通大學出版社，1998.