欠定盲分離方法預報水下雙層圓柱殼輻射聲場

陶襄樊，陳美霞，魏建輝

(華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北 武漢 430074)

0 引言

圍繞彈性結構振動和輻射聲場預報這一問題，國內外學者進行了廣泛而深入的研究。目前主要的預報方法大致可以分為基于模態的方法、基于近場聲全息的方法以及基于物理聲學的方法等。

文獻［1］對聲輻射模態作了深入研究，并利用聲輻射模態對平板的輻射聲場進行了重構。文獻［2］以簡支矩形板為研究對象，分別運用振動模態和聲輻射模態對其輻射聲功率進行了預報，并比較了2種模態展開方法對傳感器數目的要求。文獻［3］忽略聲波的波長對結果分辨率的影響，提出了近場聲全息技術。文獻 ［4］以1個無限大障板簡支的薄板為研究對象，通過Helmholtz波動方程最小二乘法得到聲壓的球面波函數表達式，對簡支薄板的輻射聲場進行預報，并與解析法結果進行對比。文獻［5］對3種主流的近場聲全息技術的算法進行了分析和對比，綜述近場聲全息發展的現狀。文獻［6］從物理聲學的角度，基于平面波假設直接建立表面聲壓與聲速的簡單關系，避免了Helmholtz積分方程及其逆矩陣的求解，實現了高頻范圍內輻射聲場的快速預報。文獻 ［7］以聲場疊加原理為基礎，根據聲傳遞特性直接建立結構表面振動與輻射聲場間的傳遞關系提出了單元輻射疊加法，在更寬的頻率范圍內實現了結構輻射聲場的快速近似預報。

通過結構表面M個測點的振速及結構前N階模態求解模態參與因子，是基于振動模態疊加原理預報結構振動和輻射聲場的基礎?，F有的相關研究中，為使方程有唯一解，一般在M≥N的情況下求解模態參與因子，從而在N的值較大時需要布置非常多的傳感器。為解決這一問題，本文通過充分考慮模態參與因子向量自身的稀疏特性，提出了預報結構振動和輻射聲場的欠定盲分離方法，實現在M＜N的情況下，對水下雙層加筋圓柱殼速度場的重構，并以重構出的速度場作為邊界條件，運用邊界元方法對水下雙層加筋圓柱殼的輻射聲場進行預報。

1 理論分析

1.1 模態疊加原理

對于水下彈性結構的振動響應，由結構干模態疊加原理［8］，結構振動位移響應向量在頻域中的解可表示為

式中:φr為真空中結構的第r階振型;ξr為結構的第r階模態參與因子。將式(1)表示成矩陣的形式:

式中:［Φ］為結構在真空中的固有模態矩陣，稱為干模態，可以看成是結構在空氣中的模態矩陣;［ξ］為模態參與因子向量。

對于水下雙層加筋圓柱殼結構，若將其離散為n自由度系統，由式(2)可得，結構表面法向振動速度場可表示為

由模態疊加原理［9］可知，高階模態對結構振動響應的貢獻很小，所以可采用模態截斷的方法，忽略高階模態的影響。設選取的模態階數為N，式(3)可表示為

從而可得結構表面任意M個測點法向振速為

由式(5)可以看出，通過M個測點法向速度，結合結構空氣中的前N階模態矩陣，如果能求得模態參與因子向量 ［ξ］N×1，則由式(4)可以重構出結構表面的速度場，實現預報水下雙層加筋圓柱殼振動和輻射聲場的目的。

對于由式(5)確定的線性方程組，當M≥N時，式(5)為超定或恰定方程組，通過最小二乘法或解方程可以得到 ［ξ］N×1的唯一解，但此時測點數目必須大于或等于模態的數目。對于復雜的結構，當振動響應的頻率較高時，需要的模態數目較多，此時需要布置較多的傳感器，實際中往往難以實行。

相比而言，M＜N更符合實際中常常需要的情況。此時式(5)為欠定方程組，方程的解非唯一，這成為在M＜N的情況下進行速度場預報的難點。由模態疊加原理可知，對于結構在某一頻率下的響應，只有少數幾階模態的貢獻較大，其他各階模態對響應的貢獻都很小，從而 ［ξ］N×1向量具有一定的稀疏特性。本文的欠定盲分離預報方法正是從 ［ξ］N×1向量自身的稀疏特性出發，從式(5)的所有解中，尋找最接近結構實際振動情況的解。

1.2 欠定盲分離方法

欠定盲分離是信號研究領域里近幾年的一個熱點問題，主要用來解決式(6)所描述的問題:

向量的稀疏性是指向量的大多數元素為0或接近0，而遠大于0的元素個數非常少;向量中遠大于0的元素個數越少代表向量越稀疏。式(6)所描述的是1個優化問題:當 ［V］M×1和 ［Φ］M×N已知時，在M＜N的情況下，通過研究 ［ξ］N×1滿足的稀疏特性，對 ［ξ］N×1附加稀疏性約束，從等式條件的所有解中，找出滿足 ［ξ］N×1向量稀疏特性的最優解。該最優解可作為實際情況的近似解。

數學上向量的0范數l0定義為向量中非零元素的個數，因此可以用向量的0范數l0來對向量的稀疏性進行度量［10］，從而可以將欠定方程組(5)的求解問題轉化為

l0范數最小化問題是一個非凸最優化問題，目前為止還沒有解決這一問題的有效算法，并且當‖ξ‖0=M時，任何滿足約束條件的有M個非零元素的向量 ［ξ］都是式(7)的最優解，從而無法確定最終解。針對這一問題，文獻 ［11］指出l0與l1范數解的等價性，利用l1范數代替l0范數，將問題轉化為一個凸最優化問題，式(7)可以等價表述為

綜合式(6)～式(8)可以看出，利用盲分離的思路，通過 ［ξ］N×1向量具有的稀疏特性，結構速度場的重構問題可以轉化為在等式［V］M×1=［Φ］M×N［ξ］N×1條件下，求模態參與因子使其1范數最小的優化問題。式(8)所表述的凸最優化問題的解可以唯一確定，并且對這一類凸最優化問題，目前已有多種成熟的求解方法，如線性規劃法［12］、最短路徑法［13］和組合算法［14］等，其中線性規劃法是一種常用的求解方法。

本文在M＜N的情況下，采用線性規劃方法對該優化問題進行求解。由式(8)可以看出，模態選取的階數、測點的位置及個數都會對式(8)中的等式約束條件產生影響，進而影響到 ［ξ］N×1的解。首先用數值方法對這些影響因素進行分析，在分析的基礎上，通過數值和試驗方法對水下雙層加筋圓柱殼的振動和輻射聲場的預報結果進行驗證。

2 數值分析

2.1 模型介紹

本文所選用的模型為工程領域里常用的雙層圓柱殼結構，具體結構形式如圖1所示。雙層圓柱殼內徑R1=0.425 m;外徑R2=0.525 m;長度L=1.05 m;內殼厚度t=4 mm;外殼厚度t2=2 mm;實肋板厚度t3=2 mm;內殼環肋截面尺寸4 mm×33 mm;材料彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3，阻尼比ξ=0.005。

2.2 影響預報結果的因素

根據上述的欠定盲分離預報方法，本文首先研究選取的模態階數對預報結果的影響?？紤]到水下雙層加筋圓柱殼的測點一般布置在內殼，在雙層加筋圓柱殼的內殼均布了24個測點，對24個均布測點由A到C截面依次編號為1～24號，如圖1所示。以圖1中坐標系為參考坐標系，在聲場中確定了2個場點，分別為P(0，6，0.525)和Q(0，10，0.525)。以水下雙層加筋圓柱殼的輻射聲功率和較遠場點Q的場點聲壓作為評價標準，比較了不同模態階數對預報結果的影響，結果如圖2所示。

經分析可以看出:在0～400 Hz范圍內，利用前300，500和700階模態均可較準確預報出輻射聲功率和場點聲壓;在400～800 Hz范圍內，利用前300階模態預報出的輻射聲功率結果偏差較大，利用前500和700階模態預報出的輻射聲功率和場點聲壓結果較準確。說明預報時所需要的模態階數與結構振動響應的計算頻率有關，計算頻率越大，所需要的模態階數也就越多，當選取的模態包括了對響應貢獻最大的幾階模態后，再增加模態的階數對預報結果的影響不大，這與模態疊加法計算結構響應的原理是一致的。

由圖2可看出，利用前500階模態已經可以較準確重構出0～800 Hz的輻射聲場。在保持模態階數N為500的情況下，本文研究了測點位置的變化對預報結果的影響。分別選取2組測點，一組為圖1中的24個均布測點，另一組為24個隨機選取的測點，對比結果如圖3所示。

由圖3可看出，在0～400 Hz的頻率范圍內，通過24個均布測點預報所得的輻射聲功率和場點聲壓結果與24個隨機測點結果相差不大，在400～800 Hz的頻率范圍內，24個隨機測點預報結果的擾動性較大，相比之下，24個均布測點預報出的結果更加穩定。由式(8)可以看出，等式約束條件與所選的測點對應，所選測點越能反映計算頻率處整個結構的振動分布情況，則預報的結果越準確，24個均布測點考慮到的位置越全面，越能更好反映0～800 Hz范圍內各個計算頻率處結構的振動分布情況，預報結果的準確性就更穩定，在布置測點時，建議優先選取均布的方式來布置測點。

在以上分析的基礎上，仍取模態階數為500，進一步研究了測點數目的變化對預報結果的影響。依次選擇了12，24和40個測點來進行預報。其中12個測點為圖1中1～24號測點中的奇數號點;24個測點為圖1中1～24號測點，40個測點為在1～24號測點的基礎上在每相鄰兩檔測點的中間又對應均布8個測點所得到的測點。對比結果如圖4所示。

圖4 24個均布測點和40個均布測點前500階模態重構結果對比Fig.4 The comparison of reconstruction between twenty-four equispaced measure points and forty equispaced measure points in five hundred modes

由圖4可看出，12個測點預報出的輻射聲功率和場點聲壓偏差較大，24個和40個場點預報出的輻射聲功率和場點聲壓較準確，并且40個測點比24個測點能更準確預報出場點聲壓。說明通過欠定盲分離的方法可以實現較少測點預報輻射聲場的目的，并且增加測點的個數可以提高預報的精度。

綜合分析圖2～圖4的結果可以看出，本文提出的欠定盲分離預報方法夠通過較少數目的測點對水下雙層加筋圓柱殼輻射聲場做出預報，并且該方法對模態階數及測點位置的要求比較寬松，使得該預報方法在實際使用時有一定的靈活性。

2.3 數值預報結果

在上述分析的基礎上可以看出，通過24個均布測點和結構的前500階模態，可以較好地對圖1所示的水下雙層加筋圓柱殼的輻射聲場進行預報。為了進一步驗證欠定盲分離方法的預報結果，本文對這一條件下的振動和輻射聲場的預報結果進行了綜合分析，結果如圖5～圖8所示。

圖5 振速級和聲功率級預報結果Fig.5 The reconstruction results of vibration velocity and radiated acoustic power

從圖5可以看出，本文方案在0～800 Hz的頻率范圍內對結構均方振速的預報與數值計算結果吻合得很好，能滿足預報精度的要求。對輻射聲功率的預報結果，在0～800 Hz頻率范圍內與數值計算結果基本一致;數值計算結果表明在400～600 Hz范圍內輻射聲功率有一段較劇烈的波動，而本文方法對這一波動細節的預報能力較差。綜合對比均方振速和輻射聲功率的結果，本文方法能在滿足要求的誤差范圍內對水下雙層加筋圓柱殼均方振速和輻射聲功率進行預報。

在以上分析的基礎上，本文進一步對水下雙層加筋圓柱殼結構輻射聲場的場點聲壓和聲壓指向性進行了預報。其中，聲壓對比所選場點為圖1中坐標系下的 P(0，6，0.525)和 Q(0，10，0.525)點;聲壓指向性對比所選的場點位于中垂面內R=50 m的圓周上，選取的預報頻率為260 Hz和680 Hz。對比結果如圖6和圖7所示。從圖6可以看出，在0～800 Hz的頻率范圍內，本文方法能較準確預報出輻射聲場中的場點聲壓隨頻率的變化情況，重構結果和預報結果吻合得很好。從圖7可以看出，在f=260 Hz和f=680 Hz這2個峰值頻率處，預報結果能對輻射聲場的聲壓指向做出判斷。場點聲壓和聲壓指向性的結果說明，在測點數目較少的情況下，利用欠定盲分離方法對水下雙層加筋圓柱殼的輻射聲場進行預報是可行的。

本文同時對比了f=260 Hz和f=680 Hz頻率處前500階模態的模態參與因子，結果如圖8所示。

圖8 模態參與因子重構結果Fig.8 The construction results of modal participation facto

從圖8可知，在260 Hz和680 Hz的響應峰值頻率處，欠定盲分離方法所得的模態參與因子與數值計算結果基本一致，重構結果能找到對響應貢獻最大的模態，并且重構出的最大模態參與因子誤差在5%以內，說明基于模態參與因子自身的稀疏特性，運用欠定盲分離方法求解模態參與因子是合理的。

3 結語

本文提出一種欠定盲分離的方法并對水下雙層加筋圓柱殼結構輻射聲場進行預報。數值結果表明該方法的預報結果是可靠的，并且該方法中測點數目和選取的模態階數相互獨立，能實現用較少數目的測點預報結構振動和輻射聲場的目的。

同時，本文研究了測點位置、模態階數和測點數目對欠定盲分離方法預報結果的影響，在測點位置和數目一定時，當所取的模態階數滿足計算頻率所需要的模態階數后，再增加模態階數對預報結果的影響非常小，這說明本文方法的預報結果在一定范圍內不會隨模態階數的變化而出現振蕩，具有較好的穩定性。在模態階數一定時，均布測點和任意位置測點均可以對輻射聲場進行預報，說明本文方法對測點位置的要求比較寬松，由于均布測點能更好地反映結構在各個計算頻率處的振動分布情況，預報出的結果更穩定，在選取測點的位置時，建議優先采用均布測點的測點布置方式。

［1］姜哲.聲輻射問題中的模態分析:Ⅲ.聲場重構［J］.聲學學報，2005，30(3):242 －247.

［2］陶建成，邱小軍.兩種模態展開法預測結構輻射聲功率時振動傳感器數目的要求研究［J］.應用聲學，2009，28(4):283－290.

［3］童仲堯，洪偉榮，吳榮仁.近場聲全息技術及其工程應用［J］.振動與沖擊，2008，27(S):302 －304.

［4］WILLIAMS E G，MAYNARD J D.Holographic imaging without the wavelength resolution limit［J］.Physical Review Letters，1980，45(7):554 －558.

［5］LU H C，WU S F.Reconstruction of vibroacoustic responses of a highly non-spherical structure using helmholtz equationleast-squares method［J］.J.Acoust.Soc.Am，2009，125(3):1538－1548.

［6］CHERTOCK G.Sound radiation from vibrating surfaces［J］.J.Acoust.Soc.Am，1964，36(7):1305 －1313.

［7］王斌.基于表面振動監測的大型水下結構輻射噪聲預報研究［D］.上海:上海交通大學，2008.35－59.

［8］陸鑫森.高等結構動力學［M］.上海:上海交通大學出版社，1992.

［9］傅志方，華宏星.模態分析理論與應用［M］.上海:上海交通大學出版社，2002.

［10］KARVANEN J，CICHOCKI A.Measuring sparseness of noise signals［A］.Proceedings of fourth international symposium on independent component analysis and blind signal separation［C］，Japan，2003:125 －130.

［11］DONOHO D L.For most large underdetermined systems of linear equations the minimal-norm solution is also the sparsest solution［J］.Communications on Pure and Applied Mathematics，2006，59(6):797 －829.

［12］LI Y Q，CICHOCKI A，AMARI S.Analysis of sparse representation and blind source separation［J］.Neural Computation，2004，16(6):1193－1234.

［13］BOFILL P，ZIBULEVSKY M.Underdetermined blind source separation using sparse representations［J］.Signal Processing，2001，81(11):2353 －2362.

［14］TAKIGAWA I，KUDO M，TOYAMA J.Performance analysis of minimum l1-norm solutions for underdetermined source separation［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2004，52(3):582 －591.