工程設計的偏微分方程描述系統非線性的數學與工程基礎簡要

程襄武

（南京化工職業技術學院機械系，江蘇 南京 210048）

1 工程設計的系統分析與偏微分方程

工程設計的核心是設計計算。現代工程設計將對象抽象為工程系統，在數學上更抽象為動力系統，分析其動態進行設計計算。所謂動力系統是在系統內在規律反復作用下按時間變化發展的系統。[2，3]傳統計算方法采用集總的靜態方法，在典型工況附近達到較高效率，但實際系統運行是在整個過程即全工況下進行，因此達不到整體過程最優。采用全過程工況基礎上的過程設計方法[6]筆者認為更為合理，可以得到更符合實際的系統特性作為計算基礎。

系統過程的數學模擬是上述計算為基礎。動態模擬主要有機理建模與辨識建模等方法。由于實際過程的復雜性，機理建模時不可行，辨識建模日益重要，可處理很多非線性問題。現代科學計算的智能算法多屬辨識建模的非線性算法，盡管有許多基于不確定性的，依據統計規律的方法，傳統機理建模依然是重要手段，與系統關系更密切，可反映系統內部關系與過程。其模型與動力系統的定義一致，是物理、化學等自然規律、機制作用的數學表現形式，具體形式為描述系統的偏微分方程。集總參數或分布參數系統的分析形式都可采用，更細致全面的分布參數系統一般是偏微分方程形式。設計計算關鍵即成為偏微分方程的求解問題，這些偏微分方程常常以非線性形式出現。

2 微分方程概念、類型及一般形式

2.1 微分方程定義及分類大概

微分方程是表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間的關系的方程；若未知函數是一元函數即常微分方程（OED），若未知函數是多元函數即偏微分方程（PDE）。[4，5]涉及一個或幾個未知函數及其導數的偏微分方程組成一個偏微分方程方程組；偏微分方程（組）的階數是其導數最高階數[7]。常微分與偏微分的類型劃分是依據未知函數與自變量的數量對應。微分方程的階亦可作為微分方程分類依據。以方程系數來分，可分常系數方程與變系數方程。按非線性性質來分，微分方程可分為線性、非線性及擬線性方程。按非線性性質的方程分類不僅僅是數學形式，更和過程與規律的實質有深刻的聯系。

2.2 常微分方程與偏微分方程形式

工程問題的微分方程由物理、化學，乃至機械、電控等復雜規律、機理確定，形式多樣，繁簡不一。在理論上，其微分方程屬應用數學領域，以下簡略概括其數學形式。

2.2.1 常微分方程形式例舉

y=R（x）（方程①）是 n 階常微分方程，若 R（x）=0，則稱齊次方程[8]。

顯然是一個自變量x，及一個因變量y（x）的情形。

2.3 線性與非線性微分方程形式例舉

2.4 偏微分方程一般形式寫法

3 微分方程與動力系統的形式關系與實質關系

偏微分方程與動力系統簡稱為方程與系統。方程是系統的描述，系統以方程形式表現。方程較系統更抽象，更表現實質。系統形式以方程形式確定，方程形式即是系統形式。同樣方程表現出的實質是系統的實質，但不是全部。這可由方程建立的階段特點與模型的近似性來理解。一般我們總是先確定系統，以系統基礎才可確定方程，最后通過方程了解系統更深層次實質，但近似性決定這種實質不是全部。

系統直接以方程表述其許多形式或特性。例如，動力系統若是單輸入單輸出系統，其描述方程是常微分方程；若是多輸入多輸出系統，其描述方程是偏微分方程。前述方程①描述單輸入單輸出系統，方程②～⑦描述多輸入多輸出系統。上述方程（組）⑦若看作工程系統的偏微分方程描述，顯然是n個x輸入，m個u輸出的動態系統，并可看成工程系統偏微分方程的普遍形式。以微分方程的形式可對系統定性分析，以確定工程問題的正確方案。又如，若方程是線性的則系統稱為線性系統；系統方程是非線性的則系統稱非線性系統[1]，方程的形式確定系統的特性。

4 方程與系統的線性與非線性

非線性與線性是方程與系統都具有的特性。方程的線性與非線性的形式特征決定系統的線性與非線性的形式，并確定其性質特征。系統的線性與非線性性質可表現為物理實在。

由于學生成長的環境不同，受教育情況不同，有些學生思想政治意識欠佳，沒有樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀，以致于遇到問題時，容易偏激，不能理性分析問題、解決問題，這在一定程度上增加了高校輔導員管理工作的難度。要想使學生擁有健全的思想政治意識，高校輔導員必須注重加強對學生的思想教育工作，使他們樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀，養成良好的處事習慣。

4.1 偏微分方程的線性與非線性

4.1.1 線性與非線性的定義

若偏微分方程（組）關于所有未知函數及其導數都是線性的，則稱線性偏微分方程（組），否則成為非線性偏微分方程（組）。非線性偏微分方程（組）若對未知函數的最高階導數是線性的，則稱擬線性偏微分方程（組）。[11]我們可將偏微分方程看成關于未知函數以及未知函數對各自變量的偏導函數的方程，并注意方程相對于此兩類函數的系數項的特點對線性與非線性的形式成因，以及線性與非線性是方程的形式特征。

4.1.2 線性與非線性的判定

線性與非線性由偏微分方程的組成項的特點決定其定義，并可由組成項的形式特征判定。即若微分方程的每一項最多只含有因變量或因變量的各階導數的一次方冪，不包括因變量或其各階導數的高次方冪，也不包含這些函數的乘積，則稱這個方程是非線性的。[1]注意此處雖是古典控制論的單輸入單輸出的常微分方程情形，[1，12]但可推到多輸入多輸出的一般情形，與前述定義根本一致。線性微分方程所有應變量及其導數的系數可是常數，也可是一個或幾個自變量的函數。[8]應注意線性與非線性非此即彼，一個偏微分方程不是線性的，就稱為非線性的。[10]

4.1.3 線性與非線性偏微分方程的解

非線性偏微分方程的解析解極為困難，可與線性及常微分方程的求解相比較得知。與常微分方程比較，求解復雜性體現在常微分方程的解一般依賴于若干常數，偏微分方程的解自由度往往更大，可能很多，一般很難用通解形式表示，即對線性方程也如此。往往更多研究偏微分方程在初始與邊界等定解條件下的解。雖然許多常見偏微分方程不考慮定解條件，解的自由度很大，但許多偏微分方程卻連一個解也不存在，這種現象奇特。偏微分方程與常微分方程的不同形成兩個不同數學分支。[11]

與線性方程比較，求解復雜性體現在疊加原理對非線性方程不再成立，求解更困難。擬線性方程非線性程度較弱，比一般的非線性方程容易些。[11]線性方程可利用解的疊加性原理求解。無論常微分或偏微分方程的線性齊次微分方程都具疊加性質，即若z1、z2都是線性齊次偏微分方程的特殊解，那么c1z1+c2z2，其中c1，c2是常量，也是方程的一個解。并且若zn都是特殊解，收斂級數∑cnzn也是方程的一個解，只要此級數可以任意微分。[8]一定條件下可根據已知解序列構造級數形式的解，或根據已知含參數的解來構造積分形式的解。[11]

4.1.4 工程問題的偏微分方程近似解

4.1.4.1 偏微分方程的解的適定性

工程問題要得到偏微分方程的適定定解。偏微分方程的定解問題就是滿足適當初始或邊界條件等附加條件的解的問題。若定解問題滿足至少一個解的存在性，只有一個解的唯一性，解連續依賴于給定已知數據的穩定性，則稱為是適定的。不能簡單認為物理問題有解則定解問題也有解；物理問題可以有唯一解但定解問題的解可多于一個；穩定性是必須的要求，對描述特定物理現象的定解問題，給定的數據的微小變化最多只能產生解的微小變化。[10]定解問題存在唯一解，且定解條件的原始資料作微小變化時，解也僅作微小變化，這時我們稱該定解問題是穩定的。合理的定解問題應當滿足解的存在、唯一和穩定三個要求，存在性、唯一性和穩定性統稱為定解問題的適定性。[11]顯然，適定性的要求較為嚴格，此特點決定了偏微分方程的求解難度。

4.1.4.2 偏微分方程的工程近似解

由于非線性的影響，適定解析解極其困難。常系數線性方程組求解比較簡單，可導出解析解。[15]變系數的線性系統或非線性微分方程只能用級數解法，或僅能用定性方法研討解的性質，僅對具備某些特點的方程才可用變換技巧求解。[14]絕大多數變系數、非線性、不規則幾何等復雜問題，數學的解析方法幾乎無能為力。[13]

因此，工程技術中的定解問題，往往無法求得其準確解，可借助近似解法，常用的有差分法、變分法、有限元法。[16]解決非線性微分方程的求解和研究它所描述的復雜現象和過程的時間演化和動態行為，只能依靠計算機和實驗方法。按照理論的設計來進行各種數值運算與模擬，方便地改變控制參數以改變動態結果，并可在時間與空間的大、中、小諸尺度上進行模擬研究。[13]工程實際系統的非線性影響的復雜性，甚至使得數值近似計算亦極困難，例如，相對于線性最優控制易求得解析解，許多非線性最優控制問題不能用計算機求解，即使有解，計算工作也繁重。[19]工程設計必須定量計算。工程系統涉及的偏微分方程，現代工程設計的定量計算對于非線性問題主要以其數值解為基礎，或采用線性近似進行計算。

4.2 系統的線性與非線性

工程系統的定量，方程是手段與基礎，系統是過程與目的。工程設計要對工程系統定量才能完成以交付制造并運行，設計計算是定性分析基礎上的定量分析。系統線性非線性特征分析屬定性分析，是其工作前階段。系統的動態特性與描述系統的微分方程的類型密切相關，微分方程的類型可確定對提出的系統合理問題的性質，即對系統進行定性分析，方程類型可確定工程問題的正確解法。[1]

4.2.1 線性與非線性系統的劃分

描述系統的偏微分方程是線性的系統稱線性系統，若系統的描述方程是非線性的稱非線性系統。[1]顯然，方程的形式決定系統的形式，系統的形式根據方程的形式劃分。此外，線性系統分常系數線性系統與變系數線性系統兩類。若描述方程的每一項的系數都是常數，則稱常系數線性系統；不是常數而是自變量的函數，則稱變系數線性系統。[1]

4.2.2 線性系統特點概要

線性系統的動力學行為均可由一組一階線性方程組表示，這組微分方程的解，結合初始條件與邊界條件，可以精確地反映該系統的動力學過程。[20]若系統輸入為u1=[u11，u21]T，u2=[u12，u22]T，輸出為y1=[y11，y11]T，y2=[y12，y12]T，則若系統輸入為u=u1+u2時，系統的輸出為y=y1+y2，則稱系統有加性。若系統輸入u放大K倍時，輸出y也放大K倍，則稱系統有齊性。系統對輸入和初始條件都滿足加性和齊性，則稱其滿足疊加原理。滿足疊加原理是線性系統的基本特征，表征線性系統的線性方程組也滿足疊加原理。[15]線性系統的研究在數學上包括線性微分方程、傅立葉分析、線性算子理論和隨機過程的線性理論在內的強有力的解析方法和工具。[13]顯然，工程系統采用線性近似以線性系統處理易于定量。線性系統滿足疊加原理，整體等于部分之和。[13]體現在實際系統的物理實在特點上，例如，一臺電爐加熱可獲一份熱量，兩臺則可獲兩份；由牛頓第二定律，一定質量物體受一定力作用得到一定加速度，力增加一定倍數則加速度增加相同倍數。[20]但是，在實際過程里，線性系統只是理想的或近似的，它是真實系統在特定狀態附近線性化的結果。[20]

4.2.3 非線性系統特點概要

非線性系統主要特點是復雜性。工程設計的系統復雜性體現在非線性的不穩定、不確定、難以求解。工程系統的數學抽象目的在于定量計算，非線性系統的處理成為難點。例如，常系數線性系統的穩定性分析較為簡單，進展到變系數線性系統變得較復雜，非線性系統即使極簡單的非線性方程的動態已出現較高復雜性，穩定與不穩定性可同時出現，一般提出的穩定性問題已無意義。[1]但實際過程多是非線性的，非線性現象在自然界廣泛存在，線性只是平衡態附近的近似。[20]工程過程的描述偏微分方程常是非線性的。傳統上線性近似計算即可，現代工程設計計算更多采用計算機方法進行更符合工程實際的優化設計，面臨更多非線性系統的處理。

5 工程設計的工程系統的非線性問題及處理

工程設計的計算理論顯然應基于確定論，其工程系統的動態分析應該是確定的、可預測的。工程設計的專業系統千差萬別，但數學抽象的理論方法大致相同，面臨的非線性問題是共同的，不穩定、難解和復雜性是共同特點，精準高效的現代設計要求直接面對非線性的實際過程。工程系統若可近似作常系數線性系統則易求解，實際的變系數的線性系統或非線性微分方程，只能有級數解法或數值積分解法求解，工程設計計算以此大都即可完成。但有時僅能定性討論涉及方程解的性質，一些形式非常簡單的偏微分方程，初始條件的微小誤差會引起解的很大改變，即使可確定解的存在唯一，甚至用某些方法已得到這個解，仍然很難說這個解能真實反映過程實際。[11]即有時即使是工程數值解，也存在解的可靠性問題。甚至“某些實際系統的偏微分方程模型可以產生混沌，[14]導致系統特性無法預測。工程設計可以利用非線性導致的混沌現象進行混沌控制[18]，根據需要增強或抑制混沌，例如，利用混沌增強換熱。[17]控制混沌的方法，都是通過對實際過程的偏微分方程的理論分析及數值計算找到的。[17，18]

工程設計無論以何種方式完成設計計算，認知與判定工程系統與其偏微分方程的形式與非線性特點，并進行設計定性分析以及設計定量是必要的。

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