離散時間沿高優先隊列的尾部漸近性分析

張華娟

（無錫南洋職業技術學院 江蘇 無錫 214081）

0 前言

二維馬氏鏈系統的尾部漸近性便于估計，能提供穩態概率的信息和邊界。優先隊列系統的應用廣泛，有很重要的地位。經典的一個服務臺、兩種顧客的優先隊列系統已有很多人研究。人們經常參考Miller[1]，其它優先隊列模型有Gail,Hantler和Taylor[2],Drekic and Woolford[3]等。

本文考慮離散時間、離散狀態的系統，它可以看作取可數狀態的離散QBD。特別地，本文研究強占優先制隊列。對應于經典的連續時間模型，該模型被應用在計算機和通信網絡方面。運用矩陣分析法，得到了聯合穩態概率沿較高優先隊列的衰減速率。

1 模型及定理

本文考慮一個服務臺、兩類顧客的離散時間優先隊列。在每個時刻，下面的三件事都相互獨立：

（a）第一類顧客到達概率為 0＜p＜1；

（b）第二類顧客到達概率為 0＜q＜1；

（c）服務臺對這兩類顧客的服務率都是0＜r＜1（如果沒有顧客，則不服務）。

Q1（n）和 Q2（n）分別代表系統中第一類（高優先）和第二類（低優先）的顧客數。 顯然，{（Q1（n），Q2（n））；n=0，1，2，…}是一個離散時間齊次馬氏鏈。本文以系統中高優先隊列的顧客數Q1（n）作為水平坐標，得該馬氏鏈的轉移圖，見圖1。

圖1 沿高優先隊列馬氏鏈的轉移圖

設該系統中較高優先隊列和較低優先隊列的聯合穩態概率為πij，把 πij水平分成 π=（π0，π1，…），其中 πi=（πi0，πi1，…）。 設較高優先隊列的邊緣分布為π（h）n。

用矩陣分析法，該馬氏鏈的轉移概率矩陣P?可以分成如下的塊結構：

如上文所述，極導線與接地極線共塔架設線路存在由雷擊引起雙極閉鎖的潛在風險。主要有兩種情況：一種是很大的雷電流擊中桿塔或地線，極導線閃絡跳閘的同時，接地極線路也出現了閃絡，此時若故障極重啟失敗而接地極線路又無法熄弧，則將出現雙極閉鎖；另一種是較大的雷電流繞擊極導線，極導線發生閃絡跳閘的同時，共塔接地極線路由于感應過電壓也發生閃絡，此時若故障極重啟失敗而接地極線路仍無法熄弧，則將出現雙極閉鎖。針對這兩種情況，本節對降低雙極閉鎖概率的措施進行探討。

定理 帶強占型優先權的雙隊列Geom/Geom/1排隊系統，滿足ρ＜1 時有，

其中 r0，r1分別見（4）式，（5）式，并且 πn，j的輕尾衰減率是 r0。

2 定理證明

Miller[1]把該系統作為擬生滅過程，其矩陣幾何解有速率矩陣Rh，且滿足

由于Rh是上面矩陣公式的最小非負解，故

根據 ri的性質和矩陣幾何解，顯然有

其在確定衰減系數的證明中將用到。

它滿足下面的矩陣幾何解

之前表達式右邊的第二項趨于0。再由（6）式，結論得證。

下面用歸納法證明（7）式。當j=0，（7）式顯然成立。假設對任意j≤k，（7）式成立，下面證明當 j=k+1 時，（7）式也成立。

通過反復運用 r（n+1）k+1的定義，得到

當n→0時，（8）式第三項顯然趨于0。下面證明（8）式第二項趨于0。

事實上，由歸納假設

該式在證明的最后一步將被用到。

由（11）式，上面不等式中間部分的第三項可以任意小。由歸納假設（9）式，可以取M＞0，使得當 m≥M 時，任意小，再由（11）式，可得第二項任意小。對于有限的M，當n足夠大時，第一項顯然任意小。

［1］Miller,Douglas R.Computation of steady-state probabilities for M/M/1 priority queue[J].Operations Research,1981,29(5)：945-958.

［2］Gail,H.R.,Hantler,S.L.and Taylor,B.A.On preemptive markovian queue with multiple servers and two priority classes[J].Mathematics of Operations Research,1992,17：365-391.

［3］Drekic,S.and Woolford,D.G.A preemptive priority queue with balking[J].European Journal of Operational Research,2005：164,387-401.