反例在教學中的探索

謝月花

（蘇州市相城區陸幕實驗小學 江蘇 蘇州 215131）

1 反例的教學功能

1.1 有利于加深概念理解

反例能夠有效幫助學生加深概念的理解，包括定理、法則、公式，而定理、法則、公式的掌握有利于幫助學生解決一些簡單的問題。但是，現實教學中，我發現學生在使用它們時，經常會漏掉某條件，忽略某關鍵字。為了防患于未然，教師需要加強定理、法則、公式的產生過程的教學，增加學生自主探索定理、法則、公式的機會，針對定理、法則、公式中的一些條件、關鍵字進行必要反例教學，從而幫助學生牢固掌握概念，達到“去偽存真”的效果。

例：在三角形全等判定方法的教學中，對于判定方法 “如果兩個三角形有兩邊及其夾角分別對應相等，那么這兩個三角形全等”，個別學生會提出這樣的問題：“條件中的夾角能否換成一邊的對角？”針對學生的疑問，同時也為了告誡學生條件中的“夾”不能忽視，教師經常構造以下反例：先作一個等腰△ACD,再延長底邊DC到B，連接AB(如圖1)，則在△ABC與△DBC中，AB=AB，AC=AD,∠ABC＝∠ABD，但△ABC 與△DBC 并不全等。

圖1 -1

1.2 有利于澄清錯誤認識

在學習之中常常由于思維定式的影響，會想當然得出一些經不起推敲的結論。時適時的舉出反例，就會使得對題目印象深刻，深入領悟本質。

例：在學習“反函數圖像對稱”時，許多同學會認為：互為反函數的兩個函數圖像相交的交點一定在直線y=x上，我們可以舉出一個反例的交點之一（1，2）就不在y=x上。

1.3 反例是否定命題的重要方法

要否定一個命題，可用歸謬法或證明法，但是簡明而又有說服力的，則是舉出其反例。

例：命題“無理數的無理數次冪仍為無理數”是否成立?

這就說明，命題不成立。

1.4 反例對肯定命題的作用

如果否定了一個命題的所有反例，是否就證明了這個命題是成立的？答案是肯定的！

例：求證：兩條直線相交只有一個交點。

分析：正面論證是很困難的，反過來考慮所有反例：“兩條直線相交不止一個交點”的情況，若能經過推理否定了該反例，則原命題得證。

證明：假設兩條直線相交不止一個交點，不妨設有A，B兩個交點。因為兩點確定一條直線，所以經過點A，B的直線只有一條，與已知兩條直線矛盾。即兩條直線相交只有一個交點。

2 反例對學生思維能力的培養

2.1 注重反例教學培養學生的逆向思維能力

逆向思維是從已有的習慣思路的反方向去思考和分析問題。在數學學習中的某些概念、定理、性質和法則都比較抽象，學生難以理解。在教學時，教師必須讓學生從正面去理解有關知識，并舉例加以鞏固，而恰當地運用反例可以使學生加深對所學知識的理解和掌握，也有利于培養學生的逆向思維能力。

2.2 注重反例教學培養學生的側向思維能力

側向思維是從知識之間的橫向相似聯系出發去模擬、仿造或分析問題的思維方式。在數學學習中的證明兩個三角形相似，三角形全等等知識之間存在著某些聯系。在教學中，我們可以利用相互間的聯系，用自己熟悉的方法去認識新的定理、性質等知識，用類似的反例去否定新的謬誤，使學生盡快地理解和掌握新知識，當然也有利于培養學生的側向思維能力。

2.3 注重反例教學培養學生的多向思維能力

多向思維是從盡可能多的方面來考察同一問題，使思維不局限于一種模式或一個方向，從而獲得多種解答或多種結果的思維方式。多向思維在解決問題時有三種基本形式：一題多解、一法多用、一題多變。在數學教學中，對于一個假命題可以用多個反例，對于同一個例子可以作為多個命題的反例，我們還可以多次改變真命題的部分條件，構造多個假命題，然后逐一用反例將其否定，以加深對原命題的理解。這樣不但可以使學生明白命題錯誤的根源，糾正錯誤，加深其對所學知識的理解，而且更有利于學生多向思維能力的培養。

我國原本的應試教育已逐步淘汰，取而代之的是素質教育的新時代。數學教學也充滿了靈活多樣、開放、動態的特點，創新思維能力和綜合能力的培養成為教學的重點。因此，在數學教學中，根據學生存在的問題，進行反例教學，逐步培養學生的思維能力，提高學生自學能力及分析、解決問題的能力。

3 實施反例教學要注意的問題

反例教學既有其極其重要的作用，也有其在實施的過程中需要注意的環節。

3.1 注意反例教學的引人

由于學生年齡、生理和心理特征以及認知結構的不完整性，他們的思維受到一定的局限性，考慮問題可能還會不夠周全，在教學過程中教師應該注意到反例教學引入的合理性和可行性。

3.2 注意反例教學的構建

在進行教學時，教師不僅要恰地使用反例，更重要的是要引導學生構建反例，這實際上是為學生獲取知識創設了一種探索的情景。一般情況下，許多反例的構建不是唯一的，這時候教師可選擇一些典型的數學知識或問題，通過創設問題情景，引導學生構建反例，使學生敢于和善于發現問題、提出問題、分析問題，解決問題，從而提高學生的思維能力。

因此，學生構建反例的過程也是他們思維發揮和訓練過程。

3.3 注意反例教學的逐層深入性

在教學時，反例教學的使用必須建立在學生對概念有一定理解的基礎上，若在學生剛剛接觸概念時就使用，會導致學生先入為主，從而干擾其對概念的掌握。反例的構建要根據學生的認知發展水平和已有的認知結構逐步進行，把某些難度較大的問題轉化為一些簡單易懂的題目。

總之，數學反例是數學課堂教學中一個有效的調節器，在數學教學中，適時地引進一些反例或者適當地引導學生構建反例，往往能使學生在認識上產生質的飛躍，從而幫助他們鞏固和掌握知識，培養他們思維的嚴謹性、靈活性、發散性、邏輯性、創新性和全面性。

4 反例的教學局限性

教師在教學過程中要有意識地積累各塊知識中經典的反例，對于關鍵知識點教學是十分有益的。同時可以適時鼓勵學生自己舉出需要的反例，以增進認知。然而，正例與反例在教學中要適度應用，反例教學如果把握不好，容易產生副作用，需要警惕。不恰當地應用反例，主要有以下表現：

4.1 過早進行反例教學，會使得主次顛倒、喧賓奪主

在我們的教學中應把把握重點，對教學重點精講細練，等到學生對正面題意有深刻領會、理解之后，再適當地出示反例，讓學生更深層次的理解題目。

4.2 過于強調反例，會給學生造成心理壓力

學生的認知能力及思維發展存在著一定的差異，部分同學接受知識的能力存在一定的滯后性，掌握理解知識需要一個慢慢消化吸收的過程。如果這時候教師過于強調反例，會給學生發出錯誤信號：你隨時都會出錯！這將會讓學生認為自己做題時出錯是在所難免的，從而打擊學生的自信心，失去對數學的興趣。

4.3 過多使用反例，不符合學生的記憶規律

心理學表明：強烈的記憶意圖使人注意力集中，記憶效果良好；反之，則會降低注意力，造成遺忘。“過多”的使用反例教學會逐步淡化“正例 ”的記憶效果，使學生思考問題專門從反面入手，而有些題目不適合從反面思考，這樣使得教學效果適得其反。正如教師最討厭的“該記的沒記住，不該記的全記住了”。

綜上所述，數學教學中離不開反例，也不能處處都用反例。我們要以正例為主，反例為輔，才能使例題教學達到預期的效果。

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［3］何華興.數學反例的教學價值[J].數學教學通訊，2004（6）：30-32.

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