齒輪嚙合APDL精確建模與仿真

劉 越，張祖智，杜萬里

（中國北方車輛研究所 車輛傳動重點實驗室，北京 100072）

0 引言

APDL是ANSYS參數化設計語言（ANSYS Parameter Design Language）的簡稱，是一種類似于FORTRAN的解釋性語言。可以自動完成大部分圖形用戶界面（GUI）操作任務，甚至可以完成某些GUI無法實現的功能[1]。APDL語言是以*.txt文檔的形式編寫的，可由ANSYS直接運行。

圓柱齒輪傳動是機械傳動中最為常見的形式，齒輪設計的主要內容之一是強度設計。傳統的國家標準校核僅能宏觀的掌握齒輪的安全系數，在重載、高速、高可靠性和輕量化設計中，僅運用安全系數表達輪齒的受載特性是不夠的，利用有限元仿真分析作為齒輪強度的校核方法，可以準確地掌握輪齒應力的分布特點和變化規律，是國家標準校核計算的有力補充，具有重要的意義。運用APDL程序可實現齒輪嚙合有限元建模與仿真的參數化和自動化。

1 齒輪精確模型的建立

精確建立齒輪的三維實體模型是有限元分析結果準確性的基礎，運用APDL建立齒輪的三維實體模型的關鍵是齒輪漸開線齒廓曲線和齒根過渡曲線的生成，這也是齒輪嚙合有限元分析的重點研究部位。

1.1 漸開線齒廓曲線的生成

如圖1所示，當直線L沿半徑為rb的圓作純滾動時，該直線上的任一點K的軌跡成為該圓的漸開線，輪齒的齒廓形狀就是漸開線的一部分。

圖1 漸開線的形狀

直角坐標系中，已知漸開線的極角θK的始邊OA與y軸的夾角φ0。

APDL程序中的齒輪建模取φ0= 0時的嚙合狀態，可得到直角坐標系下的漸開線方程：

漸開線的極坐標方程是：

式中：rb為基圓半徑；θK為漸開線K點的展角；αK為漸開線K點的壓力角。

從漸開線方程可以看出，當基圓半徑rb一定時，一個αK值對應一確定的rK和θK值，即確定了漸開線上一點坐標，設置取點步長φ，對得到的一系列關鍵點用光滑的樣條曲線連接起來就形成了漸開線。

1.2 齒根過渡曲線的生成

研究表明[2]，齒根過渡曲線對齒根彎曲應力的影響是比較顯著的。用齒條型刀具加工齒輪，相當于齒條與齒輪的嚙合。被加工齒輪齒廓的漸開線部分由刀具切出。加工過程中，刀具加工節線與齒輪的加工節圓相切純滾。如圖2所示，直線nn是刀具圓角與過渡曲線接觸點的公法線，α’是直線nn與刀具加工節線間的夾角。刀具的圓角加工出齒根過渡曲線，齒根過渡曲線的參數方程式：

以上各式中：d為分度圓直徑； 為齒頂高系數；c為頂隙系數；m為齒輪模數；α為分度圓上的壓力角；s為分度圓上的齒厚。

在參數方程中， 是變參數，在α ～ 90o范圍內變化。對應于不同的 角，利用式（5）求出齒根過渡曲線上不同點的坐標。對得到的一系列關鍵點用光滑的樣條曲線連接起來形成齒根過渡曲線。

圖2 刀具加工齒根過渡曲線

根據式（3） ～式 （5）推導出的齒廓漸開線和齒根過渡曲線計算式，在ANSYS中利用APDL編程求解出一系列關鍵點的坐標值并生成關鍵點。通過樣條曲線聯結關鍵點，生成部分齒廓及齒根過渡曲線，通過鏡像、復制、旋轉、布爾運算和拉伸等命令完成整個齒輪的建模。完成齒輪建模后，下一步的工作是實現齒輪的正確嚙合，齒輪嚙合的靜力學分析應選取危險嚙合位置，即單對齒嚙合狀態。將被動輪在x軸上平移中心距距離，主動輪旋轉90°-θ1(θ1為主動輪分度圓嚙合點處的展角 )，被動輪旋轉 -(90° + θ2)(θ2為被動輪分度圓嚙合點處的展角)。若重合度1≤ε <2時，危險嚙合位置便是單齒嚙合狀態，如圖3所示。

圖3 齒輪嚙合控制

運用APDL所建立的齒輪嚙合三維實體模型如圖4所示。

圖4 齒輪嚙合有限元分析模型

2 齒輪嚙合有限元仿真

模型創建完成后，齒輪嚙合有限元分析的步驟如圖5所示。

圖5 齒輪嚙合有限元分析步驟

網格劃分是有限元分析前處理至關重要的一步，既影響計算的精度，又影響計算的速度。APDL程序設置的網格單元是SOLID185六面體實體單元，采用網格掃掠劃分方式，對重點區域（輪齒部位）網格細化以保證計算結果的準確性，又使計算速度得到保證。網格劃分后的模型如圖6所示。接觸對的數目依賴齒輪的重合度，程序根據用戶在APDL對話框中輸入的基本參數，計算齒輪對的重合度，并根據重合度的大小，自動識別、定義接觸對（一般直齒輪重合度在1和2之間，但斜齒輪的重合度可能大于2）。當重合度ε ＞ 2時，危險狀態時將會有兩對齒嚙合，需定義兩對接觸面。

圖6 網格劃分

圖7 有限元分析結果

齒輪接觸是典型的“柔體——柔體”的“面——面”接觸問題。在非對稱接觸時，定義接觸面和目標面遵循以下原則[3]：粗網格表面定義為目標面，細網格表面定義為接觸面；材料剛度懸殊較大時，材料剛度大的一面為目標面；平直或凹面為目標面，凸面為接觸面。程序中的兩齒輪為對稱接觸，設主動輪為接觸面，被動輪為目標面。接觸單元選取TARGE170和CONTA174，接觸算法采用Lagrange乘子法，并設置接觸參數（接觸剛度等）。

APDL程序通過以下方法對模型施加載荷：將被動輪的輪轂表面節點的所有自由度固定，將當前坐標系轉換為柱坐標系，主動輪輪轂表面節點的節點坐標系按當前柱坐標系旋轉，約束除主動輪表面節點繞中心轉動的自由度外的兩個自由度。同時將力矩轉化為輪轂表面節點的均布切向力。

齒輪接觸屬于非線性問題，合理的控制時間步長可以減少求解收斂所需要的時間，因此采用自動時間步長特征，讓程序自動選擇足夠小的時間步長。APDL程序中統一設置為50個平衡迭代次數，并且使用線性搜索命令。

APDL程序使用一般的后處理器（POST1）查看分析結果，主要包括位移、綜合應力和接觸應力等信息。分析結果如圖7所示。

3 齒輪嚙合有限元分析的APDL二次開發

APDL的宏是具有某種特殊功能的命令組合，可以當作ANSYS命令處理。通過對用戶工具條的編寫，用戶可以很方便地使用宏命令。如圖8所示。

圖8 用戶工具條

創建的宏文件及其功能包括。

1）GearModel.mac：建立齒輪有限元分析模型的程序。可通過其交互界面輸入齒輪的基本參數，包括模數、齒數、變位系數、壓力角、螺旋角、齒頂高系數、頂隙系數、齒寬、齒輪輪轂直徑、材料彈性模量和泊松比；

2）Solve.mac：求解計算模塊程序。可通過其交互界面輸入齒輪的載荷和邊界條件，包括傳動力矩、載荷系數和摩擦系數；

3）Postproc.mac：后處理程序。用戶通過該模塊查看仿真結果。

交互界面通過MULTOPRO和*CSET命令組合來實現，MULTOPRO命令的功能是構造一個多行提示對話框，該命令允許使用UIDL中的*CSET命令來產生提示，并為每個提示設定默認值。

APDL程序中定制多參數輸入對話框的程序段如下：

MULTIPRO,'START',Prompt_Num

……

*CSET,1,3,mn,'NORMAL MODULUS',5.5!用戶輸入模數

*CSET,4,6,an,'NORMAL PRESS ANGLE(deg)',25 ！用戶輸入壓力角（。）

*CSET,7,9,bita,'HELIX ANGLE(deg)',0！用戶輸入螺旋角（。）

*CSET,10,12,han,'NORMAL TOOTH ADDENDUM FACTOR',1 !用戶輸入齒頂高系數

*CSET,13,15,cn,'NORMAL TIP CLEARANCE FACTOR',0.2 !用戶輸入頂隙系數

*CSET,……

……

MULTIPRO,'END'

……

*IF,_BUTTON,EQ,1,THEN ！如果用戶選擇Cancel終止運行宏

/EOF

*ENDIF

用戶點擊用戶工具條中的開發模塊，調用相應的宏程序文件，在交互界面上輸入相應的參數，進行建模、加載、計算，結束后可點擊Postproc模塊進行后處理操作。交互界面如圖9所示。

圖9 交互界面

4 結論

運用APDL程序實現了齒輪嚙合有限元分析的全過程，建立了參數化的分析模型和參數化的材料定義、自動化的網格劃分與控制、自動化的載荷和邊界條件定義以及自動化的后處理，用戶通過交互界面直接與ANSYS求解器進行數據交換，與傳統的GUI操作相比，大大提高了仿真效率，并且，減少了設計人員在仿真過程中對軟件專業知識的依賴。

[1] 周寧. ANSYS APDL高級工程應用實例分析與二次開發[M]. 中國水利水電出版社, 2007.

[2] 吳繼澤, 王統. 齒根過渡曲線與齒根應力[M]. 國防工業出版社, 1989.

[3] [美]Saeed Moaveni. 有限元分析—ANSYS理論與應用[M].電子工業出版社, 2008.