齒輪嚙合APDL精確建模與仿真

劉 越，張祖智，杜萬(wàn)里

（中國(guó)北方車輛研究所 車輛傳動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100072）

0 引言

APDL是ANSYS參數(shù)化設(shè)計(jì)語(yǔ)言（ANSYS Parameter Design Language）的簡(jiǎn)稱，是一種類似于FORTRAN的解釋性語(yǔ)言。可以自動(dòng)完成大部分圖形用戶界面（GUI）操作任務(wù)，甚至可以完成某些GUI無(wú)法實(shí)現(xiàn)的功能[1]。APDL語(yǔ)言是以*.txt文檔的形式編寫(xiě)的，可由ANSYS直接運(yùn)行。

圓柱齒輪傳動(dòng)是機(jī)械傳動(dòng)中最為常見(jiàn)的形式，齒輪設(shè)計(jì)的主要內(nèi)容之一是強(qiáng)度設(shè)計(jì)。傳統(tǒng)的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)校核僅能宏觀的掌握齒輪的安全系數(shù)，在重載、高速、高可靠性和輕量化設(shè)計(jì)中，僅運(yùn)用安全系數(shù)表達(dá)輪齒的受載特性是不夠的，利用有限元仿真分析作為齒輪強(qiáng)度的校核方法，可以準(zhǔn)確地掌握輪齒應(yīng)力的分布特點(diǎn)和變化規(guī)律，是國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)校核計(jì)算的有力補(bǔ)充，具有重要的意義。運(yùn)用APDL程序可實(shí)現(xiàn)齒輪嚙合有限元建模與仿真的參數(shù)化和自動(dòng)化。

1 齒輪精確模型的建立

精確建立齒輪的三維實(shí)體模型是有限元分析結(jié)果準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)，運(yùn)用APDL建立齒輪的三維實(shí)體模型的關(guān)鍵是齒輪漸開(kāi)線齒廓曲線和齒根過(guò)渡曲線的生成，這也是齒輪嚙合有限元分析的重點(diǎn)研究部位。

1.1 漸開(kāi)線齒廓曲線的生成

如圖1所示，當(dāng)直線L沿半徑為rb的圓作純滾動(dòng)時(shí)，該直線上的任一點(diǎn)K的軌跡成為該圓的漸開(kāi)線，輪齒的齒廓形狀就是漸開(kāi)線的一部分。

圖1 漸開(kāi)線的形狀

直角坐標(biāo)系中，已知漸開(kāi)線的極角θK的始邊OA與y軸的夾角φ0。

APDL程序中的齒輪建模取φ0= 0時(shí)的嚙合狀態(tài)，可得到直角坐標(biāo)系下的漸開(kāi)線方程：

漸開(kāi)線的極坐標(biāo)方程是：

式中：rb為基圓半徑；θK為漸開(kāi)線K點(diǎn)的展角；αK為漸開(kāi)線K點(diǎn)的壓力角。

從漸開(kāi)線方程可以看出，當(dāng)基圓半徑rb一定時(shí)，一個(gè)αK值對(duì)應(yīng)一確定的rK和θK值，即確定了漸開(kāi)線上一點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)置取點(diǎn)步長(zhǎng)φ，對(duì)得到的一系列關(guān)鍵點(diǎn)用光滑的樣條曲線連接起來(lái)就形成了漸開(kāi)線。

1.2 齒根過(guò)渡曲線的生成

研究表明[2]，齒根過(guò)渡曲線對(duì)齒根彎曲應(yīng)力的影響是比較顯著的。用齒條型刀具加工齒輪，相當(dāng)于齒條與齒輪的嚙合。被加工齒輪齒廓的漸開(kāi)線部分由刀具切出。加工過(guò)程中，刀具加工節(jié)線與齒輪的加工節(jié)圓相切純滾。如圖2所示，直線nn是刀具圓角與過(guò)渡曲線接觸點(diǎn)的公法線，α’是直線nn與刀具加工節(jié)線間的夾角。刀具的圓角加工出齒根過(guò)渡曲線，齒根過(guò)渡曲線的參數(shù)方程式：

以上各式中：d為分度圓直徑； 為齒頂高系數(shù)；c為頂隙系數(shù)；m為齒輪模數(shù)；α為分度圓上的壓力角；s為分度圓上的齒厚。

在參數(shù)方程中， 是變參數(shù)，在α ～ 90o范圍內(nèi)變化。對(duì)應(yīng)于不同的 角，利用式（5）求出齒根過(guò)渡曲線上不同點(diǎn)的坐標(biāo)。對(duì)得到的一系列關(guān)鍵點(diǎn)用光滑的樣條曲線連接起來(lái)形成齒根過(guò)渡曲線。

圖2 刀具加工齒根過(guò)渡曲線

根據(jù)式（3） ～式 （5）推導(dǎo)出的齒廓漸開(kāi)線和齒根過(guò)渡曲線計(jì)算式，在ANSYS中利用APDL編程求解出一系列關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)值并生成關(guān)鍵點(diǎn)。通過(guò)樣條曲線聯(lián)結(jié)關(guān)鍵點(diǎn)，生成部分齒廓及齒根過(guò)渡曲線，通過(guò)鏡像、復(fù)制、旋轉(zhuǎn)、布爾運(yùn)算和拉伸等命令完成整個(gè)齒輪的建模。完成齒輪建模后，下一步的工作是實(shí)現(xiàn)齒輪的正確嚙合，齒輪嚙合的靜力學(xué)分析應(yīng)選取危險(xiǎn)嚙合位置，即單對(duì)齒嚙合狀態(tài)。將被動(dòng)輪在x軸上平移中心距距離，主動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)90°-θ1(θ1為主動(dòng)輪分度圓嚙合點(diǎn)處的展角 )，被動(dòng)輪旋轉(zhuǎn) -(90° + θ2)(θ2為被動(dòng)輪分度圓嚙合點(diǎn)處的展角)。若重合度1≤ε <2時(shí)，危險(xiǎn)嚙合位置便是單齒嚙合狀態(tài)，如圖3所示。

圖3 齒輪嚙合控制

運(yùn)用APDL所建立的齒輪嚙合三維實(shí)體模型如圖4所示。

圖4 齒輪嚙合有限元分析模型

2 齒輪嚙合有限元仿真

模型創(chuàng)建完成后，齒輪嚙合有限元分析的步驟如圖5所示。

圖5 齒輪嚙合有限元分析步驟

網(wǎng)格劃分是有限元分析前處理至關(guān)重要的一步，既影響計(jì)算的精度，又影響計(jì)算的速度。APDL程序設(shè)置的網(wǎng)格單元是SOLID185六面體實(shí)體單元，采用網(wǎng)格掃掠劃分方式，對(duì)重點(diǎn)區(qū)域（輪齒部位）網(wǎng)格細(xì)化以保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，又使計(jì)算速度得到保證。網(wǎng)格劃分后的模型如圖6所示。接觸對(duì)的數(shù)目依賴齒輪的重合度，程序根據(jù)用戶在APDL對(duì)話框中輸入的基本參數(shù)，計(jì)算齒輪對(duì)的重合度，并根據(jù)重合度的大小，自動(dòng)識(shí)別、定義接觸對(duì)（一般直齒輪重合度在1和2之間，但斜齒輪的重合度可能大于2）。當(dāng)重合度ε ＞ 2時(shí)，危險(xiǎn)狀態(tài)時(shí)將會(huì)有兩對(duì)齒嚙合，需定義兩對(duì)接觸面。

圖6 網(wǎng)格劃分

圖7 有限元分析結(jié)果

齒輪接觸是典型的“柔體——柔體”的“面——面”接觸問(wèn)題。在非對(duì)稱接觸時(shí)，定義接觸面和目標(biāo)面遵循以下原則[3]：粗網(wǎng)格表面定義為目標(biāo)面，細(xì)網(wǎng)格表面定義為接觸面；材料剛度懸殊較大時(shí)，材料剛度大的一面為目標(biāo)面；平直或凹面為目標(biāo)面，凸面為接觸面。程序中的兩齒輪為對(duì)稱接觸，設(shè)主動(dòng)輪為接觸面，被動(dòng)輪為目標(biāo)面。接觸單元選取TARGE170和CONTA174，接觸算法采用Lagrange乘子法，并設(shè)置接觸參數(shù)（接觸剛度等）。

APDL程序通過(guò)以下方法對(duì)模型施加載荷：將被動(dòng)輪的輪轂表面節(jié)點(diǎn)的所有自由度固定，將當(dāng)前坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為柱坐標(biāo)系，主動(dòng)輪輪轂表面節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系按當(dāng)前柱坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)，約束除主動(dòng)輪表面節(jié)點(diǎn)繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度外的兩個(gè)自由度。同時(shí)將力矩轉(zhuǎn)化為輪轂表面節(jié)點(diǎn)的均布切向力。

齒輪接觸屬于非線性問(wèn)題，合理的控制時(shí)間步長(zhǎng)可以減少求解收斂所需要的時(shí)間，因此采用自動(dòng)時(shí)間步長(zhǎng)特征，讓程序自動(dòng)選擇足夠小的時(shí)間步長(zhǎng)。APDL程序中統(tǒng)一設(shè)置為50個(gè)平衡迭代次數(shù)，并且使用線性搜索命令。

APDL程序使用一般的后處理器（POST1）查看分析結(jié)果，主要包括位移、綜合應(yīng)力和接觸應(yīng)力等信息。分析結(jié)果如圖7所示。

3 齒輪嚙合有限元分析的APDL二次開(kāi)發(fā)

APDL的宏是具有某種特殊功能的命令組合，可以當(dāng)作ANSYS命令處理。通過(guò)對(duì)用戶工具條的編寫(xiě)，用戶可以很方便地使用宏命令。如圖8所示。

圖8 用戶工具條

創(chuàng)建的宏文件及其功能包括。

1）GearModel.mac：建立齒輪有限元分析模型的程序。可通過(guò)其交互界面輸入齒輪的基本參數(shù)，包括模數(shù)、齒數(shù)、變位系數(shù)、壓力角、螺旋角、齒頂高系數(shù)、頂隙系數(shù)、齒寬、齒輪輪轂直徑、材料彈性模量和泊松比；

2）Solve.mac：求解計(jì)算模塊程序。可通過(guò)其交互界面輸入齒輪的載荷和邊界條件，包括傳動(dòng)力矩、載荷系數(shù)和摩擦系數(shù)；

3）Postproc.mac：后處理程序。用戶通過(guò)該模塊查看仿真結(jié)果。

交互界面通過(guò)MULTOPRO和*CSET命令組合來(lái)實(shí)現(xiàn)，MULTOPRO命令的功能是構(gòu)造一個(gè)多行提示對(duì)話框，該命令允許使用UIDL中的*CSET命令來(lái)產(chǎn)生提示，并為每個(gè)提示設(shè)定默認(rèn)值。

APDL程序中定制多參數(shù)輸入對(duì)話框的程序段如下：

MULTIPRO,'START',Prompt_Num

……

*CSET,1,3,mn,'NORMAL MODULUS',5.5!用戶輸入模數(shù)

*CSET,4,6,an,'NORMAL PRESS ANGLE(deg)',25 ！用戶輸入壓力角（。）

*CSET,7,9,bita,'HELIX ANGLE(deg)',0！用戶輸入螺旋角（。）

*CSET,10,12,han,'NORMAL TOOTH ADDENDUM FACTOR',1 !用戶輸入齒頂高系數(shù)

*CSET,13,15,cn,'NORMAL TIP CLEARANCE FACTOR',0.2 !用戶輸入頂隙系數(shù)

*CSET,……

……

MULTIPRO,'END'

……

*IF,_BUTTON,EQ,1,THEN ！如果用戶選擇Cancel終止運(yùn)行宏

/EOF

*ENDIF

用戶點(diǎn)擊用戶工具條中的開(kāi)發(fā)模塊，調(diào)用相應(yīng)的宏程序文件，在交互界面上輸入相應(yīng)的參數(shù)，進(jìn)行建模、加載、計(jì)算，結(jié)束后可點(diǎn)擊Postproc模塊進(jìn)行后處理操作。交互界面如圖9所示。

圖9 交互界面

4 結(jié)論

運(yùn)用APDL程序?qū)崿F(xiàn)了齒輪嚙合有限元分析的全過(guò)程，建立了參數(shù)化的分析模型和參數(shù)化的材料定義、自動(dòng)化的網(wǎng)格劃分與控制、自動(dòng)化的載荷和邊界條件定義以及自動(dòng)化的后處理，用戶通過(guò)交互界面直接與ANSYS求解器進(jìn)行數(shù)據(jù)交換，與傳統(tǒng)的GUI操作相比，大大提高了仿真效率，并且，減少了設(shè)計(jì)人員在仿真過(guò)程中對(duì)軟件專業(yè)知識(shí)的依賴。

[1] 周寧. ANSYS APDL高級(jí)工程應(yīng)用實(shí)例分析與二次開(kāi)發(fā)[M]. 中國(guó)水利水電出版社, 2007.

[2] 吳繼澤, 王統(tǒng). 齒根過(guò)渡曲線與齒根應(yīng)力[M]. 國(guó)防工業(yè)出版社, 1989.

[3] [美]Saeed Moaveni. 有限元分析—ANSYS理論與應(yīng)用[M].電子工業(yè)出版社, 2008.