有限元方法在桁架結構分析中應用

張曉東

（天津機電職業技術學院，天津 300000）

對于平面桁架結構的設計，早期采用傳統方法計算桁架結構，是對給定的結構，將各個桿件分離開來，然后分別計算各個桿件的節點位移、桿單元軸力、以及桿單元應力、支座反力等，計算過程相對較為繁瑣，計算量較大，容易出現誤差。矩陣位移法的原理接近于后來的有限元方法，有限元方法利用桁架整體剛度矩陣求解節點位移和桿單元應力。有限元方法是目前桁架等結構分析的數值計算方法。

1 平面一層桁架有限元分析

一般情況下應用大域剛度矩陣方法或是其他方法研究桁架結構時只針對某種特定結構整合其整體剛度矩陣。然而在如今經濟發展情況下，研究者面臨的挑戰不是僅僅研究某種現有結構，而是在眾多結構中尋找最優結構。那么對于桁架結構的多變性，如何在較短時間內得到不同結構的整體剛度矩陣或是其變形，應力情況，是眾多研究者的熱衷課題。

首先，分別得到各桿單元的大域變換矩陣

對于弦桿1，2大域變換矩陣為

同理分別計算其它各桿單元的大域變換矩陣；

然后，分別得到各桿單元的單元剛度矩陣；

弦桿12和弦桿34分別為水平桿其單元剛度矩陣分別為：

其它各桿單元均為腹桿，其單元剛度矩陣分別為：

最后桁架結構的整體剛度矩陣：

由于該桁架結構長度相同，截面積相同，材料相同，則設各桿單元長度，截面積分別為L，A，那么可整理上整體剛度矩陣為：

其中，

由于對于節點桁架，可能具有的拓撲結構不止一種，本文給出桁架結構整體剛度矩陣的求解公式：

本文結合有限元方法分析平面一層桁架結構的步驟為：

得到整體描述矩陣通式T=ΣxΣ；步驟二：得到各單元的單元大域變換矩陣；得到各單元的單元剛度矩陣；得到整體描述矩陣通式；引入分析桁架邊界條件求解節點位移和桿單元應力關于拓撲描述變量的表達式。

2 平面多層桁架有限元分析

綜合目前桁架研究領域，平面多層桁架在文獻中鮮有提到，研究者們多數將多層桁架簡化為一定數量的一層桁架加以研究，但是在實際應用中多層桁架的應用較為廣泛，其工程環境不盡相同，這樣在將多層桁架簡單轉化為單層桁架進行研究過程中忽略了各層桁架之間的相互關系，可能會造成與實際工況不符合的情況，進而使得研究結果偏離實際造成不必要的損失，因此找到一種適合于多層桁架的整體研究方法是非常有必要的。

平面多層桁架體系中各個桿單元的單元剛度矩陣與大域變換矩陣均符合平面桿系單元的定義，不同之處在于各個桿單元在整體坐標系下處于不同的位置，由于桿件數目以及位置的不同形成不同的整體剛度矩陣，使得多層桁架結構的性能各不相同。其單元大域變換矩陣的求解規則與一般平面桁架的求解方法相同，公式（2）所表達的結合桁架描述矩陣合成整體剛度矩陣的方法同樣適用于平面多層桁架整體剛度矩陣的合成。

多層桁架分析步驟為：

根據第二章所述的多層桁架結構的描述方法得到其整體描述矩陣；根據平面桿單元大域變換矩陣求解公式的到多層桁架中所有可能形成的桿單元的大域變換矩陣；根據平面桿單元剛度矩陣求解公式的到多層桁架中所有可能形成的桿單元的單元剛度矩陣；結合整體描述矩陣，單元剛度矩陣以及單元大域變換矩陣，根據公式（2）得到多層桁架得整體剛度矩陣。

步驟五：引入分析桁架邊界條件求解節點位移和桿單元應力關于拓撲描述變量的表達式。

3 結語

本文結合大域變換矩陣求解整體剛度矩陣方法，將桁架拓撲連接描述量代入到整體剛度矩陣通式中，實現了桁架拓撲變量的參數化目的，為以后分析平面一層多節點桁架，求解平面多層多節點桁架，以及空間多節點桁架提供新的參考，整體剛度矩陣能夠反映節點力與位移的關系，在目前有限元方法普遍應用于桁架結構分析的情況下，能夠得到桁架整體剛度矩陣通式對研究桁架結構的變化具有很大的意義。

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