2道絕對值競賽題解法初探

●徐 勇 印琴紅 (板浦高級中學 江蘇連云港 222241)

筆者在瀏覽2011年高中數學競賽試題時，發現2道絕對值試題，題中絕對值嵌套絕對值，甚是有趣，下面給出這2道競賽題的求解歷程，以供參考.

例1 方程||…|||x|-1|-2|…|-2 011|=2 011一共有______個解.

(2011年全國高中數學聯賽廣東省預賽試題)

思路1 特殊引路，歸納猜想.

解法1 方程||x|-1|=1的所有解為x=0或x=±2;

方程|||x|-1|-2|=2的所有解為x=±1或x=±5;

方程||||x|-1|-2|-3|=3的所有解為x=±3或x=±9;

方程|||||x|-1|-2|-3|-4|=4的所有解為x=±6或x=±14;

方程||||||x|-1|-2|-3|-4|-5|=5的所有解為x=±10或x=±20;

……

思路2 從外向內，逐步擊破.

解法2 因為||…|||x|-1|-2|…|-2 011|=2 011，所以

例2 已知n是正整數，實數x滿足|1-|2-|3-…|(n-1)-|n-x||…|||=x，求x的值.

(第7屆北方數學奧林匹克邀請賽試題)

思路1 特殊導航，歸納猜想.

當 n=3 時，方程|1-|2-|3-x|||=x的解為 x∈［0，1］;

當 n=4時，方程|1-|2-|3-|4-x||||=x的解為 x∈［0，1］;

當 n=6 時，方程|1-|2-|3-|4-|5-|6-x||||||=x的解為 x∈［0，1］;

……

思路2 巧取特征，模式識別.

解法2 引理1 若 a≥0，b≥0，則|a-b|≤max{a，b}.

引理2 若0≤x＜k，則|(k-1)-x|≤k-1.

引理3 若0≤x≤1，k∈N*，則|k-|k+1-|k+2-|k+3-x||||=x.

由引理1知，若 x≥n，則

若n=4k+1或n=4k+2(k∈N)，由引理3，原方程化簡為|1-x|=x，解得x=;若n=4k+3或n=

4k(k∈N)，由引理 3，原方程化簡為|x|=x，又因為 x≤1，所以 0≤x≤1.

點評 2道競賽題貌似相同，實質迥異.例1較為簡單，而例2難度頗大.例2作為壓軸大題，運用思路1，由特殊到一般，缺乏嚴謹的推理過程，客觀題尚可，解答題并不適合.認清題目的結構特征往往是解題的突破口，即看出題目中的某些部分與已知模式結構的相似性.辨認的過程就是“模式識別”的過程.本著公平的原則，競賽回避熟題，大量“非標準問題”進入競賽試卷.所謂“非標準問題”，即指那些表面的事實內容與內在的數學結構不一致的問題.實踐表明，面對這些“非標準問題”，考生往往不知所措.實際上，解決“非標準問題”的重要環節就是“模式識別”，即破解隱含在問題中的數學結構和模式.