構(gòu)造法的應(yīng)用

☉河南省偃師市教育局 李 郊

一、常用的構(gòu)造方法

1.類比構(gòu)造：由于問(wèn)題中研究對(duì)象有著形式上、本質(zhì)上的相同或相似，通過(guò)構(gòu)造類似的數(shù)學(xué)形式，運(yùn)用新數(shù)學(xué)形式的豐富內(nèi)涵達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

2.歸納構(gòu)造：對(duì)于與n有關(guān)的問(wèn)題，不容易直接構(gòu)造出，而以具體的特殊的如f（1）、f（2）、f（3）進(jìn)而推進(jìn)到f（n）等.

3.逆向構(gòu)造：是指按逆向思維方式，向原有數(shù)學(xué)形式的相反方向去探求，通過(guò)構(gòu)造（形式上、關(guān)系上或程度上）對(duì)立的數(shù)學(xué)形式來(lái)解決問(wèn)題.

4.聯(lián)想構(gòu)造：聯(lián)想是由一事物想另一事物的思維方式和過(guò)程，這種聯(lián)想通常是事物的形式、結(jié)構(gòu)、范圍、關(guān)系等因素作用的結(jié)果.

二、解題方法指導(dǎo)

1.應(yīng)用好構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵在于兩點(diǎn)：一是要有明確的方向，即為什么目的而構(gòu)造；二是要弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)，以便重新進(jìn)行邏輯組合.

2.在運(yùn)用構(gòu)造法時(shí)，還要注意以下兩點(diǎn)：一是構(gòu)造出的數(shù)學(xué)模型要保證能反映出原命題的本質(zhì)特征；二是構(gòu)造出的數(shù)學(xué)模型所獲得的結(jié)果，一定是原命題的解題目標(biāo)，并經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，對(duì)于不符合原命題解題目標(biāo)的結(jié)果應(yīng)予以舍棄.

三、范例剖析

例1 若非零向量a和b的夾角為120°，且|a|=2，|b|=5，則（2ab）·a=___________.

點(diǎn)撥：由于向量具有代數(shù)與幾何的雙重性，結(jié)合三角形法則與平行四邊形法則構(gòu)造平面圖形，利用平面幾何圖形的直觀性，可使問(wèn)題得到巧妙、快捷的解答.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

當(dāng)n=1、2時(shí)，顯然Sn+Tn不為整數(shù).

當(dāng)n≥3時(shí)，4n-1=（1+3）n-1=C1n×3+C2n×32+33（C3n+…+3n-3Cnn）.

點(diǎn)撥：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)很重要的內(nèi)容之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，尤其是遞推數(shù)列問(wèn)題具有很強(qiáng)的邏輯性，是考查邏輯推理和化歸轉(zhuǎn)化能力的很好素材.解答此類題的主要著眼點(diǎn)，一般是利用作差法、倒數(shù)法、迭代法、疊加法、換元法、待定系數(shù)法等轉(zhuǎn)化等差數(shù)列或等比數(shù)列.

例3 如圖2，設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y2=4px（p＞0）上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡.

直線AB的方程可表示為y=k（x-4p） ①.

由①②消去k，得x2+y2-4px=0（x≠0）.

點(diǎn)撥：構(gòu)造方程解題是一種重要的數(shù)學(xué)方法.在解答直線與圓錐曲線的問(wèn)題時(shí)，一種常用的方法就是利用直線方程與圓錐曲線方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的二次方程，尤其是利用直線與圓錐曲線方程，構(gòu)造出與x、y有關(guān)的二次齊次方程，可以有效地解決涉及斜率的積與和的問(wèn)題.