變截面開口薄壁鋼箱穩定性分析

劉芳平，周建庭

(1.重慶交通大學土木建筑學院，重慶400074;2.重慶三峽學院 土木工程學院，重慶404000)

任何薄壁結構事實上都是由殼體構件組合而成，如果用殼體理論分析薄壁結構，結果比較精確，但工作量非常大，對于一些由多個此類結構組成的體系，殼體理論的分析就變得艱難。此時，就能夠利用薄壁構件長度方向比橫截面要大的特點，引入一些適當的假定，把它作為一根構件進行研究，也能夠得到精確的結果。假想荷載法(Notional Load Technique)作為推導薄壁構件穩定理論的一種有效方法，由 Vlasov［1］首先提出，并被廣泛采用［2-3］。但是，目前的假想荷載法不是全面的。存在的問題是:沒有在板件理論的范疇內確定假想荷載，因而在薄壁截面的板件內存在剪應力和橫向正應力時，目前假想荷載法不能得到正確的平衡微分方程。

1 開口薄壁構件彎扭分析基本假定

Vlasov［1］提出的開口截面構件基本假設如下:

1)剛周邊假定。在構件逐步變形的過程中，其橫截面形狀始終不變。即，各橫截面有可能產生垂直于截面的翹曲，但在自身平面內的投影保持固定形狀，只是像剛性盤子一樣轉動或者是進行移動。

2)構件中面內剪應變為0。也就是說，彎曲扭轉產生的中面內剪應變對構件內應力分布影響非常小。

筆者從薄板理論出發，用假想荷載法利用單塊板的平衡推導了薄壁構件的平衡微分方程。在推導彎扭平衡微分方程時，除了上面的兩條基本假定之外，補充了以下假定:

3)材料為理想彈性各向同性均質材料。

4)小變形分析。

5)假定薄壁構件由平板組成。

2 開口薄壁構件彎扭平衡微分方程

2.1 薄板單元體的假象荷載

假想荷載實際上不是真正的外荷載，因為它的作用與荷載一樣，能夠促使板件的變形發展。薄板屈曲后中面內力在屈曲后的板中面法線方向的分力由式(1)給出［4］:

如果將板單元的x，y和z軸與薄壁構件中的n-s-z坐標系的z，s和n軸對應，則板撓度w即為薄壁構件位移 vn，單位寬度膜力 Nx，Ny和 Nxy對應于 σzt，σst和τzst。因此，變位后的中面法線方向上的分量為:

由于應力狀態板件發生切線方向位移 υs［5］，因此沿變位后曲線坐標方向的假想面荷載如式(3):

y'方向上的假想的和真正的面荷載之和為:

由式(3)和式(4)，得到變位后s方向的總的荷載分量為:

由式(2)和式(5)可以求得薄壁結構中的基本板件在變形后的坐標上的假想荷載。

2.2 假想荷載法的基本方程

假想荷載法是在變形后的截面主軸方向上建立平衡微分方程。這里的假想荷載與以往的說法不一樣，指的是變形后坐標軸方向上總力的分量，基本方程如下:

式(6a)～(6c)的方程都是建立在結構變位后的坐標系上，假想荷載和外荷載都往變形以后的主坐標軸方向上(如圖1的x'，y'方向)分解，扭矩同樣是對截面剪切中心S1取矩得到。

圖1中，截面上任意點P在變形前的位置為P0，變形后的位置為P1點。P0點的坐標與變形前的主軸坐標系x軸間夾角為α，荷載qs作用在P0點的切線方向上。截面發生轉動，P從P0點移動到了P1點，與此同時，P1點與x軸間的夾角變為α+θ，形心主軸的方向變到圖中的x'和y'的方向，S0到S1的位置變化是指截面的剪心位置變化情況。

圖1 坐標系隨變形的變化Fig.1 Coordinate system changes with deformation

由圖1可得，變形后x'和y'方向的荷載分量qxt和qyt以及對剪切中心s1的分布扭矩mzt為:

以x方向的假想分布荷載qxt為例，將薄壁構件變形后坐標方向上的假想面荷載式(2)和式(5)代入(7)式，得:

對式(10)的各個部分進行分步積分得:

同理，對變形后y'方向的荷載分量qyt以及對剪切中心s1的分布扭矩mzt做同樣的變換得到:

將式(11)～式(13)中變形后x'和y'方向的荷載分量qxt和qyt以及對剪切中心s1的分布扭矩mzt代入到式(6a)～(6c)，就可得到薄壁構件彎扭平衡微分方程:

在以上假設下，利用假想荷載法得到的彎扭平衡微分方程組(14a)～(14c)與利用虛功原理［6］得到的結果是完全一致的。通過引入假想荷載法的推導，直觀的解釋了薄壁構件彎扭屈曲問題用能量法［7-8］進行分析推導時為什么不能引入外荷載的非線性功，也對薄壁構件彎扭屈曲過程中到底發生了什么，產生了什么有了更清楚深刻的理解。

3 數值模擬研究

3.1 研究背景

近幾年國內一些橋梁專家在鋼-混凝土組合橋梁的研究過程中，開發了豎轉鋼-混凝土組合拱橋，并成功應用在重慶藻渡大橋等4座橋梁當中。在此基礎上，又提出了鋼箱-混凝土組合連續剛構橋，其截面主要是U型鋼箱和預制混凝土橋道板組成，在橋梁施工過程中，首先吊裝好U型鋼箱，然后在安裝預制混凝土橋道板，截面如圖2。筆者以此為背景，以變截面長懸臂開口鋼箱為研究對象，對變截面開口鋼箱的穩定問題進行了探討。

圖2 鋼-混凝土組合斷面示意Fig.2 Steel-concrete composite cross-section

3.2 計算模型

假設以變截面懸臂長度為L，底板跨度W，根部腹板高度H1，自由端腹板高度H2為影響參數，模型中不考慮加勁肋的影響，底板線形采用二次拋物線，將混凝土車道板荷載簡化為均布力施加于U型鋼箱腹板上，模型分析示意如圖3。

圖3 模型分析示意Fig.3 Schematic model

有限元分析時選取懸臂長 L分別為50，75，90 m，底板寬度 W 分別為4，6，8 m，H1為4～15 m，H2為2～15 m，鋼板厚度均為2 cm。利用ANSYS對不同尺寸結構進行屈曲分析。腹板和底板采用shell63單元模擬，單元厚度為0.02 m。在L=50 m，W=4 m，H1=4 m，H2=2 m時進行了單元網格劃分的有限元模型如圖4。

圖4 單元網格劃分后的有限元分析模型Fig.4 Finite element analysis model with the unit meshed

3.3 計算結果

通過計算，變截面開口鋼箱在豎向荷載作用下，不同幾何尺寸1階屈曲模態可歸納為4種形態，如圖5。

圖5 屈曲模態Fig.5 Buckling mode

3.4 結果分析

3.4.1 Ⅰ型屈曲模態

固定端附近底板形成了凸凹不平的波段，屈曲后豎向腹板和底板間的連接線保持原來的直線，豎向腹板截面的輪廓形狀保持不變，即:固定端附近底板發生局部屈曲。

3.4.2 Ⅱ型屈曲模態

固定端附近底板和腹板同時形成了凸凹不平的波段，屈曲后豎向腹板和底板之間的連接線由原來的直線發生傾斜，屈曲區域附近底板和腹板差生位移，原來的截面形狀和輪廓發生了改變，即:固定端附近底板和腹板發生了畸變屈曲。

3.4.3 Ⅲ型屈曲模態

固定端附近腹板形成了凸凹不平的波段，豎向腹板截面的輪廓形狀保持不變，屈曲后豎向腹板和底板之間的連接線沒變，即:固定端附近腹板發生了局部屈曲。

3.4.4 Ⅳ型屈曲模態

自由端腹板受到荷載后向內和向下發生位移，但其自身截面形狀并未出現凸凹不平的波段，即自由端腹板發生了彎扭屈曲。

分析可知，受豎向均布荷載作用下變截面懸臂開口薄壁構件有3種基本屈曲形態，即板件的局部屈曲、截面的畸變屈曲和構件的整體屈曲。在理想狀態，這3種屈曲均屬于穩定分岔失穩問題［9］。

懸臂長度依次是50，75，90 m，底板寬度依次是4，6，8 m，在懸臂長度和底板寬度一定的條件下，豎向數值H1變化范圍4～15 m，水平數值H2為2～15 m的各種尺寸模型所對應的屈曲模態的計算統計結果如圖6。

圖6 不同尺寸屈曲模態統計Fig.6 Buckling mode statistics of different sizes

從圖6可以得出以下規律:

1)懸臂長度對懸臂開口鋼箱屈曲影響較大，當懸臂長度L從50 m增大到90 m時，發生Ⅰ型屈曲的概率顯著增多，發生Ⅳ型屈曲的概率顯著減少。Ⅱ型屈曲和Ⅲ型屈曲變化不顯著，尤其是Ⅱ型屈曲只有在某幾中尺寸下才發生。

2)懸臂長度L＜75 m時，底板寬度變化對屈曲影響較小，當跨徑增大到90 m時，底板寬度變化對屈曲影響較大，不能忽略。具體來說，發生Ⅰ型屈曲的概率增多，發生Ⅳ型屈曲的概率減少。

3)從 L=50 m，W=4 m，H1=4 m，H2=2 m 最小模型開始，首先發生Ⅰ型屈曲;Ⅱ型和Ⅲ型作為Ⅰ型與Ⅳ型的過渡型態，出現頻率很小。H2/L＞0.12左右時屈曲型態均為Ⅳ型。

4 結語

1)目前的假想荷載法由于沒有在板件理論的范疇內確定假想荷載，不能得到正確的平衡微分方程。筆者在板件理論的范疇內確定假想荷載，將基本方程建立在變形后的結構上，利用假想荷載法得到的彎扭平衡微分方程，直觀地解釋了薄壁構件彎扭屈曲問題用能量法進行分析推導時，不能引入外荷載的非線性功的原因，對薄壁構件彎扭屈曲的過程作了更清楚地解釋。

2)大量數值模擬分析發現，受豎向均布荷載作用的變截面懸臂開口薄壁構件有3種基本屈曲形態，即板件的局部屈曲、截面的畸變屈曲和構件的整體屈曲，這3種屈曲均屬于穩定分岔失穩問題。

3)懸臂長度對懸臂開口鋼箱一階屈曲影響較大，而且當懸臂曾長時，固定端底板屈曲增多，自由端腹板屈曲減少。固定端底板和腹板同時發生屈曲以及固定端腹板發生屈曲為過渡型態，出現較少。當懸臂端高度與懸臂長度H2/L＞0.12左右時均為自由端腹板屈曲。

［1］ Vlasov V Z.Thin-Walled Elastic Beam［R］.Washington，D.C.:National Science Foundation，1961.

［2］ 呂烈武，沈世釗，沈祖炎，等.鋼結構構件穩定理論［M］.北京:中國建筑工業出版社，1983.

［3］ 郭耀杰.懸臂構件穩定性理論及其應用［M］.武漢:華中理工大學出版社，1997.

［4］ 童根樹.鋼結構的平面外穩定［M］.北京:中國建筑工業出版社，2007.

［5］ 徐芝綸.彈性力學［M］.北京:高等教育出版社，2008.

［6］ Trahair N S，Papangelis J P.Flexural-torsional buckling of monosymmetric arches［J］.Structural Engineering，ASCE 1987，113(10):2271-2288.

［7］ Papangelis T P，Trahair N S.Flexural-torsional buckling test on arche［J］.Structural Engineering，ASCE，1987，113(7):1433-1443.

［8］ Papangelis T P，Trahair N S.Flexural-torsional stability of arch［J］.Structural Engineering，ASCE，1987，113(4):889-906.

［9］ 陳驥.鋼結構穩定理論與設計［M］.北京:科學出版社，2006.