研題因反思而升華，編題因創(chuàng)新而精彩——2011年揚(yáng)州市中考壓軸題引發(fā)的思考

☉江蘇省高郵市武安初中 趙友忠

研題因反思而升華，編題因創(chuàng)新而精彩
——2011年揚(yáng)州市中考壓軸題引發(fā)的思考

☉江蘇省高郵市武安初中 趙友忠

“研題因反思而升華，編題因創(chuàng)新而精彩”，對于中考題的研究可以更好地弄清楚命題者的意圖.在平時的教學(xué)中，我們一線教師要有意無意地對中考題進(jìn)行深刻的研究.筆者在認(rèn)真研讀揚(yáng)州市中考壓軸題第28題之后，將自己的感受總結(jié)如下.

一、中考試題展示

（2011年揚(yáng)州市中考題第28題）在△ABC中，∠BAC=90，AB＜AC，M是BC邊的中點(diǎn)，MN⊥BC交AC于點(diǎn)N.動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA以每秒厘米的速度運(yùn)動.同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)N出發(fā)沿射線NC運(yùn)動，且始終保持MQ⊥MP.設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t＞0）.（1）△PBM與△QNM相似嗎？以圖1為例說明理由（.2）若∠ABC=60，AB=4厘米.①求動點(diǎn)Q的運(yùn)動速度；②設(shè)△APQ的面積為S（平方厘米），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系，以圖1為例說明理由.

圖1

圖2（備用圖）

二、試題答案展示

圖3

圖4

（3）PQ2=BP2+CQ2.理由如下：如圖3，延長QM至D，使MD=MQ.連接BD、PD.因?yàn)锽C、DQ互相平分，所以四邊形BDCQ是平行四邊形.所以BD∥CQ.因?yàn)椤螧AC=90°，所以∠PBD=90°.所以PD2=BP2+BD2=BP2+CQ2.因?yàn)镻M垂直平分DQ，所以PQ=PD.所以PQ2=BP2+CQ2.

三、試題價值分析

（一）試題的概述

本題以三角形為背景，相似為紐帶，動態(tài)為風(fēng)向標(biāo)，全面考查了學(xué)生的綜合素質(zhì)能力；題目的設(shè)置遵循了從一般到特殊的原則，題目的探究始終圍繞△PBM與△QNM相似，從“探究相似——運(yùn)用相似性質(zhì)構(gòu)造方程——根據(jù)得到結(jié)論解決問題”，每個問題之間環(huán)環(huán)相扣；注重數(shù)學(xué)思想的滲透，引導(dǎo)學(xué)生從P點(diǎn)運(yùn)動位置的變化引發(fā)分類.

（二）試題解題思路的探究

解決解答題的時候?qū)忣}是關(guān)鍵，而條件中的關(guān)鍵詞又是審題的關(guān)鍵.本題主要抓住點(diǎn)P、Q都是在射線BA與射線NC上運(yùn)動，而我們在研究的過程中不能同時關(guān)注兩個動點(diǎn)，那么我們就要分清主動點(diǎn)與次動點(diǎn)，次動點(diǎn)是隨著主動點(diǎn)的變化而變化的；再根據(jù)射線這個關(guān)鍵詞研究主動點(diǎn)P點(diǎn)的位置變化情況.通過研究發(fā)現(xiàn)可以分成以下兩類：（1）在線段BA上；（2）在線段BA的延長線上.閱卷過程中發(fā)現(xiàn)問題“②設(shè)△APQ的面積為S（平方厘米），求S與t的函數(shù)關(guān)系式”的解決學(xué)生的錯誤率非常高，主要原因是學(xué)生沒有通過射線這個關(guān)鍵詞進(jìn)行分類思想的靈活應(yīng)用.

【錯誤答案展示】

（三）審清各個探究問題之間的關(guān)系

【錯誤答案展示】

【正確答案展示】

（3）PQ2=BP2+CQ2.理由如下：如圖3，延長QM至D，使MD=MQ.連接BD、PD.因?yàn)锽C、DQ互相平分，所以四邊形BDCQ是平行四邊形.所以BD∥CQ.因?yàn)椤螧AC=90°，所以∠PBD=90°.所以PD2=BP2+BD2=BP2+CQ2.因?yàn)镻M垂直平分DQ，所以PQ=PD.所以PQ2=BP2+CQ2.

四、中考題試題改編的探究

（一）試題改編的總體意見

試題的呈現(xiàn)過程中應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的學(xué)情，應(yīng)該要精心打造題目的陳述語言及方式，不要給學(xué)生帶來不必要的障礙與歧義.

（二）關(guān)于“結(jié)論”的變式探究

1.探究與△PQM相關(guān)的問題

改編題1. 在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC邊的中點(diǎn)，MN⊥BC交AC于點(diǎn)N.動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA運(yùn)動.同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)N出發(fā)沿射線NC運(yùn)動，且始終保持MQ⊥MP.（1）△PBM與△QNM相似嗎？以圖5為例說明理由.（2）△PQM與△CNM相似嗎？請說明理由.（3）當(dāng)PM與AC滿足什么條件時，△PQM的面積最小？請說明理由.

圖5

圖6（備用圖）

【設(shè)計意圖】第（2）問將△PBM與△QNM的兩組邊成比例轉(zhuǎn)化成△PQM與△CNM中的兩組對應(yīng)邊成比例；注重了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的考查，而這種平時平時的教學(xué)過程強(qiáng)化過，學(xué)生解決起來難度不是很大；第（3）問在第（2）問的基礎(chǔ)根據(jù)相似三角形“兩個三角形的面積之比是相似比的平方”可以知道，△CNM的面積是個定值，要想△PQM面積最小就要△PQM與△CNM相似比最小，相似比最小就轉(zhuǎn)化成線段QM最小，然后根據(jù)垂線段最短確定具體的位置，然后求出此位置的相關(guān)數(shù)據(jù).

2.探究與四邊形APMQ相關(guān)的問題

圖7

改編題2.如圖7，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC邊的中點(diǎn)，MN⊥BC交AC于點(diǎn)N.動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA以每秒厘米的速度運(yùn)動.同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)N出發(fā)沿射線NC運(yùn)動，且始終保持MQ⊥MP.設(shè)運(yùn)動時間t秒（t＞0）（.1）△PBM與△QNM相似嗎？以圖5為例說明理由（.2）若∠ABC=60°，AB=4厘米.①求動點(diǎn)Q的運(yùn)動速度；②如圖7，取PQ的中點(diǎn)O，連接AO、MO，我們通過“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”可以證明OA=OQ=OM=OP，這樣我們就可以發(fā)現(xiàn)A、P、M、Q四點(diǎn)的圓始終在同一個圓上，在P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動的過程中，我們發(fā)現(xiàn)⊙O的位置與大小都在發(fā)生變化，試探究當(dāng)t為何值時，⊙O的面積最小，并求出最小面積.

【設(shè)計意圖】研究△APQ的面積S與t的關(guān)系有些牽強(qiáng)，只能算是考查了列二元一次函數(shù)，而且對于得到函數(shù)沒有進(jìn)行后續(xù)的研究，后面出現(xiàn)的第（3）問有些唐突，還不如就避開討論△APQ的面積，轉(zhuǎn)化成討論四邊形APMQ；設(shè)計的問題通過敘述證明四點(diǎn)共圓的過程，讓學(xué)生感受到⊙O的存在性，從而根據(jù)變化中不變量點(diǎn)A、M確定圓的最小值；再求時間t的過程時，在Rt△APQ中運(yùn)用勾股定理構(gòu)造關(guān)于t的方程，又考查了學(xué)生在研究動態(tài)問題時如何對變量進(jìn)行表達(dá).