初中數學解題中常見錯誤案例分析

☉安徽省馬鞍山市外國語學校 司擎天

初中數學解題中常見錯誤案例分析

☉安徽省馬鞍山市外國語學校 司擎天

在數學解題中，學生表現出的錯誤是多種多樣的，概括起來主要有知識性錯誤、邏輯性錯誤、心理性錯誤和策略性錯誤等.本文試圖通過案例，分析錯誤原因，明晰錯誤類型，提高防錯能力.

一、知識性錯誤

知識性錯誤主要是由數學知識上的缺陷所造成的錯誤，如誤解題意、概念不清、忽視公式、定理成立的條件、記錯法則、用錯定理等.

1.不能正確理解題意

例1 （2005年貴陽）如圖1，一圓柱體的底面周長為24cm，高AB為4cm，一只螞蟻從點A出發沿著圓柱體的表面爬行到點C的最短路程大約是（ ）.

A.6cm B.12cm C.13cm D.16cm

故選C.

圖1

圖2

這種解法的錯誤是沒有理解題意.題目的條件是“沿著圓柱體的表面爬行”而不是“沿著圓柱體的側面爬行”.事實上，由點A到點C有兩類路徑：一、只走側面；二、既走側面又走底面.

解法2：如圖3，將圓柱的側面展開為矩形，上底面展開為母線AB上方的圓.則有：

圖3

也并非l2一定小于l1.若將上題中的圓柱體底面周長改為16cm，可得l2＞l1.

又由于底面展平有開放性且螞蟻從點A出發沿著圓柱體的路徑爬行到點C有無數條路徑.如圖4，設螞蟻沿A→D→C，其中AD是側面上的最短距離，DC是底面上的最短距離.

圖4

設圓心角∠BOD=α，底面圓的半徑為r，顯然0≤α≤π，則B（D=rα.于是：

顯然上列兩種解法都不對，解法1是因為不能正確理解題意，把“表面”當“側面”而出錯；解法2是因為分類不全而導致邏輯性錯誤，出錯的根本原因還是這道題超標.

由于不能正確理解題意而致錯的普遍存在于閱讀理解題、新定義題、應用題等.

2.忽視公式、定理成立的條件

錯誤原因是忽視了等比定理成立的條件：分母之和不等于0.

二、邏輯性錯誤

邏輯性錯誤主要是違反邏輯規則所產生的推理上或論證上的錯誤.如預期理由、不能推出、偷換概念、循環論證、分類不全、充要條件錯亂等.

1.預期理由（論據的真實性有待于證明）

例3 求證：任意三角形為等腰三角形.

已知：△ABC為任意三角形.

求證：AB=AC.

證明：作∠A的平分線t與BC的中垂線l交于點O，連接BO、CO，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F（如圖5），則OE=OF.于是Rt△AOE S Rt△AOF，所以AE=AF.

同理Rt△BOESRt△COF，所以BE=CF.故AB=AC.

此處“∠A的平分線t與BC的中垂線l交于點O”其真實性有待于證明，稱之為“預期理由”.若AB=AC，則t與l重合；若AB≠AC，則t與l的交點在△ABC的外部.

2.偷換概念（違反同一律）

例4 已知m為有理數，問k為何值時方程x2－2（3m+1）x+（8m2+2m－3k）=0的根是有理數.

錯解：要使方程的根是有理數，它的判別式

Δ=［2（3m+1）］2－4（8m2+2m－3k）=4（m2+4m+1+3k）必須是完全平方式，也就是必須使關于m的方程m2+4m+1+3k=0有兩個相等的實根.于是Δ′=42－4（1+3k）=12（1－k）=0，

所以k=1.

3.分類不當（分類有重復或遺漏）

例5 平面直角坐標系內有點A（1，1），請在x軸上找點P，使得△AOP為等腰三角形，并求出點P的坐標.

錯解：如圖6，易找到滿足條件等腰直角三角形AOP的P點的坐標為（1，0）和（2，0）.

分析：對于等腰△AOP，按底邊我們應分三種情況考慮：

圖6

（1）當OA為底時，則OP=AP，此時點P是OA的中垂線與x軸的交點，P（1，0）；

（3）若A為頂點，則AO=AP，此時點P是以A為圓心，AO為半徑的圓與x軸的交點，P（2，0）.

4.循環論證（論據的真實性依賴于論題）

例6 已知△ABC中，AD為∠A的平分線，BD＞DC，求證：AB＞AC.

證明：如圖7，在AB上取點E，使AE=AC，連接DE.

因為AD平分∠A，所以△AED S△ACD，從而∠AED=∠C.

又因為∠AED＞∠B，所以∠C＞∠B.故AB＞AC.

分析：證明中在AB上取點E，使AE=AC，已經承認了AB＞AE=AC.這相當于從AB＞AC出發，證明AB＞AC，等于什么也沒證.

5.不等價變換（充要條件錯亂）

例7 解方程x2=3x.

分析：學生習慣在等式兩邊同除以x，得x=3.

顯然x=3是x2=3x的充分但非必要條件，解法錯誤.

例8 已知方程x2+（m－2）x+5－m=0的兩根都大于2，求實數m的取值范圍.

圖7

圖8

因為方程x2+（m－2）x+5－m=0的兩根都大于2，所以

三、心理性錯誤

心理性錯誤是由于某些心理原因而產生的錯誤.如負遷移、潛在假設，以及看錯題、抄錯題、丟三落四、慌亂急躁、緊張焦慮等.

1.負遷移

受到解分式方程的影響，把分式運算當成了解方程.

這里可以“錯”中找“對”，利用錯解中的合理成分，化腐朽為神奇.

例10 如果關于x的不等式3x－m＜0的正整數解是1、2、3，求m的取值范圍.

錯解：根據題意將x=1、2、3分別代入不等式3x－m＜0，得m＞9.

分析：將方程的解遷移到不等式上，導致對條件“正整數解是1、2、3”理解的偏差，從而將另一層含義“大于或等于4的整數不是該不等式的解”忽視了.

故9＜m≤12.

圖9

正解2：（“錯”中找“對”）

由已知x=3是不等式3x－m＜0的正整數解，而x=4卻不是，所以 3×3－m＜0，

2.忽視隱含條件

解題過程中因局部滿足感的驅使，常常忽視隱含條件.

錯解：因為原方程有兩個不相等的實數根，

分析：由于忽視隱含在題目中的條件k－1≥0，即k≥1，故出現錯解.

例12 已知二次函數y=2x2－4x+1，求當0≤x≤5時，y的變化范圍.

忽視了對稱軸在區間內這一隱含條件而致錯，正解應是－1≤y≤31.

3.潛在假設

例13 下面各行數字中，哪一行既含有某個整數的平方，又含有另一個整數的立方（ ）.

錯解：在所出現的數字2，3，4，5，6，7，8，9中，只有8是整數的立方，4，9是整數的平方，故不含8的A、D、E首先可以排除.又C中4是2的平方，8是2的立方，“平方”、“立方”都是2，與“含有某個整數的平方，又含有另一個整數的立方”不符，故選B.

事實上，－2的平方也等于4，所以，選擇B、C都成立，這種錯誤是由于心理原因造成的潛在假設或丟三落四所致.

有時，幾種錯誤也會同時出現.

例14 在△ABC中，AD是高，且AD2=BD·CD，那么∠BAC的度數是（ ）.

A.小于90° B.等于90° C.大于90° D.不確定

錯解：如圖10.

圖10

圖11

這道題沒有給圖，解答默認了點D在BC上，若點D在BC外（如圖11），則有∠BAC＜90°，所以正確答案應是D.由于默認了“點D在BC上”得出一個假命題，有知識性錯誤；分類不全又有邏輯性錯誤；而“默認”本身又有心理性原因——潛在假設.

四、策略性錯誤

策略性錯誤主要是解題方向上的偏差，造成思路受阻或解題長度過長，存在多余的思維回路.

1.缺乏整體觀念

例15 有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若購甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元.現在購甲、乙、丙各一件共需多少元？

然后試圖單獨求出x、y、z，發現兩個方程中有三個未知數，感到條件不足，而題目中又不可能再列出第三個方程，只好放棄.這是由于缺乏整體觀念，導致解題策略上的方向偏差.如果避開x、y、z這些非必要的成分，將x+y+z看成一個整體，化上述方程組為：

所以a、b是方程②的根.

分析：由④先解出α、β，然后代入⑤又消去α、β，解題長度過長，存在多余的思維回路.⑥式進行了兩根之和、兩根之積的運算，讓我們聯想到用韋達定理代替求根公式.

證明2：把①化為標準形式

⑦代入⑧得x2－（a+b）x+ab=0，所以方程②的根為：x=a，x=b.

分析：先求出α+β，αβ，然后代入⑧消去α+β，αβ.多余的思維回路仍未消除！

整體上看條件與結論之間具有對稱性.

所以（x－α）（x－β）+cx=（x－a）（x－b）.即a、b是方程②的兩個根.

2.不善于從反面思考

例17 已知三個方程x2+mx－m=0，x2+2mx－3m=0，x2+（m－1）x+m2=0，至少有一個方程有實數根，求m的取值范圍.

分析：若從正面考慮，要列7個不等式組，耗時、耗力，容易出錯.題設的反面是三個方程都無實數根，于是有：

即當－3＜m＜－1時，三個方程都沒有實數根，因此當m≥－1或m≤－3時，三個方程中至少有一個方程有實數根.

3.不能恰當地轉化問題

例18 若平行直線EF、MN與相交直線AB、CD相交成如圖12所示的圖形，則共得同旁內角（ ）.

A.4對 B.8對 C.12對 D.16對

解：分別取出AB、CD，得出2個“三線八角”基本圖形；再取出EF，可得到3個“三線八角”基本圖形，同樣取出MN也得到3個“三線八角”基本圖形.一共有8個基本圖形，而每個基本圖形都有2對同旁內角，因而共有16對同旁內角.選D.

如果直線條數增加，這種解法的局限性就立即暴露出來，題目難以做對.

例19 如圖13，l1與l2為相交直線，l3與l4為平行直線，l5與l6也為平行直線，問這6條直線組成多少對同旁內角？

例20設直線l1、l2、…、lk（k≥3）或相交或平行，其中li上有ni個交點（ni≥0），則這k條直線組成的圖形中，有多少對同旁內角？

分析：難以做對的原因是不能將問題轉化.我們注意到在“三線八角”中，關鍵是截線c（如圖14），當a、b越來越短時，并不影響我們對“三線八角”的認識.不妨認為a、b收縮為截線c上的兩點，這樣一個“三線八角”的基本圖形就對應一條線段，求基本圖形的個數就轉化為求線段的條數.

圖12

圖13

圖14

例18另解：AB、CD上均有3條線段，EF、MN上均有1條線段，所以共有8條線段，對應8個“三線八角”的基本圖形，每個基本圖形有2對同旁內角，共有16對同旁內角.

事實上，當學生的認知結構不能同化他所接觸的題目時，就會發生解題錯誤，而認知結構包括知識結構和認識結構兩個方面.所以，在教學中我們除了注重完善學生的知識結構外，還要注重完善學生的認識結構.

1.戴再平.數學習題理論［M］.上海：上海教育出版社，1996.

2.羅增儒.數學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2008.