自由漂浮柔性空間機(jī)器人軌跡跟蹤控制

胡慶雷，翟艷霞，霍 星，2

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程系，150001哈爾濱;2.渤海大學(xué)工學(xué)院，121013遼寧 錦州)

隨著空間技術(shù)的發(fā)展，空間機(jī)器人技術(shù)得到廣泛的應(yīng)用.質(zhì)量輕、成本低、大范圍的柔性空間機(jī)器人成為了現(xiàn)代空間技術(shù)的迫切需求［1-5］.在空間機(jī)器人操作時(shí)，為了節(jié)省燃料，通常關(guān)閉航天器本體姿態(tài)控制器，使其處于自由漂浮狀態(tài)［6］.然而，柔性空間機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)和操作時(shí)會(huì)產(chǎn)生扭曲、彈性、剪切等變形，這將影響空間機(jī)器人的穩(wěn)定性和控制精度.同時(shí)，由于空間機(jī)器人存在剛性與柔性的耦合，使得描述該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)變得很復(fù)雜.因此，研究柔性空間機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)分析及控制十分必要.

許多學(xué)者對(duì)柔性機(jī)器人控制問(wèn)題做出了研究.采用奇異攝動(dòng)方法，文獻(xiàn)［7］將柔性機(jī)器人的系統(tǒng)分離為剛性與柔性兩部分，并進(jìn)而對(duì)其動(dòng)力學(xué)控制問(wèn)題展開(kāi)深入研究.考慮到存在參數(shù)不確定性，文獻(xiàn)［8］提出一種增廣自適應(yīng)控制方法來(lái)解決空間機(jī)器人的控制問(wèn)題.針對(duì)自由漂浮柔性空間機(jī)械臂末端跟蹤控制問(wèn)題，Green在文獻(xiàn)［9］中提出了一類自適應(yīng)模糊控制方法，并采用仿真方法驗(yàn)證了所提方法的有效性.此外，文獻(xiàn)［10-15］針對(duì)剛性空間機(jī)器人的軌跡跟蹤控制問(wèn)題也展開(kāi)了一些相關(guān)的研究.然而，盡管在上述的研究成果中針對(duì)于剛性機(jī)器人給出了可行的控制方案，但是對(duì)于柔性空間機(jī)器人的控制，目前研究成果相對(duì)較少，尤其是考慮柔性振動(dòng)、欠驅(qū)動(dòng)及存在系統(tǒng)載體姿態(tài)干擾的自由漂浮柔性空間機(jī)器人軌跡跟蹤控制研究比較欠缺.在這方面，文獻(xiàn)［14］采用變結(jié)構(gòu)控制方法在自由漂浮柔性空間機(jī)器人軌跡跟蹤控制方面也展開(kāi)初步的研究與探討.

為此，本文在上述研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，對(duì)存在載體姿態(tài)干擾的自由漂浮柔性空間機(jī)器人系統(tǒng)，考慮系統(tǒng)柔性振動(dòng)及欠驅(qū)動(dòng)問(wèn)題，提出一種非奇異終端滑?？刂品桨?，以期實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)關(guān)節(jié)空間的軌跡跟蹤控制.該方案采用自適應(yīng)控制技術(shù)在線學(xué)習(xí)系統(tǒng)干擾參數(shù);同時(shí)加入條件積分改進(jìn)了終端滑模面，以消除干擾帶來(lái)的穩(wěn)態(tài)誤差.Lyapunov穩(wěn)定性法分析證明了該控制器能夠使軌跡跟蹤誤差收斂到零.最后，仿真結(jié)果表明該方案能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)期望軌跡的跟蹤.

1 數(shù)學(xué)模型

設(shè)自由漂浮柔性空間機(jī)器人系統(tǒng)由自由漂浮的剛性載體B0和柔性機(jī)械臂B1、B2組成，如圖1所示.系統(tǒng)處于微重力環(huán)境中，忽略重力影響;柔性桿為均勻細(xì)長(zhǎng)桿，忽略軸向變形和剪切變形，視為Euler-Bernoulli梁［6，14］.建立各個(gè)分體Bi的連體坐標(biāo)系Oixiyi，i=0，1，2及慣性坐標(biāo)系OXY.

圖1 自由漂浮柔性空間機(jī)器人的結(jié)構(gòu)模型

根據(jù)拉格蘭日法與假設(shè)模態(tài)法，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)可以得到的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程［7-10，16］:

其中:q=［xsysθ0θ1θ2q1q2］T為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，xs、ys、θ0為系統(tǒng)載體位置和姿態(tài)，θ1、θ2分別為關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2轉(zhuǎn)角，q1、q2為模態(tài)坐標(biāo);M(q)為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣;C(q，q)為包含各種摩擦力的參數(shù)矩陣;K=diag(0，k1，k2)為剛度矩陣，其中振動(dòng)模態(tài)φ(xi)=sin(π/li)xi

2 動(dòng)力學(xué)分析

自由漂浮柔性空間機(jī)器人系統(tǒng)剛性運(yùn)動(dòng)與柔性振動(dòng)相互耦合，同時(shí)機(jī)械臂操作期間系統(tǒng)載體的位置和姿態(tài)是不受控的，方程(1)是高度非線性、非完整約束、欠驅(qū)動(dòng)的.

設(shè)集中力

其中fx、fy分別為作用于系統(tǒng)載體水平方向和垂直方向的控制推力;τ0為作用于載體的外部轉(zhuǎn)矩;τ1、τ2為作用于連桿關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩;f1、f2為作用于柔性連桿上主動(dòng)振動(dòng)控制力.由于系統(tǒng)載體位置、姿態(tài)不受控

設(shè)q=［qTrqTe］T表示剛形體位移矢量，其中qr=［qTpqTa］T，qp=［xsysθ0］T，qa=［θ1θ2］T;而qe=［q1q2］T為柔性變形位移矢量.根據(jù)文獻(xiàn)［14］可得

由于Mpp可逆，方程(3)變形代入方程(4)，整理化簡(jiǎn)可得

其中:

對(duì)于自由漂浮柔性空間機(jī)器人系統(tǒng)，方程(5)將柔性振動(dòng)作為系統(tǒng)擾動(dòng)的一部分，并且將欠驅(qū)動(dòng)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為全驅(qū)動(dòng)問(wèn)題.本文將通過(guò)方程(5)設(shè)計(jì)控制算法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)軌跡跟蹤.

3 控制器設(shè)計(jì)

在簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型(5)的基礎(chǔ)上，假設(shè)期望的軌跡為qad=θd，則其相應(yīng)的跟蹤誤差定義為e=qa-qad.由方程(5)可知

選取如下非線性滑模面［17-23］:

其中β=diag(β1，β2)，并且βi＞0(i=1，2);p和q均為奇數(shù)，且0＜q＜p＜2q.

注1 對(duì)向量z∈Rn×1，定義

根據(jù)等效控制設(shè)計(jì)方法，控制律形式可描述為

其中τeq為等效控制作用，τsw為切換控制作用.

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)入滑模面上后，即滿足s=0與=0.由此，可以確定等效控制

為確定切換控制作用保證滑動(dòng)模態(tài)的存在，考慮系統(tǒng)擾動(dòng)項(xiàng)，設(shè)系統(tǒng)擾動(dòng)項(xiàng)d=M-1ada.

假設(shè)1系統(tǒng)擾動(dòng)d(t)有界，且滿足下列不等式:

其中D為未知的干擾界.

對(duì)于未知常數(shù)D的選取，本文給出一種自適應(yīng)學(xué)習(xí)的方法［22］來(lái)實(shí)時(shí)在線對(duì)其估計(jì).因此，設(shè)計(jì)如下非線性控制部分:

其中k＞0，D為D的估計(jì).為了避免外部干擾對(duì)D影響，給出如下改進(jìn)型自適應(yīng)學(xué)習(xí)律［22］:

式中:γ為自適應(yīng)因子;μ(t)=-rμ(t)，且r＞0，μ(0)＞0.

定理1考慮系統(tǒng)(6)且滿足假設(shè)1.如果選取滑模面(7)，并采用給出的控制律(8)以及參數(shù)自適應(yīng)律(9)，則系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面s(t)=0，也即系統(tǒng)滿足有限時(shí)間穩(wěn)定.

證明考慮如下Lyapunov函數(shù):

將式(8)、(9)代入式(11)可得

由μ(t)=-rμ(t)可知，

由此，當(dāng)s(0)≠0時(shí)，考慮到p、q為奇數(shù)，且1＜p/q＜2，可得p/q-1≥0，也即≤0，系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定，并且滿足s(t)=0.

此外，當(dāng)s=0滿足后，系統(tǒng)(6)可改寫為e+，同時(shí)可得有限收斂時(shí)間ts為［17，21-22］

此外，為了減小滑?？刂频亩墩瘢捎蔑柡秃瘮?shù)sat(s/φ)來(lái)替代符號(hào)函數(shù)sgn(s)，即

其中φ＞0為邊界層厚度［24］.控制律τa=τeq+τsw有

為了避免積分飽和問(wèn)題［25-28］，給出如下改進(jìn)的滑模面:

其中α=diag［α1，α2］，αi＞0(i=1，2)，并且參數(shù)α、β選取使得多項(xiàng)式s2+β-1is+αi(i=1，2)為Hurwitz多項(xiàng)式;σ滿足

定義增廣誤差ea?e+β-1p/q，顯然，在邊界層外，也即‖s‖≥φ，式(15)可改寫為σ=-ασ+φsgn(s);在邊界層內(nèi)，也即‖s‖≤φ，式(15)改寫為σ=e+β-1p/q=ea.由此，可有如下結(jié)論:

定理2考慮系統(tǒng)(6)，滿足假設(shè)1并選取滑模面(14).如果采用控制律(13)與參數(shù)自適應(yīng)律(9)，則閉環(huán)系統(tǒng)是有界穩(wěn)定的.

證明基于上面的分析，該證明將分兩種情況展開(kāi)討論:

2)對(duì)s求導(dǎo)，可得

如果選取Lyapunov函數(shù)(10)，并對(duì)其求導(dǎo)可得

當(dāng)‖s‖≥φ時(shí)，sat(s/φ)=sgn(s);由(1)知‖sat(s/φ)‖≤1，‖σ‖≤φ/‖α‖，可得

由式(12)，且當(dāng)s≠0時(shí)ep/q-1＞0可知

當(dāng)‖s‖≤φ時(shí)，sat(s/φ)=s/φ，=ea=e+β-1p/q;由于積分的存在，當(dāng)t→∞將使得ea=0，進(jìn)而e=0.至此定理得證.

4 仿真比較與分析

采用文獻(xiàn)［9］給出的柔性空間機(jī)器人系統(tǒng)物理參數(shù)m0=600 kg，b0=3.0 m，m1=m2=1.507 5 kg，l1=l2=4.5 m和FEI1=FEI2=1 676 N·m2進(jìn)行仿真驗(yàn)證.假設(shè)期望軌跡與初始值分別為

此外，在仿真研究中，假設(shè)系統(tǒng)控制力矩輸入限制在｜τi｜≤10 N·m，i=1，2，并且相應(yīng)的控制器參數(shù)選取為β=diag(0.5，1)，α=diag(15，18)，q=7，p=9，k=2，φ=0.05;γ=10，r=5和μ(t)=e-5t.

4.1 無(wú)載體干擾的仿真結(jié)果

在這種情況下，分兩種情況:采用滑模面(7)的控制器(8)與采用滑模面(14)的控制器(19)進(jìn)行仿真，并進(jìn)一步與傳統(tǒng)的PID控制仿真進(jìn)行比較.仿真結(jié)果如圖2～5所示.從仿真圖中可知，系統(tǒng)在PID控制及本文設(shè)計(jì)控制器輸入力矩在相同限制條件下，均能跟蹤期望關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角;顯然本文設(shè)計(jì)的控制器關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差更小，跟蹤精度更高;同時(shí)，控制作用只是引起微小的柔性模態(tài)振動(dòng).

4.2 載體干擾下的仿真結(jié)果

在上述相同的控制參數(shù)與仿真初始條件下，假設(shè)在仿真時(shí)間t=30 s處，突然加入載體干擾力矩τf=［0010］T(N·m)，其相應(yīng)的仿真結(jié)果如圖6所示.仿真結(jié)果表明:在存在載體姿態(tài)干擾的情況下，選取滑模面(14)的控制器(19)穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差更小，相對(duì)于選取終端滑模(7)的控制器(8)跟蹤精度很高.

圖2 輸入控制轉(zhuǎn)矩

圖3 關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差曲線

圖4 關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角曲線

圖5 柔性模態(tài)振動(dòng)曲線

圖6 載體姿態(tài)干擾條件下的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差曲線

5 結(jié)論

針對(duì)平面運(yùn)動(dòng)雙連桿自由漂浮柔性空間機(jī)器人軌跡跟蹤控制問(wèn)題，本文設(shè)計(jì)了一種較為簡(jiǎn)單的控制終端滑?？刂撇呗?，能夠在載體姿態(tài)干擾條件下跟蹤關(guān)節(jié)期望軌跡，解決了帶有柔性振動(dòng)擾動(dòng)的欠驅(qū)動(dòng)空間機(jī)器人系統(tǒng)軌跡跟蹤控制問(wèn)題.最后，數(shù)值仿真研究結(jié)果表明所提出的控制方法能夠很好的實(shí)現(xiàn)跟蹤目標(biāo)，且具有良好的魯棒性和工程應(yīng)用的潛在能力.

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