一種汽車防抱死制動系統的非線性控制方法

劉志遠，井后華，陳 虹

(1.哈爾濱工業大學控制科學與工程系，150001哈爾濱;2.吉林大學控制科學與工程系，130022長春)

防抱死制動系統(anti-lock braking system，ABS)主要用于在緊急制動過程中通過調節制動力矩防止車輪抱死，在保持轉向能力和橫向穩定性的同時最大利用路面的摩擦力，從而有效提高行車安全性［1］.ABS控制相關的大多數研究均基于制動力矩可以連續精確調節的假設［2-3］，這與實際情況不符.由于受成本和可靠性因素制約，實際車輛中廣泛采用開關閥調節壓力.通過協調閥的開、關，這類執行器可以實現增壓、保壓、減壓三種控制模式.為此，需要設計其切換規則來實現制動力矩和滑移率的調節.工程中廣泛采用基于邏輯和參數閾值設計控制規則［1］，這種方法進行參數整定時需要經驗和進行大量的試驗，導致開發周期長、費用高.文獻［4-5］分別以不同相平面為基礎，參考相軌跡特點定性地分析和設計不同工作模式之間的切換規則.但由于這些規則主要基于輪加速度設計，而忽略了滑移率控制的本質，所以會造成制動力矩和滑移率劇烈波動，從而降低制動過程的平順性.

本文采用切換系統模型描述了開關閥ABS增壓、保壓、減壓三種工作模式的動態特性;并基于Filippov意義下的Lyapunov方法設計出兩個切換面，以其對狀態空間的劃分形式作為切換規則;結合基于整車動力學軟件veDYNA的仿真對比，對控制器進行了分析和改進;最后通過道路實驗進行驗證.

1 開關閥ABS建模

輪胎-地面之間的縱向摩擦系數μ是分析制動效能的主要依據，受到許多因素影響，但其主要表現為依賴于滑移率λ的強非線性關系.圖1給出了一條典型的μ-λ曲線.為了保證制動性能，要求控制滑移率λ在曲線峰值附近.據此，ABS的本質實際上是通過執行器實現對各車輪滑移率的調節.

圖1 典型μ-λ曲線

滑移率定義為λ=1-ωr/v，其中ω是車輪角速度，r是有效車輪轉動半徑，v是車輛縱向速度.基于1/4車輛模型，可得滑移率動態方程［2］為

其中:m是1/4車輛質量;J是車輪轉動慣量;Fz是地面對車輪的支持力;Tb為施加在制動盤上的制動力矩.考慮到慣量差異懸殊，為了便于控制器設計，忽略車速動態特性，而將車速作為慢變參數處理［2］.

由于1/m?r2/J，式(1)可進一步簡化為

制動力矩Tb通常采用液壓(氣壓)制動系統實現，與輪缸內液壓成正比.系統為每個輪缸分配一對閥體分別用于進液和出液，通過協調控制兩個閥體的開關可實現增壓、保壓、減壓三種工作模式［1］.然而，由于開關閥不能調節流量，導致力矩變化率不能任意調節.考慮到ABS制動過程中壓力波動范圍很小，忽略其非線性特性.因此，近似認為三種模式分別對應3個不可調節的常值力矩變化率，而將執行機構主要特性描述為［6-7］

其中γ1、γ2均為正值，分別為增壓和減壓模式的力矩變化率.

設期望滑移率λ*，令x1=λ-λ*，x2，，且定義Kλ=?μ(λ)/?λ｜λ=λ*，0，由式(2)、(3)可得關于車速v的參變系統描述為

為了充分利用地面附著力并保證制動平順性，選擇λ*在峰值點左側且接近峰值點處，此時滿足rFzKλ+Ja/r＞0［8］.為簡便起見，定義η=rFzKλ+Ja/r，x=［x1x2］T，系統(4)簡寫為

其中u∈{γ1，0，-γ2}為不連續變量.所以g(x，v，γ1)、g(x，v，0)、g(x，v，-γ2)分別表示對應于增壓、保壓、減壓三種工作模式的子系統.

ABS的控制原理就是通過協調各工作模式之間的切換，將滑移率控制在期望點附近.因此，本文的控制問題可歸結為設計3個子系統之間的切換規則，以實現閉環系統的漸進穩定.

2 控制器設計

近年來，多模型切換系統控制已引起國內外學者的重視，并在許多領域進行了廣泛的應用.對于本文所研究的一類切換系統，其主要通過設計各子系統之間的切換律來實現整個系統的穩定控制.切換律按表現形式一般分為兩類:其一，以切換時刻作為控制變量，即考慮某性能指標的優化問題［9］，但該方法實時性和魯棒性較差;其二，在狀態空間中構造切換面，以其劃分形式作為切換基準［10］，該方法具有狀態反饋特征，更易于實現，且魯棒性較強.為此，本文將從切換面角度考慮開關閥ABS控制律設計問題.

2.1 切換面構造

針對本文3個子系統的特征，g(x，v，0)是介于g(x，v，γ1)和g(x，v，-γ2)之間的中間狀態，為此，定義兩個切換面分別作為g(x，v，0)與其他二者之間的切換條件.如圖2所示，在狀態空間中，兩個切換面S1={x｜s1(x，v)=0}、S2={x｜s2(x，v)=0}表現為經過原點的不重合曲面，其中s1(x，v)、s2(x，v)均為連續可微的狀態反饋函數.兩切換面將狀態空間分為3個子空間P1={x｜s1(x，v)＞0}、P2={x｜s1(x，v)＜0，s2(x，v)＞0}、P3={x｜s2(x，v)＜0}分別表示g(x，v，γ1)、g(x，v，0)、g(x，v，-γ2)3個子系統的工作區域.

圖2 切換面狀態空間劃分

2.2 反饋函數求解

為從理論上保證上述切換面作用下的閉環系統能夠穩定，本文將采用Lyapunov方法作為切換面解析解的求解依據.由于系統在切換面處是不連續的，導致傳統連續系統分析方法不再適用.為此，本文將在Filippov解的意義下進行分析.針對非連續微分方程，Filippov給出了一種微分包含解定義，用微分包含替代原微分方程來研究解問題，從而可以克服在經典解框架下無法給出非連續處解的問題［11］.本文閉環系統在Filippov意義下的微分包含形式記為∈K［g］(x，v).對于切換面上的點，Filippov集合K［g］(x，v)為其無限小鄰域內兩側矢量的凸組合.以x∈S1為例，K［g］(x，v)={g(x，v，γ1)，g(x，v，0)}=g(x，v，［0，γ1］).其中表示凸閉集，而對于切換面外的點，則與經典連續系統一致.因此，參照圖2，可以得到

其中θ1、θ2∈［0，1］表示g(x，v，u)在兩個不連續處的u值分別對應集合［0，γ1］和［-γ2，0］.

為了保證Filippov解的存在性和唯一性［11］，其中一種充分條件為

對于?x≠0.

根據式(6)，可初步構造s1(x，v)、s2(x，v)為

其中α1＞0，α2＞0，

下面基于Filippov意義下的Lyapunov方法［12］確定狀態反饋函數s1(x，v)、s2(x，v).根據圖2所示的空間劃分方式，選取Lur’e-Postnikov類型的非平滑Lyapunov函數［13］

V(x，v)呈類能量形式，即包含1個二次型函數的“動能”和1個與執行器和反饋函數相關的“勢能”.

由于Lyapunov函數具有非平滑特性，需采用廣義時間求導方法，記為(d/dt)V(x，v)∈據此分別在5個子空間(S1、S2、P1、P2、P3)中計算·~V(x，v)，結果如式(9)所示.方便起見，下文中將β1(x2，v)和β2(x2，v)分別簡寫為β1和β2.

其中對于x∈S1、S2，即狀態x保留在切換面上的情況，由1(x，v)、2(x，v)=0可得

則式(7)、(9)可以作為反饋函數s1(x，v)、s2(x，v)的求解依據.以s1(x，v)為例，除α1＞0，?β1(x2，v)/?x2≥0外，還要考慮(x，v)≤0的條件:

1)對于x∈P2,(x，v)≤0必然成立;

2)對于x∈P1,(x，v)≤0的1個充分條件為

而對于x∈S1，即x保留在切換面S1上時，(x，v)≤0的1個充分條件為α1x22+ax2(?β1/?v)≥0.

綜上可以得到一組保證·~V(x，v)≤0的s1(x，v)可行解

式中α1＞0，k1≥0;對于x2≥0，1≥k1≥1-α1;對于x2＜0，k1≥α1-1.s1(x，v)在原點處連續可微.若令α1=α2=1，則可得s1(x，v)和s2(x，v):(a)對于x2≥0，

其中0≤k21≤k11≤1.(b)對于x2＜0，

其中0≤k12≤k22≤1.

因此，在式(10)、(11)所定義的反饋函數s1(x，v)和s2(x，v)的作用下，在任意初始狀態下均有(x，v)≤0，且(x，v)=0僅在x2=0時成立.而從閉環系統特性(5)看，軌跡不會停留在x2=0上除原點以外的其它點.所以，閉環系統狀態將逐漸收斂至原點.

2.3 控制器實現

上述分析表明，基于式(10)、(11)得到的兩個切換面S1={x｜s1(x，v)=0}和S2={x｜s2(x，v)=0}可以保證閉環系統原點的漸進收斂性，滿足控制需求.為更清晰表述控制器實現方式及其與ABS工程問題的關聯，可進一步將控制器表示為圖3所示的狀態.

圖3 狀態轉移示意

3 控制器分析及仿真

由式(10)、(11)可看出，反饋函數中包含車速v，說明其可根據速度變化進行增益調度，從而可以適應制動過程中車速的大范圍變化.此外，除車輛參數(J、r、γ1、γ2)以外，切換面僅包含4個設計參數，即k11、k12、k21、k22.而這4個參數主要用于調節切換面的傾斜度，即通過改變狀態空間的劃分形式來調整切換策略.為了清晰說明這一點，本節將基于德國Tesis公司的高精度車輛動力學仿真軟件veDYNA進行仿真.仿真環境模擬干燥柏油路面，制動初速度100 km/h，期望滑移率為0.11，且當滑移率大于0.15時激活控制器;限于篇幅，僅給出左后車輪仿真結果，各子圖依次為滑移率(-)、輪缸中制動壓力(MPa)、工作模式(1、0、-1分別表示增壓、保壓、減壓).由于每組仿真均為兩組以上參數的對比結果，且車速、輪速極為接近，難以分辨，因此仿真結果未給出二者曲線;另外，為了清晰地對比說明參數作用，僅給出最初1 s的仿真結果;完整的制動過程和車速、輪速對比曲線將在后續實車道路試驗部分給出.控制器主要參數如表1所示.

表1 控制器主要參數

3.1 參數k11、k22特性分析

調整增益k11可以改變切換面S1的傾斜度，進而調整“增壓-保壓”的切換時刻.較小的k11會使增壓區域增大而將保壓時刻滯后，這會造成控制過程增壓過度;相應地，增大k11會使“增壓-保壓”切換時刻提前，避免液壓的明顯超調.同理可以分析k22.

圖4給出了在k21=k12=0條件下，k11、k22相等且依次等于1、0.25、0時的仿真結果，其中線條分別為黑色實線、藍色虛線和紅色點劃線.可以看出，當4個增益均為0，即兩個切換面合并為縱坐標時，增壓和減壓模式反復切換，壓力和滑移率波動嚴重;而隨著k11、k22不斷增大，兩切換面相互分離，作為增壓和減壓之間的過渡模式，保壓對應子空間增大，液壓和滑移率波動減弱，踏板感覺和制動平順性會相應地有所改善.

圖4 不同控制參數k11、k22下的仿真結果

3.2 參數k21、k12特性分析

類似地，k21、k12分別用于調節“保壓-減壓”、“保壓-增壓”的切換時刻.清晰起見，圖5僅給出k11=k22=1，k21、k12相等且分別為1、0的仿真結果.

圖5 不同控制參數k21、k12下的仿真結果

k21、k12為0時，由保壓模式進入調壓模式(增壓或減壓)的時刻較晚，而且調壓模式對應的子空間較小，致使壓力和滑移率存在明顯的波動.隨著k21、k12逐漸增大，兩切換面逐漸靠近，保壓子空間減小，快速的增壓和減壓可以減小壓力和滑移率的波動幅度;然而，相應的保壓時間也逐漸減少，必然導致閥頻繁開關，這種驅動方式會嚴重影響閥的性能和使用壽命，并且在實際中很難實現.特別地，當4個增益均為1時，兩切換面重合，保壓區間消失，即僅依靠增壓和減壓模式進行壓力調節，此時的切換面作用與滑模面類似［14］.

4 控制器改進及實驗驗證

4.1 控制器改進

根據上節分析，增益參數(k11、k12、k21、k22)不僅用于調整滑移率跟蹤效果，同時又影響各工作模式的切換頻率;但兩個性能相互制約，難以同時滿足;這是由其原點穩定的控制目標決定的.考慮到相比于精確的滑移率控制，能夠用少量的切換將滑移率平穩控制在期望值附近更具有實際意義.因此，下面將控制目標調整為控制滑移率收斂到期望值的指定鄰域內，即考慮平衡集合的收斂問題.

如圖6所示，將切換面S1向x1軸負向移ε，其與x1軸交點為A.參考Lyapunov函數(8)，P3不變，V(x，v)仍為原點的Lyapunov函數，V(x，v)遞減可以保證狀態軌跡向原點收斂;而P1={x｜s1(x，v)＞ε}中V(x，v)變為點A的Lyapunov函數，V(x，v)遞減可以保證狀態向點A收斂;此外，P2={x｜s1(x，v)＜ε，s2(x，v)＞0}中狀態軌跡向橫坐標收斂.綜上，在切換面S1、S2作用下，狀態軌跡將最終收斂至橫坐標上點A和原點所限定的集合，即

圖6 改進切換面作用下平衡域的收斂

ε決定著收斂區間的大小，其選取會影響到閉環系統的控制性能.如圖7所示，其中黑色實線和藍色虛線分別表示ε為0.04和0.02，即期望滑移率分別為0.07～0.11，0.09～0.11的仿真結果.可以看出，閉環系統可以通過少數的切換就將狀態收斂到期望平衡域中，改善了制動的平順性.然而，如果ε過大會導致滑移率距最佳期望值0.11較遠，而降低制動效率.因此，需要在綜合考慮制動效率、執行器特性等多方面因素基礎上折中選擇ε.

4.2 實驗驗證

實車測試系統使用一汽紅旗明仕CA7180A4E車型作為試驗車，采用原車輪速傳感器測量輪速，以此估計車速并計算得到滑移率，為各車輪輪缸安裝壓力傳感器以獲取液壓信息，采用dSPACE AutoBox實現控制器.實驗中AutoBox通過信號調理板和與傳感器相連，根據測量信息和控制律確定控制信號，并通過驅動電路調節液壓控制單元中閥體開關狀態，實現對制動力矩的調節;同時AutoBox實時采集所有可測量信號.

圖7 不同平衡域下的仿真結果

在干燥柏油路面以初速度60～70 km/h進行緊急制動測試.下面同樣給出左后車輪測試結果，與仿真結果相比，實驗結果給出了完整的制動過程以及車速、輪速的對比曲線，以便于更直觀分析整個制動過程.

測試1:令k11、k12、k21、k22=1，λ*=0.11，ε=0.02，即期望滑移率為0.09～0.11，實驗結果如圖8所示.可以看出，由于實際車輛和工況比仿真環境更為復雜，包括很多未建模特性和擾動、噪聲，實際中的參考車速和真實值存在一定偏差，這些因素造成了該閉環系統狀態并沒有維持在期望滑移率區間中，而是在其附近波動，表現為與常規ABS類似的控制效果，但是依然很好地實現了防抱死制動的控制目標.需要指出，受傳感器特性和路面影響，低速情況下輪速測量和車速估計誤差明顯，致使滑移率出現較大偏差，因此滑移率計算和控制效果均會受到影響.然而由于此時車速較低，因此對整個制動過程的控制性能影響不大;另外，實際應用中也可以采取適當修正處理來改善低速控制效果.

測試2:另一方面，對于實際環境中存在的不確定性、噪聲、車速估計誤差等因素，可以通過適當調整參數，一定程度上減少閥開關次數，改善制動的平順性.圖9所示為設置ε=0.04，即期望滑移率為0.07～0.11時的實驗結果.其中，滑移率曲線峰值達到0.3，主要是由于進入ABS之前的人為制動操作差異引起，進而造成后續ABS控制過程中液壓也出現了較大波動.與圖8的主要區別是由于滑移率收斂域增大，一定程度上提高了系統對滑移率計算偏差的魯棒性，使得后續制動過程中滑移率響應曲線略微降低，但可迅速收斂并保持在該收斂區間內，以此避免閥的頻繁切換，并獲得平順的制動效果;但由于滑移率收斂域下限減小，使得制動效率略受影響.因此，控制器調整依據是以犧牲制動效率為代價，通過適當放大ε來獲取更大的魯棒性和適應性.參考前文的仿真分析，實際中需要綜合考慮實際滑移率誤差、制動效率、控制模式切換頻率、制動平順性等關系的折中處理選擇ε.

圖8 干燥瀝青路面實驗測試1

圖9 干燥瀝青路面實驗測試2

測試3:目前實際應用中開關閥ABS仍然采用邏輯門限方法，圖10給出了一組原車ABS的實驗測試曲線，其中車速測量偏差造成滑移率曲線不夠準確.原車ABS的控制原理主要是以輪加速度為主、滑移率為輔，通過設計邏輯關系和參考閾值控制滑移率在圖1所示的μ-λ曲線峰值點附近作類周期性運動，以此獲取近似的滑移率控制效果［1］.如圖10所示，設計原理的差異導致該ABS策略作用下的制動過程中執行器工作模式反復切換，進而造成液壓反復波動調節，因此制動踏板感覺和制動平順性會受到影響.另外，由于該方法邏輯復雜，參數較多，在應用中需要經驗和進行大量的試驗，導致開發周期長，費用高.與其相比，本文控制方法以滑移率峰值點左側為主要工作區域，基于滑移率動態模型設計而來，峰值點左側滑移率區間收斂控制目標可以避免工作模式的頻繁切換，從而提高制動踏板感覺和制動平順性;而且本文控制器形式簡單，待配置參數較少.文獻［15］采用本文控制器的一種特殊形式，進行了大量的仿真和實驗，對方法的實用性和有效性進行了檢驗.需要指出，原車ABS對復雜的操作方式和工作環境均具有很好的適應性，而目前本文方法研究工況相對單一，因此還需要更為深入的研究方可滿足實際復雜工況的要求.

圖10 原車ABS控制器實驗測試

5 結論

1)討論了開關閥ABS的動態特性，給出了一種具有滑移率連續動態和執行器不連續動態的切換系統模型，并將其控制問題轉換為切換系統鎮定問題.針對開關閥ABS的非連續動態，引入Filippov概念，給出了一種微分包含解定義，解決了經典解框架下無法給出非連續處解的問題.

2)提出的以狀態空間劃分作為增壓、保壓、減壓三種工作模式之間切換規則的非線性控制器設計方法，能夠保證閉環系統的穩定性，且滿足系統的魯棒性要求.考慮到實際應用的需求，將控制目標調整為平衡區域的收斂控制問題，降低了控制過程的切換頻率.

3)與現有控制器相比，本文的方法具有控制律形式簡單、控制參數少，參數物理意義明確和易于配置的特點.仿真與實驗結果表明，本文的方法具有高效和平順的制動性能.

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