奇異攝動法在復合控制系統設計中的應用

齊乃明，李運遷，陽 勇，高九州

(哈爾濱工業大學航天工程系，15001哈爾濱)

為實現對戰術彈道導彈、高速智能巡航導彈、無人駕駛飛行器等的有效攔截，新一代攔截彈多采用氣動力與噴流反作用力(RCS)的復合執行機構，以提高控制系統的響應速度和操作性能.RCS包括兩種結構:過載型和力矩型.前者位于質心附近，直接產生攔截彈機動所需的過載;后者位于質心的前方(或后方)，用于產生過載和力矩.相對于過載型RCS，力矩型RCS的直接作用是產生使彈體旋轉的力矩，改變彈體的姿態，進而產生導彈的機動過載，從這種意義上講它的工作原理與氣動舵是一樣的，因此引起彈體旋轉的動力學耦合，故控制系統屬于多輸入多輸出系統［1］，設計復雜.

力矩型RCS與氣動力復合控制系統的設計難度主要體現在以下3個方面:一是氣動力與直接力之間的指令分配;二是氣動力屬于連續系統，而直接力則具有明顯的離散特性;三是直接力的側向噴流與導彈的外流之間存在很強的干擾，引起參數攝動及模型的不確定性.目前關于第1個方面的研究最多，文獻［2］利用模糊理論實現了控制指令在復合執行機構之間的自適應分配;文獻［3］則利用最優控制理論，在虛擬力與力矩的幫助下實現了指令的最優配置.文獻［4］和［5］的研究主要針對第2個方面，即在考慮連續與離散的特性情況下，對混合控制系統進行了設計.文獻［6］則在考慮噴流干擾引起的參數攝動和模型不確定性的情況下，利用高階滑模理論設計了控制系統.

本文以大氣層內低層具有力矩型直接力和氣動力的復合控制攔截彈為研究對象，設計末制導段的自動駕駛儀，重點解決控制指令在兩個執行機構之間的分配問題.根據氣動力與直接力在時間尺度上的差異，利用奇異攝動法將系統分為快、慢兩個環節.根據滑模理論與高增益反饋系統及奇異攝動系統之間的聯系［8-10］，快變模等價于滑模控制系統中的不確定控制項，用于使系統快速趨向于滑動模態.因此可以設計用于控制RCS的開關面和用于控制氣動尾舵的線性反饋控制律.這樣既實現了控制指令在兩套執行機構之間的分配，也有利于連續系統與離散系統的執行，且便于實際工程實現.而控制系統的時域性能以及魯棒性，則可以通過最優調節器(LQR)以及Raytheon(雷神)的四環控制機構來實現.

1 奇異攝動法

1.1 快、慢環節

奇異攝動法的解是雙重時間尺度法的一種近似解，其核心為:在不同的時間尺度上進行系統分析，從而避免由于奇異攝動所引起的不連續性［8］.

設可用下式表示一奇異攝動線性時不變系統:

式中:x1為n1維慢變狀態變量;x2為n2維快變狀態變量(n1+n2=n);u(t)為輸入向量;y(t)為輸出向量;μ為一小參量.

根據奇異攝動法的基本假設:在快變量的暫態過程中慢變量保持常值，而在慢變量的變化比較明顯時，快變量的暫態過程已經結束并達到了它的準穩態.設矩陣A22為非奇異矩陣，即A-122存在，且變量x2是漸進穩定的.當μ→0時，系統(1)退化為

其中下標s表示慢變模.因此，可得

式中x2s為快變量x2的準穩態值.將公式(3)帶入公式(2)得

其中:

由公式(1)、(2)得

這樣原系統變為兩個低階系統，分別設計控制律，最終的控制為u=us+uf.

1.2 奇異攝動與滑?？刂频穆撓?/h3>

滑模控制一般由兩部分組成:一部分為等價控制，系統位于滑模面時保證系統的性能;一部分為不確定控制項，使系統快速趨近滑模面.前一部分屬于慢變部分，后一部分屬于快變部分.根據文獻［7］和［9］的說明，高增益反饋系統與奇異攝動系統之間存在近似關系，而滑?？刂埔矊儆谝环N高增益反饋系統，因此可用奇異攝動法來近似解.且文獻［9］已證明慢變模相當于沿滑模的運動，而快變模則可以近似為在滑模鄰域內趨向于滑模的運動.

在設計導彈自動駕駛儀時，執行機構的動力學環節往往可近似為一階慣性環節(A21=0)，在僅考慮一套執行機構，且利用LQR問題來保證系統的時域性能的情況下，系統(1)可分解為［10］

和

通過求解慢變模部分(4)，可得到符合性能要求的滑模σ(x1，x2)=0及等價控制.而快變模的控制指令可近似為［9］

將慢變模的控制指令與快變模的控制指令相加就得到了系統的控制指令.對于復合控制系統，情況較復雜，將在下面介紹.

2 復合控制系統模型

大氣層內氣動力/直接力復合控制攔截彈的結構如圖1所示.RCS位于導彈質心的前方用于產生力和力矩.由于結構、尺寸、質量等的限制，大氣層內攔截彈RCS的燃料受到很大的限制，主要在3個階段使用:一是在發射初期，用于快速轉彎;二是在中、末制導的交接班，用于快速捕獲目標;三是在末制導的末段用于快速響應制導指令.本文主要針對最后一種情況，也就是末制導末段快速響應制導指令.

圖1 攔截彈結構

攔截彈縱向平面的控制系統短周期模型為

其中:

其中:α為攻角;q為俯仰角速率;δt分別為尾舵的轉角和控制指令;δj為RCS的實際值及控制指令;τt、τj分別為尾舵與RCS的等效時間常數.對于大多數的攔截彈，RCS由火箭發動機提供，因此只有0和1兩種狀態，但在設計時可以先將其設為連續變量，實際使用時采用脈沖調制(PWM)或采樣保持(S＆H)的方法［6］，將連續量轉化為離散控制指令.參數Zδj與Mδj的表達式為

其中Fjmax為RCS的最大推力，δj的取值在-1到1之間.

導彈一般容易測量的信息為導彈過載和俯仰角速率，因此選擇這兩個量作為輸出:

其中y=［Amq］T.

采用奇異攝動法將系統(6)～(7)分解，可得慢變模

和快變模

根據第一部分的分析，設計的重點在慢變模部分，通過慢環節最優跟蹤器的設計可以得到氣動尾舵的線性控制律和RCS的開關面

3 控制系統設計

本節主要針對式(8)所示的慢變模部分設計控制系統.

3.1 最優控制器設計

在實際控制中，執行機構的轉速同樣應該考慮，因此選擇性能指標方程如下所示:

其中AmC為加速度指令，Kss是為了保證穩態誤差為零.因此，重構系統為

其中

Raytheon的四環控制結構(圖2)經過實踐的檢驗具有很好的魯棒性［11］，因此用來進行控制系統設計.

圖2 Raytheon四環控制結構

此外，為實現全狀態反饋需要構造5個輸出:

其中

因此，該LQR問題可以寫為

其中

求解代數Riccati方程

其中

可求得線性反饋控制律

故有

即

此處需要說明的是，相對于y1上式少了一項，這是因為系統中存在1個不被探測到的極點，為了消除此極點的影響，可以采用文獻［12］的方法，即利用穩態的俯仰角速率

其中Gba(0)為a到b的傳遞函數的穩態值.具體計算方法參考文獻［12］，此處不再詳細討論.此時控制公式(10)變為

實際自動駕駛儀結構如圖3所示，它具有古典控制的結構，易于實際工程實現.

圖3 自動駕駛儀結構

3.2 RCS指令

由公式(11)所得到的反饋控制律可直接用于氣動尾舵的控制，對于可變推力的RCS，式(11)所得的控制律也可直接用于控制，而對于推力不可調的RCS，它還是難以應用.這時需要構造開關面:

則RCS控制指令可近似為

將σj作為滑模面，利用滑?？刂评碚撘部蛇M行其它設計，此處不再討論.

4 仿真研究

本部分通過仿真、比較，以檢驗本文提出的復合控制系統設計方法的性能.仿真參數來自文獻［7］.

4.1 RCS推力可調

RCS推力可調的假設雖然與現實不太相符，但是它可以更好的反映系統的一些特性，因此這里首先對RCS推力可調的情況進行了研究.

利用式(11)的控制指令，系統對5g階躍加速度的響應如圖4所示，圖中同時給出了僅采用氣動尾舵和僅采用RCS時，系統的響應過程.復合控制系統中氣動舵和RCS的控制指令如圖5所示.

由圖4可以看出各執行機構的特點，尾舵響應較慢，具有明顯的非最小相位特性，這對于攔截彈的制導精度具有嚴重的影響，特別是在制導的末段;RCS雖然響應迅速，但是難以穩定;而復合控制系統則是集中了兩個執行機構的優點.與文獻［7］的結果進行比較，可以看出本文設計的復合控制系統不但響應迅速、容易穩定，而且消除了系統的非最小相位特性，有利于保證高的制導精度.

圖4 加速度隨時間的響應

圖5中兩個執行機構的轉角可以更好的說明這一問題.RCS初始值較大，用于快速響應制導指令，這就是圖4中復合控制與僅采用RCS的響應曲線在初始段接近重合的原因，而當系統接近穩定時，RCS的值也趨近于零，這也符合攔截彈RCS燃料受限應盡量節省的規則.尾舵的初始值與RCS的方向相同，主要用于提供系統的阻尼，而當系統穩定時則主要用于提供彈體穩定所需的力矩.由此也說明:復合控制系統的最優指令分配并不是各個執行機構指令最優的簡單疊加，而本文設計的復合控制系統可以實現控制指令在執行機構之間的最優配置，而且可以充分發揮它們各自的特點.

圖5 復合控制系統執行機構轉角隨時間的變化

4.2 RCS推力不可調

當RCS推力不可調時，利用式(12)作為RCS的開關面，所得到的σ值及RCS控制指令分別如圖6和7所示.加速度隨時間的響應曲線與圖4所示近似，只是因為RCS控制指令快速變化而增加了一些抖振，此處不再給出.

RCS的初始值為1，用于快速響應控制指令，這與圖4的指令特點是相符的，而當系統趨向于穩定時，在正負之間發生頻繁變換.產生這種現象的原因一方面與滑?？刂评碚摰奶攸c有關，一方面也是因為δj的緣故.由圖5可以看出雖然δj最終趨近于零，但是并不為零，因此RCS仍要輸出一定的指令，而RCS的推力不可調，故造成滑模面σ在正負之間頻繁變換.要使RCS的最終指令為零，可以從LQR控制系統的設計入手，在設計過程中加入RCS的穩態值以及最大值的限制，也可以借助虛擬力與力矩的概念進行設計，這將留在以后討論.此外，對于具有開關推力特性的RCS，可以借助脈沖調頻調寬技術將連續信號轉化為離散脈沖，便于實際執行機構執行.

圖6 σ隨時間的變化

圖7 RCS控制指令

5 結論

本文根據直接力/氣動力復合執行機構在時間尺度上的差別，采用奇異攝動法將控制系統分為快、慢兩個環節.利用Raytheon的四環控制結構和線性最優調節器設計了慢環節的控制律，得到氣動舵的線性控制律，并根據奇異攝動法與滑?？刂评碚撝g的關系得到了RCS的線性開關面.仿真結果表明，本文設計的控制系統能夠有效地實現控制指令在復合控制機構之間的分配，充分發揮各執行機構的特點，不但提高了系統響應速度，消除了最小相位特性，而且保證了系統的穩定性，有利于實際工程實現.

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