密肋復(fù)合墻板支撐框架結(jié)構(gòu)自振周期計(jì)算方法

錢 坤，郭 猛，袁 泉

(1.北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044；2.吉林建筑工程學(xué)院 土木工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130118)

密肋復(fù)合墻板支撐框架結(jié)構(gòu)是由框架與其內(nèi)部嵌入的密肋復(fù)合墻板所組成的一種雙重抗震結(jié)構(gòu)，屬于框架與復(fù)合墻板混合承重體系，內(nèi)部密肋復(fù)合墻板是由截面及配筋較小的鋼筋混凝土框格，內(nèi)嵌加氣混凝土砌塊或其它輕質(zhì)砌塊而成［1－3］。復(fù)合墻板嵌入框架內(nèi)部之后，既可以充當(dāng)填充墻及隔墻，又對(duì)框架起到支撐作用，極大增強(qiáng)了框架結(jié)構(gòu)的整體抗震能力。

由于復(fù)合板相對(duì)于混凝土墻的抗剪剛度較小，使得剪切變形在結(jié)構(gòu)總水平變形中所占比例較大，在中低層部位甚至超過彎曲變形量［4］，直接影響到結(jié)構(gòu)體系自振周期的計(jì)算。自振周期是建筑結(jié)構(gòu)的動(dòng)力參數(shù)之一，是判斷建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是否合理的重要依據(jù)［5］，采用底部剪力法和振型分解法計(jì)算結(jié)構(gòu)所受地震作用時(shí)需要首先得到結(jié)構(gòu)的基本周期或前若干階振型對(duì)應(yīng)的周期。工程實(shí)踐中，可以采用抗彎剛度相等的原則將復(fù)合墻板等效為混凝土墻，從而將復(fù)合墻板支撐框架結(jié)構(gòu)等效為框架－混凝土剪力墻結(jié)構(gòu)，等效模型法雖然可以用于工程設(shè)計(jì)，但不能準(zhǔn)確反應(yīng)結(jié)構(gòu)自身特性，中高層復(fù)合墻板支撐框架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)不宜直接套用框架－剪力墻結(jié)構(gòu)相應(yīng)公式計(jì)算其周期。

本文首先給出復(fù)合墻板支撐框架彈性剛度的計(jì)算方法，然后采用解析法對(duì)結(jié)構(gòu)體系的自振周期計(jì)算方法進(jìn)行研究，為該結(jié)構(gòu)體系的抗震設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

1 復(fù)合墻板支撐框架的彈性剛度

對(duì)于砌體填充墻框架的等效抗側(cè)剛度計(jì)算方法，國內(nèi)外學(xué)者［6－9］進(jìn)行了大量試驗(yàn)與理論研究，文獻(xiàn)［9］認(rèn)為框架剛度kf、填充墻剛度kw以及二者之間的連接彈簧剛度ks是決定填充墻框架總剛度的主要因素；我國現(xiàn)行《建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》［10］對(duì)底部框架－抗震墻房屋層間抗側(cè)剛度推薦采用構(gòu)件剛度疊加的計(jì)算方法；對(duì)于復(fù)合墻板支撐框架，由于其構(gòu)造形式和力學(xué)特性介于填充墻框架與帶外框混凝土墻之間，外框架與內(nèi)部復(fù)合墻板呈并聯(lián)工作狀態(tài)，本文亦采用構(gòu)件剛度疊加方法計(jì)算復(fù)合墻板支撐框架的彈性抗側(cè)剛度。

外框架彈性抗剪剛度采用D值法計(jì)算，在文獻(xiàn)［4］基礎(chǔ)上給出復(fù)合墻支撐框架的抗剪剛度為：

式中：ic為外框架柱的線剛度；h為框架層高；αc為外框架柱側(cè)移剛度修正系數(shù)；Amw為復(fù)合墻板橫截面面積；Gc、Gq分別為復(fù)合墻中混凝土和砌塊的剪切模量；Vc、Vq分別為混凝土和砌塊的體積分?jǐn)?shù)φG為外框架與復(fù)合墻相互作用對(duì)剛度的影響系數(shù)，取φG=1.2。

復(fù)合墻支撐框架抗彎剛度采用等效彈性板模型進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算公式為［11］：

式中：Afc，i為框架柱橫截面面積；li為框架柱距外框復(fù)合墻形心的距離；X為混凝土肋梁所占?jí)Π宓捏w積比；φE為外框架與復(fù)合墻相互作用對(duì)剛度的影響系數(shù)，取φE=1.0。

2 結(jié)構(gòu)體系自振周期計(jì)算

2.1 基本假定

(1)將復(fù)合墻支撐框架結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為平面模型，如圖1所示，即所有分布框架合并為總框架，所有分布復(fù)合墻支撐框架合并為總復(fù)合墻，連梁按兩端鉸接考慮［5］；

(2)小變形階段不考慮密肋復(fù)合墻板內(nèi)部填充砌塊以及砌塊與混凝土框格粘結(jié)界面的開裂，墻體保持線彈性狀態(tài)；

(3)密肋復(fù)合墻框架視為彎剪型懸臂梁，同時(shí)產(chǎn)生彎曲變形和剪切變形，普通框架視為剪切型懸臂梁，僅產(chǎn)生剪切變形或以等效抗剪剛度考慮其彎曲變形；

(4)水平連桿為剛性連桿，兩端僅傳遞水平力，結(jié)構(gòu)在樓層處變形協(xié)調(diào)，且質(zhì)量、剛度沿高度均勻分布。

圖1 計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.1 Caculation model

2.2 自由振動(dòng)方程及自振周期解析解

復(fù)合墻板支撐框架結(jié)構(gòu)沿高度方向單位長(zhǎng)度質(zhì)量為m，Cf為總框架的等效抗剪剛度，EeqI、GeqA為總復(fù)合墻的抗彎剛度和抗剪剛度。將結(jié)構(gòu)視為無限自由度的連續(xù)結(jié)構(gòu)，外框復(fù)合墻板視為Timoshenko懸臂梁，基底固定，自由振動(dòng)狀態(tài)下的慣性力為－ m?2y/?x2，懸臂梁微元體的平衡關(guān)系如圖2所示。僅考慮截面的剪切變形，忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，則復(fù)合墻板支撐框架結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程組為：

圖2 微元體平衡關(guān)系Fig.2 Balance relation of the micro unit

式(3)是一個(gè)包含雙變量即側(cè)向位移y(x，t)和截面轉(zhuǎn)角α(x，t)的微分方程組。令：

代入上式整理得：

再令y(x)=Cesx、a(x)=Desx，其中，C 和D 為任意常數(shù)。將y(x)和a(x)代入式(4)和式(5)得：

這是兩個(gè)包含C、D的齊次代數(shù)方程式，由C和D不為零的條件，要求其系數(shù)行列式為零，得：

式中：

式(8)的解為 s1= ±iδ，± ε，式中：

y(x)、a(x)可表示為：

將式(11)、式(12)代入式(8)，由等式兩邊 sinδx、cosδx、shεx、chεx 的系數(shù)各自相等的條件，可得：

由邊界條件確定常數(shù)：當(dāng)x=0時(shí)，總復(fù)合墻支撐框架頂部的彎矩和總剪力為零；當(dāng)x=H時(shí)，復(fù)合墻支撐框架底部位移和轉(zhuǎn)角均為零。將式(11)和式(12)代入邊界條件，且將D1～D4由式(13)表示為C1～C4，得到包含C1～C4的四個(gè)齊次代數(shù)方程，由C1～C4不全為零的條件，要求方程組的系數(shù)行列式等于零，化簡(jiǎn)整理得復(fù)合墻板支撐框架結(jié)構(gòu)自振方程的特征方程表達(dá)式為：

由式(14)和式(15)聯(lián)立求解得出 λ1、λ2后，即可由式(16)求得復(fù)合墻板支撐框架結(jié)構(gòu)的自振頻率和周期。

2.3 自振周期近似計(jì)算方法

以框架－剪力墻結(jié)構(gòu)自振周期計(jì)算方法［5］為依據(jù)，建立復(fù)合墻板支撐框架結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程，結(jié)合邊界條件推導(dǎo)出同時(shí)考慮密肋復(fù)合墻彎曲變形和剪切變形后基本自振周期的簡(jiǎn)化計(jì)算公式為：

對(duì)于任意給定的復(fù)合墻板支撐框架結(jié)構(gòu)，GeqA、Cf等參數(shù)均為已知，則聯(lián)立式(18)和式(19)計(jì)算λ1、λ2，進(jìn)而計(jì)算出φj和自振周期T；或者可由框架－剪力墻結(jié)構(gòu)的φ－λ曲線查出φj值，這里的λ按式(18)進(jìn)行計(jì)算。

式中各參數(shù)意義同前。

3 算例分析

算例1分析密肋復(fù)合墻板支撐框架結(jié)構(gòu)抗剪剛度對(duì)結(jié)構(gòu)自振周期的影響。

以復(fù)合墻板支撐框架結(jié)構(gòu)中密肋復(fù)合墻的抗剪剛度為變量，考察不同抗剪剛度對(duì)結(jié)構(gòu)自振周期的影響，為從總體上反映自振周期的變化規(guī)律，采用符號(hào)形式進(jìn)行表述。結(jié)構(gòu)基本參數(shù)為，總密肋復(fù)合墻抗彎剛度EeqI，抗剪剛度GeqA，總框架抗剪剛度Cf，三者之間的比例關(guān)系如下：

式中：H為結(jié)構(gòu)總高度；b為復(fù)合墻的截面寬度；A為復(fù)合墻的截面面積；η 為變量。試取 η =3.0、4.0、5.0、6.0依次計(jì)算結(jié)構(gòu)的自振周期。

當(dāng)η=3.0時(shí)，將復(fù)合墻板支撐框架結(jié)構(gòu)的參數(shù)代入式(14)和式(15)，式(14)兩邊同乘以 H4，式(15)兩邊同乘以H2，化簡(jiǎn)得：

以上兩式為超越方程，通過試算法求解，將式(21)解出Hλ1后回代至式(20)，計(jì)算結(jié)果見表1所示，η等于其它值時(shí)的計(jì)算過程與此相同。分析表1中φ數(shù)據(jù)可知，剪切變形使得結(jié)構(gòu)自振周期增加，且剪切變形對(duì)自振周期的影響隨著振型的增加而增大，高振型時(shí)，剪切變形的影響不可忽略。

表1 自振周期計(jì)算結(jié)果Tab.1 Natural vibration period calculation results

算例2在算例1基礎(chǔ)上，以η=3.0為例，比較解析法與近似計(jì)算方法計(jì)算自振周期的誤差。

求得 λ1j、λ2j，φj=2π/λ1λ2，T，計(jì)算結(jié)果見表2 所示。

表2 自振周期計(jì)算結(jié)果比較Tab.2 Natural vibration period calculation results comparison

由表2計(jì)算結(jié)果可知，近似計(jì)算方法基本自振周期的誤差偏小，第一自振周期誤差為－1.59%，第二自振周期誤差為 －8.97%，第三自振周期誤差為－18.85%，計(jì)算誤差隨著振型的增加而增大。

本例中，采用似計(jì)算方法計(jì)算第一自振周期即基本自振周期的誤差不超過5%，可以滿足工程計(jì)算精度要求，且由于有具體的表格可以查，避免了計(jì)算超越方程，采用簡(jiǎn)化計(jì)算方法計(jì)算復(fù)合墻板支撐框架結(jié)構(gòu)基本周期是可行而且方便的。

4 結(jié)論

(1)本文以Timoshenko雙變量梁理論及協(xié)同工作模型為基礎(chǔ)，建立了密肋復(fù)合墻板支撐框架結(jié)構(gòu)的頻率方程，結(jié)合邊界條件導(dǎo)出了結(jié)構(gòu)的自振周期計(jì)算公式，并給出了基本自振周期的近似計(jì)算方法。

(2)算例分析表明：密肋復(fù)合墻板支撐框架結(jié)構(gòu)自振周期受復(fù)合墻板抗剪剛度影響較大，且影響隨著振型的增加而增大，高振型時(shí)復(fù)合墻板剪切變形的影響不可忽略；采用近似計(jì)算方法計(jì)算基本自振周期的誤差不大，可以滿足工程計(jì)算精度要求。

(3)本文以密肋復(fù)合墻支撐框架結(jié)構(gòu)為例分析彎剪型－剪切型雙重抗側(cè)力結(jié)構(gòu)體系的自振周期計(jì)算方法，其思路同樣適用于其它彎剪型－剪切型雙重結(jié)構(gòu)體系自振周期計(jì)算。

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