類氫離子電離能相對論性計算的改進

馬 堃，褚 園，黃時中

(1.黃山學院信息工程學院,安徽黃山245041；2.安徽師范大學物理與電子信息學院，安徽蕪湖241000)

類氫離子電離能相對論性計算的改進

馬 堃1，褚 園1，黃時中2

(1.黃山學院信息工程學院,安徽黃山245041；2.安徽師范大學物理與電子信息學院，安徽蕪湖241000)

在考慮了核運動的情況下，給出了以相對論動力學方程為基礎的類氫離子電離能的計算公式，對實驗上已觀測到的37個類氫離子的電離能進行了計算，結果與實驗值的誤差遠小于玻爾理論或量子力學理論的誤差，并優于文獻中的計算結果。

類氫離子；電離能；相對論性理論

0 引言

類氫離子的電離能是原子物理、天體物理、等離子體物理和材料物理等領域中常用的重要參數，而目前在實驗上只觀測到了37個類氫離子的電離能，因而提高其理論計算精度是很有必要的。玻爾理論[1-3]雖然是一個半經典半量子的理論，但由此得到的類氫離子的電離能的計算公式與用量子力學理論[4]所得到的公式完全相同，這類公式的一個明顯缺陷是隨著原子序數Z的增大，電離能的理論計算值與實驗觀測值的誤差不斷增大。相對論Dirac-Fock自洽場方法[5]，雖然計算精度較高，但此方法很繁雜，且計算數據有限。最弱受約束電子勢模型(WBEPM)方法[6-7]，這種方法雖然計算精度高，但依賴于一定的實驗數據。2010年，黃時中等給出了以相對論動力學方程取代牛頓力學方程而形成的相對論性玻爾類氫離子理論，在此基礎上給出了類氫離子電離能的相對論性計算公式，對實驗上已觀測到的37個類氫離子的電離能進行了具體計算[8]，但文中忽略了氫原子核的運動，本文將在此基礎上，考慮相對論效應和核運動的情況，改進了類氫離子電離能的相對論性計算公式，對實驗上已觀測到的類氫離子電離能進行了計算，計算結果與實驗值的誤差遠小于玻爾理論或量子力學理論的誤差，并優于文獻[8]的計算結果。

1 相對論性玻爾類氫原子理論

按照玻爾理論，類氫原子中電子沿圓軌道繞原子核的運動，如圖1所示。

圖1 類氫原子的玻爾模型

其運動滿足牛頓力學方程：

考慮到相對論性效應，則玻爾理論中所用的牛頓力學方程(1)改為相對論動力學方程

根據角動量量子化條件，電子以速率v在半徑為r的圓周上繞核運動時，只有電子的角動量等于?的整數倍的那些軌道才是穩定的，即

從上式可以看出，電子的速率必須是與時間無關的常量，否則電子的角動量將與時間有關，則角動量量子化條件(3)不能滿足，所以相對論動力學方程(2)可以進一步化簡為

又因為勻速率圓周運動的加速度為

因此，我們有

另一方面，電子所受的庫侖力為

由以上兩式，我們得到電子繞核作圓周運動的過程中速率v與半徑r的關系

即

利用角動量量子化條件(3)消去半徑r，我們得到

即類氫原子中電子繞核作圓周運動的速率為

或者

現在，我們用相對論理論來分析類氫原子系統的總能量。根據相對論理論，氫原子系統的總能量為

利用式(6)和(8)，進一步有

從上式中減去靜止能量，得到相對論下類氫原子系統的能級表達式

對于第一軌道(n=1)，

類氫原子系統的電離能為

其中第一項等于用玻爾理論或者量子理論所得到的類氫原子系統的電離能[4]

3 應用及總結

下面分別用式(14)和(12)對Z=1-37的類氫原子系統的電離能進行計算，結果列于表1，表中同時列出了類氫原子電離能的實驗觀測值。[9]

表1 類氫原子系統的電離能[單位：Kev]

由表1可以看出，通過本文模型進行計算的37個類氫離子的電離能，精度得到了全面的提高。特別地，如：Cl XVVII和Ar XVIII精度提高了近97%。這說明，本文建立的計算模型是有效的，且比相對論Dirac-Fock自洽場方法簡單得多，而與最弱受約束電子勢模型(WBEPM)方法相比，本方法不依賴于實驗數據。

為更加直觀的觀察本文計算結果與經典模型和文獻[8]計算結果的比較，我們采用了MATLAB軟件繪制了3種計算模型下類氫原子系統的電離能的計算誤差隨核電荷數的變化情況，如圖2所示，圖中的曲線表示實驗值，為突出誤差，在作圖時，將誤差擴大了50倍，橫坐標是核電荷數，縱坐標是能量，單位為kev。從圖2中可以看出，1，2的誤差隨著核電荷數的增加呈單向的遞增趨勢，而3的誤差隨著核電荷數的增加呈螺旋式變化，特別地，在Z=17和10時，幾乎與實驗值相同。

圖2 三種計算模型下類氫原子系統的電離能的計算誤差隨核電荷數的變化

[1]Bohr Niels.The binding of electrons by positive nuclei[J].Phil.Mag,1913,26:1-25.

[2]Bohr Niels,Systems containing only a single nucleus[J].Phil.Mag,1913,26:476-502.

[3]Bohr Niels.Hydrogen and helium spectra[J].Nature,1913,95:231-232.

[4]曾謹言.量子力學卷Ⅰ(第一版)[M].北京:科學出版社,1990:270-283.

[5]安興泰，周忠源，潘守甫.“水窗”波段類鋰離子各電離態的電離能[J].原子與分子物理學報，1994，11(3):327-329.

[6]鄭能武.關于多電子原子及離子體系的一種新的理論模型[J].科學通報，1985，30(3):1801-1804.

[7]張學龍，張國營，相鄰類氫離子電離能關系的研究[J].原子與分子物理學報，2004，21(3):529-531.

[8]黃時中，李淑貞，褚進民.類氫離子電離能的相對論性計算[J].安徽師范大學學報，2010，33(2):121-124.

[9]NIST Atomic Spectra Database.Energy Levels Data[DB].National Institute of Standards and Technology.2001.09.09[2006.05].http://physics.nist.gov/cgi-bin/AtData/display.ksh.

責任編輯：胡德明

Abstract:Taking nuclear movement into consideration,this paper puts forward a relativistic calculation formula for ionization energy of hydrogen-like ions based on relativistic dynamical equations.The ionization energy of 37 types of hydrogen-like ions observed in experiments is calculated with the formula.The experimental results show that the error is much smaller than that based on the Bohr Theory or Quantummechanical Theory,and better than the calculations found in the literature.

Key Words:hydrogen-like ions;ionization energy;Relativistic Theory

Improvement on the Calculation of Relativistism of Ionization Energy in Hydrogen-like Ions

Ma kun1,Chu Yuan1,Huang Shizhong2
(1.School of Information Engineering,Huangshan University,Huangshan245041,China;2.School of Physics and Electrical Information,Anhui Normal University,Wuhu241000,China)

O561.3

A

1672-447X（2012）03-0029-004

2011-11-26

安徽省教育廳自然科學研究項目(KJ2011Z363);安徽省高校2010年質量工程項目(20100990);安徽省教育廳自然科學研究項目(KJ2007B 029);黃山學院自然科學研究項目(2010xkj013)

馬堃(1983-),安徽六安人,黃山學院信息工程學院講師，碩士,研究方向為理論物理學。