Mathematica在Fourier級數分析中的應用

張 平 張小華

（三峽大學理學院，湖北宜昌 443002）

Mathematica在Fourier級數分析中的應用

張 平 張小華

（三峽大學理學院，湖北宜昌 443002）

文章用Mathematica實現了函數展開成Fourier級數及其圖形演示,將抽象的教學概念和復雜的過程用軟件來實現，從而降低教學問題的難度，增強學生學習高等數學的興趣和積極性．

Mathemtica；Fourier級數；圖形演示

1 引 言

Fourier級數是高等數學中的重要內容之一，同時也是其它后續課程的重要工具之一．如果在教學過程中只是簡單介紹函數展開成Fourier級數，筆者發現學生很難理解一個周期函數為什么可以用一系列三角函數來逼近它？從而無法理解函數展開成Fourier級數的意義．同時盡管函數展開成Fourier級數的公式形式簡單，含義明確，但即使對一些簡單的周期函數，學生應用公式求其Fourier級數時常常面臨較大的計算量，往往需要花費很多的時間．Mathematica是當今世界上優秀的數學軟件之一，具有強大的數值計算、符號計算和函數繪圖等功能，[1]且其界面友好，容易操作，學生可以在很短時間內掌握其使用方法．本文利用Mathemtica的符號計算功能，實現了周期函數的Fourier級數展開，將學生從繁重的手工計算中解脫出來，同時通過繪圖，將抽象的理論與具體的圖像演示結合，使學生能更深刻的理解函數展開成Fourier級數的基本概念和基本方法．

2 基于Mathematica的Fourier級數分析和應用舉例

對一個周期為2π的周期函數f(x)，只要該函數滿足狄利克雷（Dirichlet）條件，便可展開成一個收斂的Fourier級數，即：[2]

其中

在早期的Mathematica版本中，沒有提供直接計算傅里葉級數的函數，只能借助函數NItegrate利用上述的Fourier級數展開公式編寫相應的計算函數，[3]但程序編制比較復雜，且無法直接給出Fourier級數的展開形式．從Mathematica7.0開始，Mathemtica全面覆蓋數值和符號Fourier分析，對于函數展開成Fourier級數而言，Mathematica主要提供了如下的一些函數：

FourierSeries——給出復數形式的Fourier級數展開式；

FourierTrigSeries——給出Fourier三角級數展開式；

FourierSinSeries——給出Fourier正弦級數展開式；

FourierCosSeries——給出Fourier余弦級數展開式．

利用這些函數可以直接得到函數的Fourier級數展開式．考慮到在教學過程中，對一個周期函數，一般得到是非復數形式的Fourier級數展開式，所以下面舉例中就不考慮FourierSeries在Fourier級數分析中的應用．

例1 設f(x)是周期為2π的周期函數，它在[-π,π]上的表達式為

將f(x)展開成Fourier級數．

Mathematica程序代碼如下：

此程序的第1句給出了函數f(x)的定義；第2句畫出函數f(x)的圖形；第3句輸入需要將函數f(x)展開至Fourier級數的第i階；第4句將函數f(x)展開至Fourier級數的前i階；第5句畫函數f(x)的Fourier級數的前i階對應的圖形；最后一句把以上各圖形顯示在一起．運行上述程序可以得到一系列Fourier級數的部分及其圖形．由函數展開成Fourier級數的計算公式知，當f(x)為奇函數時，其Fourier級數只會含有正弦項．如當輸入5時，得到的Fourier級數展開式的前5階部分和表達式為

由此可知，利用Mathematica計算的結果與手工計算結果完全一致，且得到的結果是精確的符號表達式結果．圖1給出了函數的圖形及其Fourier級數的前5階、20階和40階對應的圖形．從圖中可以看出，隨著Fourier級數階數的增加，其振幅越來越小，角頻率越來越大，它越來越接近要表示的周期函數．這表明，一個比較復雜的周期運動可以看成是許多不同頻率和振幅的簡諧振動的疊加．從數學上講，即為一個周期函數可以用一系列三角函數來逼近它．

圖1 例1的Fourier級數對函數的逼近效果

例2 設f(x)是周期為2π的周期函數，它在[-π,π]上的表達式為

將f(x)展開成傅里葉級數．

運行上述程序，當輸入4時，得到該函數Fourier級數展開式的前4階部分和表達式為

由于本例中的函數在定義域中為非奇非偶函數，所以其展開成Fourier級數時會同時含有正弦項和余弦項，且上述程序運行結果與文獻[2]理論計算結果一致，從而說明利用Mathematica軟件來計算函數的Fourier級數非常方便．圖2給出了函數的圖形及其Fourier級數的前4階、10階和20階對應的圖形．由圖可見，函數的Fourier級數隨著階數的增加，圖像愈來愈逼近函數的圖像，從而再次說明一個周期函數可以通過一系列三角函數來表示它．

圖2 例2的Fourier級數對函數的逼近效果

例3 設f(x)是周期為2π的周期函數，它在[0,π）上的表達式為f(x)=x，將f(x)分別展開成正弦級數和余弦級數．

由Fourier級數分析的相關理論知，當周期函數為奇函數時，它的Fourier級數只含有正弦項，即正弦級數；當周期函數為偶函數時，它的Fourier級數只含有余弦項，即余弦級數．所以在本例中，我們首先要將函數進行奇延拓和偶延拓．函數展開成正弦級數的Mathematica程序代碼如下：

運行上述程序，當輸入7時，得到該函數Fourier級數展開式的前7階部分和表達式為：

圖3給出了函數的圖形及其Fourier級數的前3階、7階和50階對應的圖形．

圖3 函數展開成正弦級數對函數的逼近效果

函數展開成余弦級數的Mathematica程序代碼如下：

運行上述程序，當輸入7時，得到該函數Fourier級數展開式的前7階部分和表達式為：

圖4給出了函數的圖形及其Fourier級數的前3階、5階和9階對應的圖形．由圖3和圖4可見，隨著三角多項式的階數增加，三角多項式的曲線越來越接近函數的圖形．通過這些實例表明，利用Mathematica可直觀地展示Fourier級數去逼近周期函數，將抽象的問題形象化，從而化解了學生對Fourier級數表示周期函數理解上的困惑．

圖4 函數展開成正弦級數對函數的逼近效果

3 結束語

在Fourier級數教學中引入數學軟件Mathemtica，從教學內容、教學形式、教學方法和手段上講，都是對傳統數學教學的一種發展和補充．在教學過程中，老師擺脫了繁瑣的數學計算，使得問題簡單化、可視化；學生也從圖形的變化、軟件的計算等多方面對函數展開成Fourier級數進行學習，體驗Fourier級數分析有關理論的基本思想，加深對抽象概念的感性認識，且增加學生實際動手操作能力的培養．數學軟件Mathematica就像一座橋梁，將知識與應用，理論與實際連接起來，讓學生加深感性認識，使教學變得輕松易懂，同時也逐步鍛煉學生用數學理論、計算機知識來解決實際問題的能力，從而提高了學生自主學習數學的積極性和參與數學教學的目的．

[1]李建平，健民，劉雄偉，等.高等數學課程實驗[M].北京：科學出版社，2011.

[2]同濟大學數學系.高等數學：第六版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]李文新.函數展開成Fourier級數的幾何解釋[J].江西教育學院學報，2005（3）:5-7.

（責任編輯：張新玲）

Abstract:In order to make students have direct perception and sophisticated understanding of Fourier series, the article presents the means to convert abstract math ideas and complicated process into software so that mathematics can be understood easier and the students’ interest and enthusiasm for advanced mathematics enhanced.

Keywords:Mathemtica software; Fourier series; Graphical presentation

On the Application of Mathematica in Fourier series Analysis

ZHANG Ping ZHANG Xiao-hua
( College of Science, Three Georges University, Yichang, Hubei, 443002 China )

TP391.1；O122.7

A

1009-8135（2012）03-0136-04

2012-01-25

張 平（1978-），女，湖北利川人，三峽大學理學院，講師，碩士.

張小華（1980-），男，湖北枝江人，三峽大學理學院，講師，博士.

本文系三峽大學教學研究項目(No.J2011086)研究成果之一