VDP方程在Simulink仿真中的解析

巴合提古麗·阿斯里別克，王 穎，孫迎春

（1.東北師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林 長春 130024；2.新疆伊犁師范學(xué)院電子與信息工程學(xué)院，新疆 伊犁 135000；3.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130012）

Simulink是用來對動態(tài)系統(tǒng)實現(xiàn)建模、進行仿真和分析的一個軟件包.它是MATLAB的一個重要的組成部分.利用Simulink可以建立更趨于真實的非線性模型，如考慮空氣阻力和摩擦中的各個干擾因素等.另外，Simulink系統(tǒng)建造的自定義用戶模塊對設(shè)計系統(tǒng)及分析結(jié)論的正確性都具有非常重要的意義.因此，Simulink軟件的功能已經(jīng)成為專業(yè)技術(shù)人員必須掌握的一項技能.

在系統(tǒng)所受的非線性阻尼作用所引起的非線性中范德玻爾（Van der Pol）方程是最簡單而最典型的非線性方程［1］.其數(shù)學(xué)方程式為

在范德玻爾方程中，增加外力Vcosωt項，其變成強迫范德玻爾方程，其數(shù)學(xué)方程式為

其中：V為外力的振幅；ω為角頻率.其描述的系統(tǒng)叫自激振蕩系統(tǒng).

1 范德玻爾方程的Simulink仿真

自激系統(tǒng)是一種在非線性阻尼作用下振動的系統(tǒng)，對范德玻爾方程而言，從機械振動的角度來看，－α－x2）是可變的阻尼系數(shù).其中當｜x｜＞｜x0｜時阻尼系數(shù)為正數(shù)，則系統(tǒng)會受阻尼作用，能量將逐漸減少；但當｜x｜＜｜x0｜時阻尼系數(shù)為負數(shù)，這樣系統(tǒng)的能量不僅不降低反而增加.結(jié)果系統(tǒng)在自動反饋調(diào)節(jié)系統(tǒng)的作用下做穩(wěn)定的周期振蕩，系統(tǒng)在一個振蕩過程中消耗的能量正好等于補充的能量.

強迫范德波爾方程在不同的參數(shù)條件下顯示不同的吸引子，即1周期吸引子、2周期吸引子、不變環(huán)吸引子和奇怪吸引子［1－3］.本文采用Simulink仿真通過時間歷程圖和相圖顯示系統(tǒng)取不同參數(shù)下的振蕩行為和相應(yīng)的吸引子形狀.

1.1 建立Simulink仿真模型

相加點（Sum）模塊：此模塊的對話框中符號“l(fā)ist of signs”設(shè)置為“－，＋，－”，“Icon shape”選為rectangular.

增益（Gain）模塊：在模塊參數(shù)設(shè)置對話框中2個增益模塊的“Gain”參數(shù)分別設(shè)置為a和w.

積分（Integrator和Integrator1）模塊：可以完成初值設(shè)定，采用對參數(shù)對話框中“Initial condition”的設(shè)置，在Integrator模塊中設(shè)置˙x的初值為4，Ingegrator1模塊中設(shè)置x的初值為4.

點乘（Product）模塊：對話框的“Number of inputs”設(shè)置為2（表示有2個輸入端）.

函數(shù)功能（Fcn）模塊：對話框的“Expression”設(shè)置為“1－u＊u”（等于公式中的1－x2）.

函數(shù)（Trigonometric Function）模塊：對話框的“Function”設(shè)置為cos.

圖1 范德波爾方程的仿真模型

1.2 查看Simulink仿真結(jié)果

仿真操作時對增益模塊給出不同的參數(shù)值，可以得到不同的結(jié)果，直到找到理想的結(jié)果為止，通過Scope和XY Graph模塊查看.

（1）在a＝0.79，w＝0.44條件下，出現(xiàn)1周期吸引子，此時系統(tǒng)的周期等于外驅(qū)動力的周期，系統(tǒng)做主諧波運動，如圖2所示.

圖2 強迫范德玻爾方程中a＝0.79和w＝0.44時的相圖和位移曲線圖

（2）在a＝0.99，w＝0.44條件下，系統(tǒng)的周期等于外驅(qū)動力的整數(shù)倍，出現(xiàn)2周期吸引子，系統(tǒng)做次諧波運動，如圖3所示.

圖3 強迫范德玻爾方程中a＝0.99和w＝0.44時的相圖和位移曲線圖

（3）在a＝0.66，w＝0.44條件下，出現(xiàn)不變環(huán)吸引子，系統(tǒng)做準周期運動，如圖4所示.

（4）在a＝1.08，w＝0.44條件下，出現(xiàn)奇怪吸引子，表示系統(tǒng)做混沌運動，如圖5所示.

圖4 強迫范德玻爾方程中a＝0.66和w＝0.44時的相圖和位移曲線圖

圖5 強迫范德玻爾方程中a＝1.08和w＝0.44時的相圖和位移曲線圖

2 系統(tǒng)的封裝

以上仿真系統(tǒng)的模塊數(shù)量比較多，系統(tǒng)規(guī)模比較大，系統(tǒng)的操作也比較復(fù)雜.我們每次設(shè)置參數(shù)時都要打開2個增益模塊輸入?yún)?shù)值，如果對這個系統(tǒng)采用封裝子系統(tǒng)技術(shù)，系統(tǒng)的操作就變得更方便，規(guī)模也變得更簡單.所謂的封裝子系統(tǒng)技術(shù)就是把系統(tǒng)的相關(guān)的模塊集合在一起變成一個模塊，把各模塊的參數(shù)設(shè)置對話框合成一個參數(shù)對話框［8］，生成的子系統(tǒng)模塊功能等效于原系統(tǒng)模塊群的功能.

2.1 封裝步驟

（1）創(chuàng)建一個子系統(tǒng)：模型中選擇要建立的子系統(tǒng)除了輸入端和出口端以外的所有模塊，單擊Edit菜單中Create Subsystem命令即可，可用一個模塊代替所選中的所有模塊.

（2）創(chuàng)建封裝系統(tǒng)：選中生成的Subsystem模塊（子模塊），單擊Edit菜單中Mask Subsystem命令，這時會彈出封裝編輯器（Mask editor）對話框.

（3）對封裝系統(tǒng)進行編輯：通過（Mask editor）對話框上面的4個選項卡（分別為設(shè)置封裝模塊圖標、設(shè)置封裝子系統(tǒng)參數(shù)和初始化命令、設(shè)置模塊幫助和說明）進行編輯，完成封裝子系統(tǒng).

2.2 具體操作步驟

（1）創(chuàng)建子系統(tǒng)模型：選中除了Scope模塊和XY Graph模塊以外的全部模塊→單擊Edit菜單中的Create Subsystem命令（也可右擊選中部位），即可創(chuàng)建一個子系統(tǒng)（如圖6所示）.

（2）創(chuàng)建封裝子系統(tǒng)模塊圖標：選中子系統(tǒng)模塊→右擊彈出下拉菜單→單擊Mask Subsystem命令→彈出“Mask editor”對話框→在對話框中選Icon項→在Drawing commands框中可輸入disp（‘VDP’），并可設(shè)置Icon options各項.

（3）封裝子系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)置：選中“Mask editor”對話框中的Parameters項→添加自激系統(tǒng)的2個變量即2個參數(shù).在第一行的Prompt欄目中輸入該變量的提示信息，如“阻尼系數(shù)”，在Variable欄目中輸入相關(guān)聯(lián)的變量名a，注意該變量名必須和模型中的完全一致.Type欄目選擇為Popups，并在Popups欄目中填寫a的4個值（每行填一個值）.填第2個參數(shù)時，提示信息是“角頻率”，變量名是w，Type欄目是默認值為edit，表示用編輯框來接收數(shù)據(jù).

圖6 子系統(tǒng)模型

（4）初始化設(shè)置：在此可以用“Mask editor”對話框中的Initialization項定義封裝然后用子系統(tǒng)工作空間中的各種變量來設(shè)置初始化命令.

（5）設(shè)置模塊幫助和說明：在模塊編輯器中選中編輯選項卡Domumentation項→在編輯框中可輸入模塊類型、模塊描述、模塊幫助的說明.如在 Mask description中可以這樣說明，this is a VDP function example.

（6）通過單擊Ok命令來完成子系統(tǒng)的封裝設(shè)置，形成封裝系統(tǒng)，如圖7所示.

雙擊該子系統(tǒng)模塊，在彈出的參數(shù)設(shè)置對話框中可直接設(shè)置系統(tǒng)的2個變量a和w的值（如圖8所示）.

運行仿真系統(tǒng)，通過Scope和XY Graph模塊即可查看跟以上一致的計算結(jié)果.

圖7 強迫范德玻爾方程的子系統(tǒng)模型

圖8 強迫范德玻爾方程的參數(shù)設(shè)置窗口

3 小結(jié)

本文通過對范德玻爾方程的數(shù)學(xué)模型的分析，建立了自激系統(tǒng)的Simulink仿真系統(tǒng)，即二階常微分方程的基本仿真模型，考慮了模型中二階常微分方程的初始條件，演示了二階常微分方程仿真模型的子系統(tǒng)封裝過程，并通過實例驗證了仿真結(jié)果的正確性，從而使仿真過程變得更加簡便，結(jié)果表明：在解決二階常微分方程中使用Matlab／Simulink仿真方法能提供一個良好的用戶使用界面，通過這個用戶使用界面，用戶可以客觀的操作系統(tǒng)的具體行為并能得到及時的結(jié)果.

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［2］彭芳麟，管靖，胡靜，等.理論力學(xué)計算機模擬［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2002：192－197.

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