基于分塊永磁磁極的永磁電機齒槽轉矩削弱方法

楊玉波 王秀和 朱常青

（山東大學電氣工程學院 濟南 250061）

1 引言

隨著高性能永磁材料的出現和現代電機控制技術的發展，永磁電機以其高效率、高功率密度等優勢在各個行業得到越來越廣泛的應用。但是永磁電機中，永磁體和有槽電樞相互作用，引起電機內磁場能量的變化，產生齒槽轉矩，引起電機系統的振動和噪聲，影響系統的控制精度，因此關于齒槽轉矩的產生機理、計算方法和削弱措施一直是中外學者的研究熱點。

目前對于齒槽轉矩的分析計算方法一般有兩種，即解析法和有限元法。有限元法能夠考慮漏磁、飽和以及復雜結構的影響，可準確計算齒槽轉矩。但是采用有限元法時，必須計算至少一個齒槽轉矩的周期，為了保證計算的精度，必須保證足夠小的步長，并且研究結構參數變化對齒槽轉矩的影響時，需不斷重復整個計算過程，耗時較長，并且計算結果只針對特定模型，很難得到指導性的規律[1-3]。為解決該問題，在很多文獻中將有限元法和優化算法結合，尋找最優解。但是，同樣存在耗時過長的缺點，同時優化結果往往結構復雜[4-7]。

解析法由于難以考慮飽和和漏磁等因素，影響了其計算的準確性，但是解析法能夠揭示結構參數的變化對齒槽轉矩的影響，得到指導性的規律[3]，因此得到了廣泛的采用，相關文獻得到了多種齒槽轉矩的解析表達式[8-12]，提出并研究了多種齒槽轉矩的削弱方法[1,2,13-18]。

基于解析法研究的齒槽轉矩削弱措施一般是通過改變永磁體產生的氣隙磁通密度分布削弱齒槽轉矩[13-15]，或者通過改變氣隙磁導削弱齒槽轉矩[13,16]。兩類方法都是通過結構的改變，削弱對齒槽轉矩有影響的氣隙磁通密度平方和相對氣隙磁導平方的傅里葉分解系數[13]。但是采用解析法準確地計算結構參數的變化對這些傅里葉分解次數的影響比較困難，因此文獻中主要采用理想的簡化模型[13-16,19]。文獻[19]中提出的分塊永磁削弱齒槽轉矩的方法，其分析的基礎就是簡化的氣隙磁通密度模型，基于該模型研究了分塊數和分塊大小的影響，難以得到普遍適用的一般規律。

本文從另一個角度分析電機結構的變化對齒槽轉矩的影響，不是基于對氣隙磁通密度變化的準確計算，而是基于齒槽轉矩的周期性和對稱性，采用疊加法分析了分塊永磁體對表面式永磁電機齒槽轉矩的影響，得到了永磁分塊數、永磁分塊寬度和分塊間隔與總的齒槽轉矩之間的關系，并進行了有限元驗證。

2 基于疊加法的永磁分塊方法研究

齒槽轉矩是由于永磁體與有槽電樞的相對位置變化引起的磁場能量變化導致的，而總的齒槽轉矩可簡化為每個永磁體產生的齒槽轉矩的疊加[13]，文獻[22-24]中研究了采用轉矩疊加分析齒槽轉矩的方法。對于極數為2p和槽數為z的永磁電機，齒槽轉矩在一個齒距內的周期數可表示為[9]

式中p—極對數；

z—電樞槽數；

GCD—最大公約數。

對于每極整數槽（Np=1）的極數和槽數組合，每個永磁磁極與電樞槽口具有相同的相對位置，因此每個磁極的齒槽轉矩在一個齒距內有相同的分布，總的齒槽轉矩周期數同為 1。對于每極非整數槽（Np＞1）的組合，每個磁極與槽口的相對位置不同，齒槽轉矩的分布也不同，導致總齒槽轉矩的周期數大于 1。因此，相對于每極整數槽結構，每極非整數槽時齒槽轉矩一般較小，因此文獻[20]中將合理選擇極數和槽數組合作為一種重要的削弱措施。

利用齒槽轉矩的周期性以及與槽口相對位置變化對齒槽轉矩分布的影響，可以分析齒槽轉矩的削弱措施。文獻[21]中提出將4極36槽電機的任意兩磁極偏移 1/2齒距可削弱齒槽轉矩。這是因為偏移1/2齒距后，兩個磁極的齒槽轉矩偏移半個周期，消除了齒槽轉矩的基波，從而削弱了齒槽轉矩。但是該方法并不能削弱齒槽轉矩的2次諧波，因此在有些情況下該方法的削弱效果并不理想。

本文利用齒槽轉矩的周期性和齒槽轉矩疊加法分析分塊永磁磁極對齒槽轉矩的影響。每個永磁磁極分為寬度相同的Ns塊，且均勻分布，每個分塊的寬度為θ，兩相鄰分塊的間隔為γ，如圖1所示。不考慮端部效應和飽和的影響，永磁電機總的齒槽轉矩可看做每個永磁分塊產生的齒槽轉矩的疊加。

圖1 分塊永磁磁極示意圖Fig.1 Permanent magnet segementation（Ns=4）

式中Tn—轉矩諧波幅值；

α—定、轉子相對位置。

由于每個永磁磁極分為寬度相同的Ns塊，且均勻分布，則總的齒槽轉矩可看做Ns個永磁電機齒槽轉矩的疊加，總的齒槽轉矩可表示為

式中，Δβ為相鄰兩永磁分塊的偏移角度，可用圖 1中永磁分塊寬度和永磁分塊間隔表示為

如需消去齒槽轉矩的n次諧波，可通過合理選擇偏移角度Δβ使得

由于對齒槽轉矩分布有影響的是永磁體與電樞槽口的相對位置，因此偏移角度Δβ一般表示為齒槽轉矩周期的整數倍的形式

式中k—正整數；

Δβs—相鄰永磁分塊相對位置變化角度，如圖2所示。

圖2 永磁分塊與槽口的相對位置關系（Np=1）Fig.2 The relative position of permanent magnet segments with slot opening

式（5）可表示為

通過合理選擇Δβs使得式（7）為零，就可消除齒槽轉矩的n次諧波。分析式（7）可得到以下結論：

（1）式中 sinnNpz(α+(Ns-1)Δβs/2)項只會影響齒槽轉矩n次諧波的分布，不會影響其大小。

（2）式中 sin(nNsNpzΔβs/2)/sin(nNpzΔβs/2)項決定了齒槽轉矩的大小。

（3）如果消除齒槽轉矩的基波，須使其分子項sin(NsNpzΔβs/2)=0，分母項 sin(NpzΔβs/2)≠0。并且能夠使得基波為零的Δβs必然能使得除Ns及其倍數次外的諧波為零（由于能使得基波為零的Δβs會使得Ns及其倍數次諧波的分母項為零，因此不能消除Ns及其倍數次齒槽轉矩諧波）。對Ns及其倍數次諧波的影響可采用式（5）計算。

（4）永磁分塊數Ns一般不宜取 2。如果永磁分塊數為2，能消弱其基波的角度Δβs會使齒槽轉矩的2次諧波變為原來的2倍，很多情況下齒槽轉矩的2次諧波幅值較大，導致削弱效果不好。

據此可得到消除齒槽轉矩基波（n=1）的Δβs的值為

該偏移角對Ns及Ns倍數次諧波的影響為

式中，i為正整數。

可見能夠消除齒槽轉矩基波的Δβs會使得Ns及其倍數次諧波的變為原來的Ns倍。

基于式（3）、式（6）～式（8）可確定永磁分塊數、永磁分塊寬度和間隔寬度，分析對于齒槽轉矩諧波的影響。各個角度的關系如圖2所示（Np=1），圖中只畫出了兩塊永磁分塊。

3 永磁分塊對齒槽轉矩的影響

基于上述分析，本文分別研究了分塊永磁磁極對每極整數槽和每極非整數槽電機齒槽轉矩的影響：確定永磁分塊寬度θ和兩相鄰分塊的間隔γ時，首先根據式（8），得到相鄰永磁分塊相對位置變化角度Δβs的值；根據式（6），θ+γ為齒距的整數倍與Δβs之和；在選擇分塊永磁體寬度時還需保證每極總極弧寬度

對于每極整數槽組合，一個齒距內齒槽轉矩周期數為 1，根據式（8），每個永磁分塊相對于槽口的位置依次偏移齒距的1/Ns，則Ns個永磁分塊的齒槽轉矩依次錯開 1/Ns周期。本文以4極 24槽表面式永磁電機為例，其主要參數見下表。

表 電機主要參數Tab. The main parameters of prototype motors

圖3 Ns=2時的齒槽轉矩（4極24槽）Fig.3 The cogging torque with two permanent magnet segments（4-pole, 24-slot）

圖4為Ns=2時齒槽轉矩的諧波對比，可見其基波和奇次諧波得到了很好的削弱，但是2次諧波變為原來的2倍，只是改變了齒槽轉矩周期數，幅值并沒有削弱，因此永磁分塊數不宜取2。

圖4 Ns=2時的齒槽轉矩的諧波（4極24槽）Fig.4 The harmonics of cogging torque with two permanent magnet segments（4-pole, 24-slot）

圖5 角度γ 對齒槽轉矩的影響Fig.5 The cogging torque with different γ

圖6 Ns=3時的齒槽轉矩（4極24槽）Fig.6 The cogging torque with three permanent magnet segments（4-pole, 24-slot）

圖7 Ns=3時的齒槽轉矩的諧波（4極24槽）Fig.7 The harmonics of cogging torque with three permanent magnet segments（4-pole, 24-slot）

圖8 Ns=4時的齒槽轉矩（4極18槽）Fig.8 The cogging torque with four permanent magnet segments（4-pole 18-slot）

圖9 Ns=4時齒槽轉矩諧波（4極18槽）Fig.9 The harmonics of cogging torque with four permanent magnet segments（4-pole，18-slot）

4 結論

本文基于齒槽轉矩的周期性和齒槽轉矩疊加計算方法分析了分塊永磁削弱齒槽轉矩的方法。推導得到了分塊永磁數、分塊永磁寬度以及分塊永磁間隔對總的齒槽轉矩的影響，分析表明該方法能夠消除齒槽轉矩基波的永磁分塊組合，也能消除Ns及Ns倍數次諧波外的諧波。有限元計算結果驗證本文結論的正確性。

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