永磁直線伺服系統最優參數負載擾動補償方法

王麗梅 武志濤 劉春芳

（沈陽工業大學電氣工程學院 沈陽 110870）

1 引言

現代高精度永磁直線進給伺服系統要求驅動系統具有快速性的同時，且對負載擾動和系統參數的變化具有強魯棒性[1,2]。為了保持伺服系統具有良好的性能，文獻[3,4]采用魯棒控制方法來抑制永磁直線電機伺服系統的擾動。文獻[5]提出一種將擾動觀測器和重復控制器相結合的控制策略。文獻[6]提出了反饋線性化和極點配置的觀測器相結合的擾動抑制控制方案。本文提出利用模型參考自適應理論設計負載擾動補償器。模型參考自適應控制這一設想在20世紀 50年代由考得威爾（Goldwell）提出，現已成為實現高性能控制系統中重要的解決方案，特別是當動態特性不明，或有大的變化時，模型參考自適應系統能實現快速的動態響應[7,8]。

本文為兼顧系統響應性能和抗干擾能力的要求，采用了位置控制器與負載擾動補償器相結合的控制策略。其中位置控制器決定系統的瞬時響應特牲，而負載擾動補償器則用來改善抗干擾能力。位置控制器采用以頻域因子分解法求解最優的位置控制器；負載擾動補償器使用 PI結構，通常比例-積分控制器的參數均使用試湊法確定，缺乏系統化的設計，本文提出根據 Parseval定理中信號在時間域內的總能量與頻域內的總能量相等的原理將時域二次型性能指標轉為頻域性能指標，再通過對勞斯-赫爾維茨（Routh-Hurwitz）二維數組的計算，可解析化地計算出負載擾動補償器PI參數的最優值，并且大大簡化了計算過程。

2 永磁直線同步電機簡化數學模型

PMLSM的工作原理如圖1所示。

圖1 永磁直線同步電動機工作原理Fig.1 Basic principle of PMLSM

對PMLSM進行矢量控制，即要求動子電流矢量與定子永磁體磁場在空間上正交。電流內環采用勵磁分量id=0的控制策略，電磁推力F與iq成正比，則PMLSM的運動方程為[9]

式中iq——q軸動子電流；

λPM——定子永磁體產生的勵磁磁鏈；

v——動子線速度；

B——粘滯摩擦系數；

τ——極距；

M——動子質量；

Kf——電磁推力系數；

FL——負載擾動。

3 位置控制器設計

為了使直線伺服系統具有快速的瞬時響應及最小的超調量，本位置控制器采用頻域最優因子分解設計方法[10]，最優的閉環特征多項式是由開路被控對象的分母因式及權重因子乘以分子因式之和所組成，其關系式如下

式中，(s)是閉環傳遞函數的分母式；(s)和(s)分別是開環傳遞函數的分母式和分子式。

其位置控制系統如圖2所示。

圖2 位置控制系統原理圖Fig.2 Block diagram of the position control system

廣義被控對象的傳遞函數可表示為

式中，K是控制器的定值增益；速度回路設計為比例控制器。

由式（4）可得，被控對象傳遞函數的分母為分子為

此時最優化的閉環特征多項式可表示為

式（7）是由開路被控對象的分母因式、分子因式和加權因子q所組成的四階方程式，此多項式含有四個特征根，其中兩個特征根在左半平面，另外兩個特征根則在右半平面，且相互對稱于虛軸，由于要求閉環系統是穩定的，所以取左半平面的兩個特征根做為最優化系統閉環極點，此時式（7）可重新表示為

此時整個閉環系統最優化傳遞函數即可表示為

式中，c()Ns是閉環傳遞函數的分子式，則最優化位置控制器為

4 負載擾動補償器設計

為了使系統具有良好的抗干擾能力，本文采用位置控制器和負載擾動補償器相結合的獨立結構設計方法，如圖3所示，圖中xr是在加載時系統期望的位置響應，x是系統實際的位置響應，Gz(s) 是未加入負載擾動補償器之前控制系統閉環傳遞函數，Δx為負載干擾加入后產生的位置偏差量。由于無載時，期望的位置響應xr和實際的位置響應x相等。所以，負載干擾位置偏差量Δx為零，使得由位置命令xd到實際位置x之間定向控制回路的響應，不會受到負載補償的影響，故位置控制器和負載擾動補償器可分別獨立設計，不會相互影響。

圖3 基于負載擾動補償器的控制系統原理圖Fig.3 Block diagram of the control system based on load disturbance compensator

外來的負載干擾加入后，會產生位置偏差量Δx，經過負載擾動補償器產生Δu，Δu可做為外來的負載干擾位置控制系統的補償量，而負載擾動補償器包含Kp和Ki兩個參數，利用參數最優化的方法，可求得在負載干擾時，位置偏差量為最小值的Kp和Ki最優參數值。

將式（4）、式（9）代入式（10）中，并重新整理可得

式中

欲使位置偏差量最小時，本文以下列二次式作為性能指標

直接由式（13）尋找最優的補償器PI參數甚為困難，故將上述時域轉換為頻域進行討論，基于Parseval定理中信號在時間域內的總能量與頻域內的總能相等的原理將時域二次型性能指標轉為頻域性能指標表示[11]

其中n——系統階數。

此時式（14）可表示為

再利用勞斯-赫爾維茨（Routh-Hurwitz）數組[12]計算出式（15）的性能指標Jd。

將式（12）代入式（14）可得式（16）。

由 Routh-Hurwitz數組可得最小化性能指標的解析解為[12]

再經由下列兩個偏微分聯立方程式組可解得最優的Kp和Ki參數值

5 仿真與實驗結果及其分析

實驗所用 PMLSM 參數為：電磁推力系數Kf=25N/A，動子質量標稱值M=11kg，粘滯摩擦系數標稱值B=1.2 N?m /s ，動子電樞電阻Rs=1.2Ω，定子極距τ=0.03m，動子極數pn=3，永磁體有效磁鏈標稱值ψf=0.001Wb。外部負載阻力為FL=100N。

圖4為當輸入為正弦（1mm，0.6Hz）位置曲線，且動子和動子所帶負載的總質量Mn=2M時，使用最優 PI值和使用經驗PI值時，伺服系統的動子實際輸出軌跡曲線和位置誤差曲線。

圖5為當輸入為單位階躍曲線，且動子和動子所帶負載的總質量Mn=2M時，使用最優PI值與使用經驗PI值，直線伺服系統的動子位置實際輸出軌跡曲線以及位置誤差曲線。

圖4a和圖5a是輸出軌跡曲線，可以看出系統的魯棒性與動態特性良好。圖4b和圖5b分別為正弦位置輸入、階躍位置輸入時的位置誤差曲線，且可見位置誤差仿真結果為-6～6μm。由圖 4和圖 5可見，負載擾動補償器PI參數選用本文計算方法在保證跟蹤精度的同時，能使永磁直線伺服系統得到更好的擾動抑制效果。

圖4 當正弦位置輸入時系統仿真結果Fig.4 Simulation results of the system with sin position input

圖5 當階躍位置輸入時系統仿真結果Fig.5 Simulation results of the system with step position input

利用基于DSP控制的PMLSM伺服系統對以上仿真進行了實驗驗證，主要由PMLSM、PC + DSP運算控制單元、IPM主回路功率變換單元、動子電流檢測單元和直線光柵尺速度檢測單元等組成，其硬件結構如圖6所示。

圖6 基于DSP的PMLSM控制系統硬件結構原理框圖Fig.6 Hardware frame map of PMLSM control system based on DSP

圖7為負載擾動補償器使用本文最優PI值和使用經驗PI值抑制擾動的正弦位置誤差曲線。圖8是階躍位置誤差曲線。通過對比圖7a與圖7b、圖8a與圖8b可知，無論是正弦輸入還是階躍輸入，基于負載擾動補償器的高精度永磁直線進給伺服系統能有效地抑制負載變化擾動，保證位置誤差小于10μm，仿真結果與試驗結果基本一致。同時，負載擾動補償器使用本文計算方法所得最優 PI參數能得到更好的擾動抑制效果和跟蹤精度。

圖7 正弦位置輸入時實際位置誤差曲線Fig.7 Actual position errors with sin position input

圖8 階躍位置輸入時實際位置誤差曲線Fig.8 Actual position errors with step position input

6 結論

本文針對高精度永磁直線進給伺服系統的特點,提出了位置控制器與負載擾動補償器相結合的擾動抑制方法。在負載擾動補償器的PI參數確定上，提出根據Parseval定理將時域性能指標轉為頻域性能指標求得最優值的計算方法，此方法解決了求解二次型性能指標須先變狀態方程，再計算黎卡提方程式（Riccati equation）的解，然后再求線性二次型最優值的傳統計算過程（即LQ問題），既簡化了計算步驟，又可使計算過程解析化。通過理論分析、仿真、實驗驗證了采用參數最優化的負載擾動補償器能有效地抑制負載擾動，提高了系統的控制精度，增強了伺服系統的魯棒性。

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