直角域非等腰三角形凸起對SH波的散射與地震動

齊 輝，郭 晶，楊 杰

(哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，哈爾濱 150001)

研究SH波對局部地形的散射問題，不僅具有理論價值而且在實際工程中具有非常廣泛的應用前景。近幾十年里，人們做了大量的研究并取得了許多有價值的研究成果［1－5］。凸起地形或結構對地震動的影響也一直是地震工程學中的重要研究課題，主要包括圓弧形凸起、含圓形孔洞的半圓形凸起及三角形凸起［6－8］。其中對三角形凸起結構的研究空間主要集中在彈性半空間，對直角域中含三角形凸起地形或結構的研究卻很少見。本文利用復變函數及移動坐標技術研究了直角域非等腰三角形凸起對SH波的散射問題，并給出了本問題的解析解。該問題與以往半空間問題的最大區別在于垂直邊界的出現，當彈性波入射時，將導致彈性波在直角域自由表面及缺陷附近產生多次的散射和反射，使得滿足直角域自由邊界的應力自由條件的散射波場解析表達式很難給出，因此為了解決這一難題，本文引入“鏡像”疊加原理構造滿足需要的散射波場。同時求解該問題時，主要采用“分區”的思想，將理論模型劃分為兩個區域，區域Ⅰ為含有半圓形弧底的非等腰三角形凸起，區域Ⅱ為含有半圓形凹陷的直角平面區域。其中關鍵問題是構造區域Ⅰ中滿足三角形凸起兩斜邊應力自由的駐波解答和構造區域Ⅱ中由半圓形凹陷引起的滿足直角域兩自由邊界的散射波表達式。最后給出地表位移幅值的具體算例，討論了入射角度，入射波數以及直角域垂直邊界等因素對地表位移幅值的影響。

1 基本理論

1.1 理論模型

圖1所示SH波入射直角平面區域中含非等腰三角形凸起模型，入射角度為α0。非等腰三角形凸起的定點為O1，兩斜邊分別用CA和CB表示，其斜度分別為1∶n1和1∶n2，凸起高度為 d1，底邊中點記為 O，O 點距O1在三角形底邊上投影距離為，坐標原點O到直角域垂直邊界距離為h1。介質Ⅰ材料的密度和剪切彈性模量分別為ρD和μD，介質Ⅱ材料的密度和剪切彈性模量分別為ρs和μs。

該問題屬于混合邊值問題，為此采用“分區”思想求解，即將整個求解區域分割成兩部分來處理，如圖2所示。區域Ⅰ為含有半圓形弧底的非等腰三角形，區域Ⅱ為含有半圓形凹陷的直角域。

如圖3所示，分別以三角形底邊中點O和三角形頂點 O1為坐標原點建立坐標系 xoy和 x1o1y1，其中o1x1為頂點的平分線。

1.2 基本方程

其中，k=ω/cs為波數，ω為位移函數圓頻率，cs=是介質的剪切波速。

相應的應力表達式為:

1.3 輔助函數Ⅰ

在區域Ⅰ內構造一個駐波解，使其滿足圓弧形上位移、應力不受約束，且滿足如下邊界條件:

其中:

式中:W0為駐波的最大幅值，D1m，D2m為待求常數，同

則滿足控制方程及上述邊界條件的位移函數可以寫成［9］:時分別為 2mp，(2m+1)p階Bessel函數。由于 z1=(z+d1)eiq，q=(arctann2－，則利用坐標移動技術，上述駐波解在復平面上的表達式為:

其中:

式(8)相應的應力表達式為:

其中:

1.4 輔助函數Ⅱ

圖4 鏡像模型Fig.4 The model of“image”

求解本文問題的關鍵在于散射波表達式的構造，其需要滿足控制方程(1)，同時要滿足直角域邊界Γ1、Γ2應力自由條件。因此采用文獻［10］的“鏡像”方法，把直角空間向走拓展為半空間模型，如圖4所示。在區域Ⅱ中，構造的散射波W(s)如下:

其中:

相應的應力可以表示為:

其中:

1.5 入射波與反射波

入射波與反射波在彈性半空間的表達式可以表示如下:

其中:假設入射波最大幅值 W0=1。當m=0時，εn=1，當m ＞1時，εn=2。

然而，在直角域中入射波與反射波將在其兩個垂直邊界上發生多次反射，為了滿足直角域邊界應力自有條件，仍然采用“鏡像”方法構造等效的位移表達式，在復數坐標系)下，上式可以表示為:

其中，

相應的應力表達式如下:

其中:

1.6 定解積分方程組

利用區域Ⅰ、Ⅱ公共邊界S上位移、應力連續性條件，有:

2 地表位移幅值

在區域Ⅰ中的總波場為W(D)，而在區域Ⅱ中的總波場為:

上式可以寫成:

同時，入射波數表示為:

其中:λ為入射波波長，或者寫成:

3 算例分析與討論

當區域Ⅰ和區域Ⅱ介質完全相同時，即kD=kS，μD=μS，問題就轉換為直角域含非等腰三角形凸起地形對SH波的散射問題。當區域Ⅰ和區域Ⅱ介質不同時，即kD≠kS或μD≠μS，問題就轉換為直角域含非等腰三角形凸起壩體結構和基礎的相互作用問題。

(1)圖5給出了當SH波以角度α0=0°入射時，地表位移的變化情況。材料參數μD=μS=0.1。當h1足夠大時(本文取h1=500.0時)，直角域含三角形凸起地形問題可近似看成半空間中含三角形凸起地形問題。當入射波數η=0.1，三角形凸起地形頂角θ1=θA+θB=138.2°一定且 Δθ= θB－ θA=0°，10°，20°時，圖5(a)所示圖形與文獻［11］相符，由此說明本文方法的正確性。而圖5(b)～圖5(d)給出當三角形凸起頂角θ=140°一定，Δθ= θB－ θA=0°，10°，20°且 h1=3.0，η =0.1，0.5，1.0，2.0 時地表位移的變化情況。由圖 5(b)可以看出，當SH波以η=0.1入射時，即準靜態情況，地表位移幅值變化并不明顯，顯示出一定的靜態特性，而由圖5(c)～圖5(d)可以看出，隨著入射波數的增加，圖形的變化越來越明顯，顯示出動態特性。同時，由于直角平面垂直邊界的影響，靠近直角域垂直邊界一側的地表位移幅值要大于另一側，這說明直角域垂直邊界的影響也應給予考慮。對于Δθ=0°情況時，相當于是等腰三角形凸起地形問題，一般情況下，其地表位移幅值小于非等腰三角形凸起地形情況。

(2)圖6給出了直角域非等腰三角形凸起地形地表位移幅值隨入射角度α0的變化情況。三角形凸起頂點 θ1=140°一定，μD= μS=0.1，入射波數 η =0.1。圖6(a)～圖6(c)分別對應 Δθ=θB－θA=0°、10°、20°情況。由圖中可以看出，當α0=0°時，地表位移最大值一般出現在三角形凸起位置處，而當入射波以45°或90°入射時，地表位移最大值發生偏移，一般發生在三角形凸起與水平表面相接處。由此說明了入射角度影響地表位移的分布情況。

(3)圖7給出了直角域非等腰三角形凸起地形地表位移隨距離h1的變化情況。三角形凸起頂點θ1=140°一定，μD= μS=0.1，入射波數 η =0.1，入射角度α0=0°。圖7(a)～圖7(c)分別對應 Δθ=θB－θA=0°，10°，20°情況。由圖中可以看出，隨著距離 h1的增加，地表位移幅值變小。

(4)圖8給出了直角域含非等腰三角形壩體結構時地表位移隨三角形頂角θ1的變化情況。這里Δθ=20°一定，入射角度α0=0°，h1=3.0，η =0.1。圖8(a)～圖8(c)對應取材料參數 ρD/ρS=2/3，μD/μS=1/6即壩體結構相對基礎較軟情況。圖8(d)～圖8(f)對應取材料參數 ρD/ρS=3/2，μD/μS=6 即壩體結構相對基礎較硬情況。由圖中可以看出三角形壩體結構對地表位移的影響要比三角形凸起地形情況地表位移變化明顯。同時，隨著入射波數的增加，地表位移同樣顯示出動態特性。

4 結論

本文利用復變函數及多極坐標方法研究了SH波對直角域非等腰三角形凸起的散射問題。利用“鏡像”思想推導了本文所需解析解表達式，并給出了地表位移幅值的算例分析。通過具體算例，了解到直角域非等腰三角形凸起地形受入射波數，入射角度，三角形凸起夾角以及原點到直角域垂直界面距離的影響。非等腰三角形凸起地形地表位移變化要比等腰三角形凸起地形位移變化復雜，而非等腰三角形凸起壩體結構位移變化比三角形凸起地形位移變化復雜。同時，當三角形壩體結構相對基礎較軟時，其地表位移幅值大于壩體結構較硬情況。需要指出的是，本文所采用的方法在理論上是沒有問題的，但當編程計算時，當三角形頂角取小于60°時，計算精度卻很差，反而當頂角角度越大時，其計算精度越高。故本文的計算方法適用于非等腰三角形頂角大于60°情況。同時，算例結果可為實際工程等領域提供理論參考。

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