基于壓縮感知的信號檢測方法

黃繼海，張曉紅，羅文宇

（1.中州大學信息工程學院，河南鄭州450044;2.國家數字交換系統工程技術中心，河南鄭州 450002）

壓縮感知理論使得稀疏信號可以在低于Nyquest采樣定律的情況下進行“模擬——信息轉換（AIC）”，這實際上就是針對連續時間信號的壓縮感知。文獻［1-2］設計出的AIC結構以壓縮感知理論為基礎，在模擬端對信號進行隨機測量處理，這樣可以遠低于Nyquist速率進行采樣。然而這種結構要求已知先驗信息或者對噪聲水平的估計以設計算法參數和算法停止條件。針對這一問題，文獻［3］提出一種不需要已知噪聲信息的方法，即聯合凸優化方法。其主要思想是將噪聲和觀測誤差最小化作為優化目標，在Nyquist采樣速率的一半情況下，原始信號信息可以在-10 dB信噪比情況下得以精確重構。

壓縮感知提出幾年來，針對它的研究主要集中在如何精確重構原始信號上，然而某些應用場合并不需要完全精確重構原始信號，比如通信信號。文獻［4］分析了壓縮檢測問題。并提供了估計的理論界和經驗結果。文獻［5］出了一種子空間壓縮檢測方法。它利用線性信號模型為在相同子空間的信號提供一種通用的解調方案。文獻［6］結合傳統的視頻編解碼技術，提出了一種基于壓縮感知的視頻編解碼器。文獻［7］也提出了一種基于壓縮感知的UWB回波信號檢測方法。然而以上文獻的研究僅僅是對壓縮采樣后信號的檢測問題，并沒有考慮信道估計對接收性能的影響，也沒有針對壓縮采樣對Rake合并的影響進行研究。

本文針對以上問題，力圖通過完整的理論推導，分析基于壓縮感知的信號檢測問題，確定最優的檢測方案。首先將需要高采樣頻率復雜信道估計［7］轉化為壓縮感知非完全信號重構問題，大大降低了信道估計的復雜度。其次，在壓縮感知框架下，將Rake合并在壓縮域完成，提出一種壓縮相關器，避免模擬域實現Rake合并時由于模擬延時線不精確帶來的誤差。最后，通過仿真及性能分析驗證了本文提出的檢測方法。

1 基于壓縮感知的信號檢測

壓縮感知理論是一種新的在采樣的同時實現壓縮目的的理論框架［8］。它與傳統的Nyquest采樣定理不同。壓縮感知之所以能夠用于信號、圖像和其他數據的處理，是因為Nyquest信號表示僅僅利用了信號的最小先驗信息——帶寬，然而感興趣的許多信號是結構化的，而且依靠比帶寬更小的自由度，在可壓縮信號中有用信息的內容能夠直接壓縮為少量數據。

根據文獻［1-4］可以得到一種大大減少采樣頻率的基于壓縮采樣技術的模數轉換器，其結構如圖1所示，這種結構的采樣頻率選取不需要考慮信號帶寬，只和信號稀疏度有關。

圖1 無線通信系統壓縮采集結構

式中:Pj（t）為連續函數，j=1，…，m。

基于CS的數據重構仍然有很多不足，例如完美重構需要的過觀測因子比較大，c≈lb（1+N/K）;重構算法大都需要很高的計算復雜度等。因此近年來有文獻研究對壓縮后的信號進行壓縮檢測。然而這些文獻研究的僅僅是對壓縮采樣后的信號進行最大似然檢測，沒有考慮壓縮后的數據對信道估計和各種分集等技術的影響。下面基于壓縮感知理論，對圖1采集后的信號在壓縮域進行檢測。首先利用壓縮采樣得到的導頻信號估計出系統所需要的多徑數及其幅度、時延值。利用正交匹配跟蹤算法，對壓縮采樣的導頻信號進行重建，其中冗余原子庫可以由發送的成型脈沖及其延遲構建。由于進行了壓縮處理，接收的信號的多徑幅度和時延都會改變，傳統Rake合并方式不再有效。因此本文利用前面估計的信道信息對接收的壓縮采樣信號進行壓縮域的Rake合并。最后經過壓縮最大比合并后的數據進行壓縮判決得到發送信號的檢測結果。其結構如圖2所示。

1.1 壓縮信道估計

本文設計一種非完全重構信道估計算法，算法流程如下。

圖2 壓縮信號檢測結構框圖

第5步，誤差統計。將判決后的b（k）還原成Nf個發送脈沖與訓練序列b（k）對應的Nf個脈沖，求其最小均方誤差。其目的是提高非完全重構因子以增加信道估計精度。如果不為零，轉第2步。否者J=J+1，如果J=n結束，否者回第2步，其中n的值隨信噪比的變換而設定，非完全重構因子α定義為迭代次數與信道可分辨經的比值。

信號檢測系統并不需要對信號的精確重構，只需要估計大多數比較大的多徑，在系統性能和復雜度之間折中。通過將判決后的數據引入CS信道估計中作為下一次迭代的先驗信息，降低了迭代次數和導頻數量。

1.2 壓縮Rake合并

文獻［9］根據提出的壓縮信道估計結果進行Rake合并，但是它的相關和合并過程在模擬域完成。由于模擬延遲線精度不高等原因，這樣做的誤碼率性能不高。下面針對壓縮采樣對Rake合并的影響進行研究。因為壓縮采樣在基帶前端進行，Rake接收機的輸入是經過壓縮的數據，很顯然信號的延遲和幅度信息都改變了，傳統的Rake接收方式并不適合處理壓縮信號。下面進行壓縮Rake接收機的推導。

首先考慮如果Rake合并在模擬域完成，則

用以Ts為采樣頻率表示為

為分析方便，只考慮第一條徑，寫成矩陣形式

式中:M為模板m（i），i∈{0，N－1}的toeplitz矩陣形式

為了進行信號檢測，需要判斷Th=R，是一個N×1維的矢量。如果Th＞0，則bj的估計值=1;如果Th＜

下面分析Rake合并在壓縮域完成，壓縮模板設為mcs（i），i∈{0，M －1}，則壓縮合并后的信號為

只考慮第一徑得

令兩式子相等，則可得

可以求出壓縮模板矩陣為

其中AH為觀測矩陣A的共軛轉置。

雖然壓縮采樣可以用少部分隨機測量提供可以用于近似完全重構的信息，但是如果不進行重構，壓縮測量則不能收集足夠的信號能量，很難進行檢測。文獻［5-10］根據Nyquist采樣條件下的信號檢測，推導出壓縮采樣條件下的信號檢測。并沒有考慮Rake合并的影響，本文將Rake合并后的信號進行壓縮檢測，由于壓縮相關增強接收信號的信噪比，因此其抗干擾能力更強。具體分析如下:壓縮合并后Rake接收機輸出信號可以表示為

式中:M'=（c0M0+c1M1+ … +cL－1ML－1） ，為最大比合并框架下的各個支路模板矩陣的和，ci，i∈{0，…，L－1}是由最大比合并策略確定的系數。可得判斷量表示如下

2 仿真及性能分析

圖3 壓縮信道估計和非完全重構信道估計與CM2信道對比

圖4為非完全重構因子α與系統誤碼率的關系。可以看出當α≥0.25時，信號的誤碼率性能逼近α=1即信道被完全估計出來的情況，而此時信道估計的復雜度比α=1時大大降低。信噪比越高，小的非完全重建因子條件下的判決誤碼率就越低。非完全重構壓縮信道估計之所以能降低接收機實現復雜度是因為它可以降低信道估計時的迭代次數，在保證系統性能的基礎上進行動態調整估計出的信道數量。

圖4 非完全重構因子α在不同信噪比條件下的性能

圖5為本文提出的壓縮判決方法以及傳統基于壓縮感知的判決方法和以Nyquist速率采樣條件下判決方法的誤碼率性能對比。

圖5 各種判決條件下的誤碼率性能對比

由圖5可知，傳統基于壓縮感知的判決方法性能比基于Nyquist速率采樣條件下的判決方法性能差［10］，這主要是因為這種判決方法利用壓縮后的數據，采集到的能量較弱，所以抗干擾能力差。雖然本文所提方法也是利用壓縮后的數據，但是本文方法首先利用壓縮相關器將信號的能量集中，然后再進行壓縮檢測，提高了接收機抗干擾性能，因此比傳統壓縮檢測方法性能更好。由誤碼率曲線可以看出本文壓縮檢測方法與基于Nyquist速率采樣條件下判決方法性能相差不大，但處理的數據量卻大大降低。

3 小結

本文研究了基于壓縮感知的信號檢測問題。首先將信道估計轉化為復雜度更低的非完全信號重構過程;然后借鑒普通Rake接收思想推導出壓縮域進行相關的方法，并結合信道估計得到的最小多徑參數進行最大比合并;最后將合并后的信號進行壓縮判決。因為處理的是經過壓縮的采樣數據，數據數據只有Nyquist速率的10% ，該檢測方法大大降低信道估計和多徑合并的復雜度。

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